Exercice 1 — Géométrie dans l’espace 4 pts
$A(1;2;-1)$, $B(2;0;1)$, $C(2;3;1)$, $D(3;-2;2)$. Unité 2 cm.
1) Produit vectoriel $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$, équation du plan $(ABC)$ et coplanaréité de $D$
1
$\overrightarrow{AB}=B-A=(1;-2;2)$ $\overrightarrow{AC}=C-A=(1;1;2)$
2
Calcul du produit vectoriel :
$$\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}(-2)(2)-(2)(1)\\(2)(1)-(1)(2)\\(1)(1)-(-2)(1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\0\\3\end{pmatrix}$$
On peut simplifier : $\vec{n}=(-6;0;3)=-3(2;0;-1)\neq\vec{0}$ → $A$, $B$, $C$ non colinéaires, ils déterminent un plan.
3
Plan $(ABC)$ de vecteur normal $\vec{n}=(2;0;-1)$ passant par $A(1;2;-1)$ :
$$2(x-1)+0(y-2)-1(z+1)=0 \iff 2x-z-3=0$$
4
Test $D(3;-2;2)$ : $2(3)-2-3=6-2-3=1\neq0$ → $D\notin(ABC)$.
$A$, $B$, $C$, $D$ ne sont pas coplanaires.
2) Aire du triangle $ABC$ en cm²
3) Volume du tétraèdre $ABCD$ en cm³
Exercice 2 — Probabilités 4 pts
20 tee-shirts : 3 noirs (N), 7 blancs (B), 10 jaunes (J). Tirage simultané de 3.
1) Probabilités de $E$ et $F$
2a) Probabilité conditionnelle $P(F|E)$
2b) Loi de $X$ (nombre de blancs) et espérance $E(X)$
Problème — Partie A 12 pts
$f(x)=\begin{cases}-x+2\ln(1+x) & x\in\,]-1\,;\,0[\\ x-1+e^{-x} & x\geq0\end{cases}$
— Unité : 2 cm.
Donnée : $e\approx2{,}7$.
1) Continuité et dérivabilité en $0$
2) Limites et asymptotes
3) Variations de $f$ — tableau complet
4) Bijection réciproque $h^{-1}$
Problème — Partie B
1a) Aire $\mathcal{A}(\alpha)$ entre $(C)$ et $(\Delta)$ sur $[1;\alpha]$, pour $\alpha>1$
1b) Limite de $\mathcal{A}(\alpha)$ quand $\alpha\to+\infty$
2a) Intégrale $I=\displaystyle\int_0^1(x-1)e^{-x}\,dx$ par intégration par parties
2b) Volume de révolution $V$ en cm³
