Exercice 1 — Courbe paramétrique : ellipse 4 pts
$x(t)=\sin t$, $y(t)=\cos t - 2\sin t$, $t\in\mathbb{R}$
1) Symétries — intervalle d’étude réduit
1
Période $2\pi$ : $x(t+2\pi)=\sin(t+2\pi)=\sin t=x(t)$ et de même pour $y$. On se limite à un intervalle de longueur $2\pi$.
2
Symétrie centrale en $O$ : $x(t+\pi)=\sin(t+\pi)=-\sin t=-x(t)$ et $y(t+\pi)=\cos(t+\pi)-2\sin(t+\pi)=-\cos t+2\sin t=-y(t)$. Donc $M(t+\pi)$ est le symétrique de $M(t)$ par rapport à l’origine.
Intervalle d’étude réduit : $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$. L’arc sur $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{3\pi}{2}\right]$ s’obtient par symétrie centrale de centre $O$.
2) Tableau de variations de $x$ et $y$ sur $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$
3) Équation cartésienne et intersections avec l’axe des ordonnées
Exercice 2 — Géométrie dans l’espace 4 pts
$A(2\,;\,1\,;\,3)$, $B(3\,;\,2\,;\,4)$, $C(0\,;\,3\,;\,2)$, $G(-1\,;\,1\,;\,0)$
1) Point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme
2) Vecteur normal $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$
3) Produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$
4) Aire du parallélogramme $ABCD$
5) Distance de $O$ à la droite $(AB)$
6) Les points $O$, $A$, $B$, $C$ sont-ils coplanaires ?
7) Équation du plan $ABC$ et distance de $G$ à ce plan
8) Volume de la pyramide $OABC$
Problème — Partie A 12 pts
$f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{-x}}{x^2} & \text{si } x \leq -1 \\ x - x\ln x & \text{si } x > 0 \end{cases}$ — $D_f = (-\infty\,;\,-1]\cup(0\,;\,+\infty)$
A.1 — Continuité, comportement en $0^+$, dérivabilité
a) Continuité en $-1$
b) Comportement en $0^+$
c) Dérivabilité en $0^+$ — tangente
Zéro de $f$ sur $(0\,;\,+\infty)$
Tangente à la courbe en $x=e$
Problème — Partie B — Bijection réciproque $h^{-1}$
$h = f\big|_{[1\,;\,+\infty[}$ : restriction de $f$ à $[1\,;\,+\infty[$, soit $h(x)=x-x\ln x$.
1) Bijectivité de $h$
2) Sens de variation de $h^{-1}$ et tableau
3) Courbe $(C^{-1})$ et dérivée en $(1\,;\,1)$
Problème — Partie C — Intégrale $I(\alpha)$ et aire
C.1a) Interprétation géométrique de $I(\alpha)$
C.1b) Calcul de $K = \displaystyle\int_\alpha^e x\ln x\,dx$ par intégration par parties
C.1c) Calcul de $I(\alpha)$
C.2a) Valeur de $I(1)$ et aire en cm²
C.2b) Aire $A(\lambda) \to +\infty$ quand $\lambda\to+\infty$
