Courbes Paramétrées

Exercice 1 — Cercle de rayon 2

On considère la courbe $(\mathcal{C})$ paramétrée par :

1. Reconnaître la courbe. Tracer.

2. Calculer $x'(t)$, $y'(t)$. En quel point la tangente est-elle horizontale ? Verticale ?

3. Équation de la tangente en $t=\dfrac{\pi}{4}$.

Exercice 2 — Élimination et parabole

1. Éliminer $t$ et reconnaître la courbe.

2. Calcul de $\dfrac{dy}{dx}$. Tangente en $t=1$.

3. Points de rebroussement éventuels.

Exercice 3 — Étude d'une ellipse

1. Éliminer $t$ : reconnaître la courbe. Demi-axes.

2. Symétries. Points d'intersection avec les axes.

3. Tangentes horizontales et verticales. Tableau de variation.

4. Tracer l'ellipse et indiquer les foyers $F_1$, $F_2$ ($c=\sqrt{a^2-b^2}$).

Exercice 4 — Cycloïde

Un cercle de rayon $r=1$ roule sans glisser sur l'axe $Ox$. Un point du cercle trace une cycloïde :

1. Points de rebroussement (chercher $x'=y'=0$).

2. Tangente en $t=\pi$.  3. Longueur d'un arc ($L=\int_0^{2\pi}\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$).

4. Aire sous un arc ($A=\int_0^{2\pi}y(t)\,x'(t)\,dt$).

Exercice 5 — Spirale d'Archimède

En coordonnées polaires : $\rho=\theta$ ($\theta\geq0$), ce qui donne en paramétrique :

1. Tracer pour $\theta\in[0\,;\,4\pi]$.  2. Tangente en $\theta=\dfrac{\pi}{2}$.  3. Longueur pour $\theta\in[0\,;\,2\pi]$.  4. Aire du premier tour.

Exercice 6 — Astroïde et rose à 4 pétales

Partie A — Astroïde ($a=2$) :

1. Points de rebroussement.  2. Longueur totale ($L=6a$).  3. Aire intérieure ($A=\frac{3\pi a^2}{8}$).

Partie B — Rose polaire : $\rho=\cos(2\theta)$, $\theta\in[0\,;\,2\pi]$.

4. Tracer et compter les pétales.  5. Aire d'un pétale.

Le plan est muni d'un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i},\vec{j})\). On considère la courbe \((\Gamma)\) décrite par le point \(M(t)\) de coordonnées \(x(t)=\dfrac{t^2}{2}-3\) et \(y(t)=\dfrac{t^3}{4}-3t\), lorsque \(t\) parcourt l'intervalle \([-4\,;\,4]\).

1) Compare les coordonnées de \(M(-t)\) à celles de \(M(t)\). Quelle symétrie de \((\Gamma)\) en déduis-tu ? Explique pourquoi il suffit d'étudier les fonctions \(x\) et \(y\) sur \([0\,;\,4]\).

2) Calcule \(x'(t)\) et \(y'(t)\), étudie leur signe sur \([0\,;\,4]\), puis dresse le tableau de variations conjoint de \(x\) et de \(y\) sur cet intervalle.

3) Détermine le vecteur dérivé aux points de paramètres 0 et 2. Justifie que la tangente à \((\Gamma)\) en \(M(0)\) est parallèle à l'axe des ordonnées et que la tangente en \(M(2)\) est parallèle à l'axe des abscisses.

4) Détermine les points de \((\Gamma)\), de paramètre dans \([0\,;\,4]\), qui sont situés sur l'axe des abscisses. On note \(A\) celui dont l'abscisse est positive : écris une équation de la tangente à \((\Gamma)\) en \(A\).

5) Calcule les coordonnées du point \(B\) de paramètre 4 et un vecteur directeur de la tangente en \(B\). Explique comment tracer \((\Gamma)\) en entier, puis donne, sans nouveau calcul de dérivée, les points de paramètres \(-2\) et \(-4\) et la direction de la tangente en chacun d'eux.

Le plan est muni d'un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i},\vec{j})\). On considère la courbe \((H)\) décrite par le point \(M(t)\) de coordonnées \(x(t)=e^{t}+e^{-t}\) et \(y(t)=e^{t}-e^{-t}\), lorsque \(t\) parcourt l'intervalle \([-\ln 3\,;\,\ln 3]\).

1) Compare les coordonnées de \(M(-t)\) à celles de \(M(t)\). Déduis-en une symétrie de \((H)\) et un intervalle d'étude réduit.

2) Démontre que, pour tout \(t\), \(x'(t)=y(t)\) et \(y'(t)=x(t)\). Étudie le signe de \(x'(t)\) et de \(y'(t)\) sur \([0\,;\,\ln 3]\), puis dresse le tableau de variations conjoint de \(x\) et de \(y\) sur cet intervalle.

3) On note \(S\) le point de paramètre 0. Justifie que la tangente à \((H)\) en \(S\) est parallèle à l'axe des ordonnées, puis démontre qu'aucune tangente à \((H)\) n'est parallèle à l'axe des abscisses.

4) Calcule les coordonnées du point \(A\) de paramètre \(\ln 2\), puis écris une équation de la tangente à \((H)\) en \(A\).

5) Démontre que, pour tout \(t\), \(x(t)^2-y(t)^2=4\). Contrôle cette relation avec les coordonnées de \(A\).

6) En posant \(X=e^{t}\), détermine les points de \((H)\) dont l'abscisse est \(\dfrac{13}{6}\). Contrôle le résultat avec la relation de la question 5.

Sur une table à coussin d'air, un palet est retenu par des ressorts. On repère sa position, à l'instant \(t\) (en secondes), par le point \(M(t)\) de coordonnées \((x(t)\,;\,y(t))\) dans un repère orthonormé dont l'unité est le décimètre. Les lois de la mécanique donnent, pour tout réel \(t\), \(x''(t)+x(t)=0\) et \(y''(t)+9y(t)=0\). À l'instant 0, le palet est au point de coordonnées \((2\,;\,0)\) et son vecteur vitesse a pour coordonnées \((0\,;\,3)\).

1) Résous les deux équations différentielles et démontre, à l'aide des conditions initiales, que \(x(t)=2\cos t\) et \(y(t)=\sin 3t\).

2) Démontre que \(M(t+2\pi)=M(t)\) et interprète ce résultat. Compare ensuite \(M(-t)\), puis \(M(\pi-t)\), à \(M(t)\) ; déduis-en deux symétries de la trajectoire et justifie qu'il suffit d'étudier \(x\) et \(y\) sur \(\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\).

3) Calcule \(x'(t)\) et \(y'(t)\), étudie leur signe sur \(\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\) et dresse le tableau de variations conjoint de \(x\) et de \(y\).

4) Donne le vecteur vitesse aux instants 0, \(\dfrac{\pi}{6}\) et \(\dfrac{\pi}{2}\). En chacun des trois points correspondants, précise à quel axe la tangente à la trajectoire est parallèle.

5) À l'instant \(\dfrac{\pi}{3}\), calcule la position du palet, son vecteur vitesse et sa vitesse (la norme de ce vecteur), puis écris une équation de la tangente à la trajectoire en ce point.

6) Démontre que la vitesse du palet ne s'annule à aucun instant. Que peux-tu en conclure pour les tangentes à la trajectoire ?

Le plan est muni d'un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i},\vec{j})\). On note \((\Delta)\) la droite d'équation \(y=x\) et \((C)\) la courbe décrite par le point \(M(t)\) de coordonnées \(x(t)=t^2+t\) et \(y(t)=t^2-t\), lorsque \(t\) parcourt l'intervalle \([-2\,;\,2]\).

1) Exprime les coordonnées de \(M(-t)\) à l'aide de \(x(t)\) et de \(y(t)\). Déduis-en que \((C)\) est symétrique par rapport à \((\Delta)\) et qu'il suffit d'étudier \(x\) et \(y\) sur \([0\,;\,2]\).

2) Calcule \(x'(t)\) et \(y'(t)\), étudie leur signe sur \([0\,;\,2]\) et dresse le tableau de variations conjoint de \(x\) et de \(y\).

3) Détermine le point de \((C)\), de paramètre dans \([0\,;\,2]\), où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses. Déduis-en, par symétrie, le point de \((C)\) où la tangente est parallèle à l'axe des ordonnées, et contrôle ce résultat avec le vecteur dérivé.

4) Démontre qu'aucune tangente à \((C)\) n'est parallèle à \((\Delta)\). Détermine ensuite le point \(K\) de \((C)\) où la tangente a pour coefficient directeur 3, et écris une équation de cette tangente.

5) Écris une équation de la tangente à \((C)\) au point \(A\) de paramètre 1. Calcule les coordonnées du point d'intersection \(I\) des tangentes en \(A\) et en \(K\), vérifie que \(I\) est sur \((\Delta)\) et explique pourquoi ce résultat était prévisible.