Terminale D · Leçon 5
Calcul Intégral
Exercices corrigés
Entraînement illimité — Calcul intégral
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Primitives usuelles — tableau de référence
Exercice 1 — Primitives usuelles
Déterminer une primitive $F(x)$ de chacune des fonctions suivantes :
1. $f(x) = 4x^3 - 2x + 5$
2. $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ sur $]0\,;\,+\infty[$
3. $f(x) = \cos x + 2\sin x$
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- Primitive de $4x^3 - 2x + 5$ : On intègre terme à terme en utilisant $\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$. $$\boxed{F(x) = x^4 - x^2 + 5x + C}$$
- Primitive de $\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$ : $$F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} = \boxed{-\frac{1}{x} + C}$$
- Primitive de $\cos x + 2\sin x$ : $$\boxed{F(x) = \sin x - 2\cos x + C}$$
Intégrales définies et interprétation géométrique
Exercice 2 — Intégrales définies
Calculer les intégrales suivantes :
1. $\displaystyle I = \int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\,dx$
2. $\displaystyle J = \int_1^e \frac{2}{x}\,dx$
3. Interpréter géométriquement $I$ : quelle aire représente-t-il ?
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- Calcul de $I$ : $$I = \left[x^3 - x^2 + x\right]_0^2 = (8 - 4 + 2) - 0 = \boxed{6}$$
- Calcul de $J$ : $$J = \left[2\ln x\right]_1^e = 2\ln e - 2\ln 1 = 2 \times 1 - 0 = \boxed{2}$$
- Interprétation géométrique : Comme $f(x) = 3x^2 - 2x + 1 > 0$ sur $[0\,;\,2]$, $I = 6$ représente l'aire (en unités d'aire) de la surface délimitée par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=2$.
Intégrale d'un polynôme
Exercice 1 — Intégrale d'un polynôme
Calculer $\displaystyle\int_0^2 (3x^2-2x+1)\,dx$.
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- Primitive
Une primitive de $3x^2-2x+1$ est $x^3-x^2+x$. - Évaluation
$$\big[x^3-x^2+x\big]_0^2 = (8-4+2)-0 = 6.$$ - Résultat
$\displaystyle\int_0^2 (3x^2-2x+1)\,dx = 6$.
Intégrale de $1/x$
Exercice 2 — Intégrale de $1/x$
Calculer $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$.
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- Primitive
Une primitive de $1/x$ sur $]0;+\infty[$ est $\ln x$. - Évaluation
$$\big[\ln x\big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1-0 = 1.$$ - Résultat
$\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = 1$.
Intégration par parties
Exercice 3 — Intégration par parties
On rappelle la formule : $\displaystyle\int_a^b u\,v'\,dx = \left[uv\right]_a^b - \int_a^b u'\,v\,dx$
Calculer les intégrales suivantes :
1. $\displaystyle I = \int_0^1 xe^x\,dx$
2. $\displaystyle J = \int_1^e x\ln x\,dx$
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- Calcul de $I = \displaystyle\int_0^1 xe^x\,dx$ :
On pose $u = x$ et $v' = e^x$, donc $u' = 1$ et $v = e^x$. $$I = \left[xe^x\right]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - \left[e^x\right]_0^1 = e - (e-1) = \boxed{1}$$ - Calcul de $J = \displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx$ :
On pose $u = \ln x$ et $v' = x$, donc $u' = \dfrac{1}{x}$ et $v = \dfrac{x^2}{2}$. $$J = \left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}\,dx = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}\int_1^e x\,dx$$ $$= \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2}\left[\frac{x^2}{2}\right]_1^e = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2-1}{4} = \boxed{\frac{e^2+1}{4}}$$
Aire entre deux courbes — intersection et calcul
Exercice 4 — Aire entre deux courbes
Soient $f(x) = x^2$ et $g(x) = 2x$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$.
1. Déterminer les points d'intersection de leurs courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
2. Étudier le signe de $g(x) - f(x)$ sur l'intervalle délimité par ces points.
3. Calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la surface comprise entre les deux courbes.
4. Représenter graphiquement les deux courbes et identifier la surface calculée.
Valeur moyenne et application à la physique — type Bac
Exercice 5 — Valeur moyenne et application physique
La température $T(t)$ (en °C) un jour de saison sèche est modélisée par :
$$T(t) = -0{,}5t^2 + 6t + 18 \quad \text{pour } t \in [0\,;\,12]$$où $t$ est le nombre d'heures après 6h du matin ($t=0$ correspond à 6h, $t=12$ à 18h).
1. Calculer $T(0)$, $T(6)$ et $T(12)$. À quelle heure fait-il le plus chaud ?
2. Calculer $T'(t)$. Vérifier que le maximum est bien atteint en $t = 6$.
3. Calculer la température moyenne $\bar{T}$ sur la période $[0\,;\,12]$ en utilisant :
$$\bar{T} = \frac{1}{12-0}\int_0^{12} T(t)\,dt$$4. La valeur moyenne $\bar{T}$ est-elle atteinte avant ou après le pic de chaleur ?
5. Calculer l'aire sous la courbe de $T$ sur $[0\,;\,12]$ et interpréter physiquement.
Intégrale, changement de variable et aire — niveau Bac
Exercice 6 — Changement de variable et aire — niveau Bac
Soit $f$ définie sur $[0\,;\,1]$ par $f(x) = x\sqrt{1 - x^2}$.
1. Montrer que $f(x) \geq 0$ sur $[0\,;\,1]$.
2. Calculer $f'(x)$. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\,1]$.
3. Calculer $I = \displaystyle\int_0^1 x\sqrt{1-x^2}\,dx$ en posant le changement de variable $u = 1 - x^2$.
4. Interpréter géométriquement : l'aire calculée correspond-elle à un quart de disque ? Comparer avec $\dfrac{\pi}{4} \approx 0{,}785$.
5. En déduire une encadrement de $I$ et vérifier votre calcul.
Primitive d'une forme $u'e^u$
Exercice 6 — Primitive d'une forme $u'e^u$
Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = (2x-2)e^{x^2-2x+3}$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $F(1)=5$.
Étude d'une fonction avec logarithme, aire et valeur moyenne
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{1+2\ln x}{x}\). On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal : 2 cm pour une unité sur l'axe des abscisses et 4 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.
1) Résous l'équation \(f(x)=0\), puis étudie le signe de \(f(x)\) sur \(]0\,;+\infty[\).
2) Calcule \(f'(x)\), donne le sens de variation de \(f\) et la valeur exacte de son maximum.
3) Démontre que la fonction \(F\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(F(x)=(\ln x)^2+\ln x\) est une primitive de \(f\).
4) Calcule, en unités d'aire puis en cm², l'aire \(\mathcal{A}\) du domaine délimité par la courbe \((C)\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=1\) et \(x=e\). Justifie que cette aire est bien donnée par une intégrale de \(f\).
5) Calcule la valeur moyenne \(\mu\) de \(f\) sur \([1\,;e]\). Démontre, à l'aide des variations de \(f\), que \(1\leq f(x)\leq\dfrac{2}{\sqrt{e}}\) pour tout \(x\) de \([1\,;e]\), puis explique pourquoi \(\mu\) est nécessairement comprise entre ces deux nombres.
6) Détermine le réel \(\lambda\gt 1\) tel que \(\int_{1}^{\lambda} f(x)\,dx=6\).
Intensité d'une averse et hauteur d'eau recueillie
Dans une ferme, un pluviomètre enregistreur suit une averse pendant 6 heures. À l'instant \(t\), exprimé en heures depuis le début de l'averse, l'intensité de la pluie, en millimètres d'eau par heure, est modélisée par \(p(t)=20\,t\,e^{-t/2}\), pour \(t\) dans \([0\,;6]\). La hauteur d'eau, en millimètres, recueillie entre deux instants \(a\) et \(b\) avec \(a\leq b\) est \(\int_{a}^{b} p(t)\,dt\).
1) Calcule \(p'(t)\) et étudie les variations de \(p\) sur \([0\,;6]\). À quel instant la pluie est-elle la plus forte, et quelle est alors son intensité, au dixième près ?
2) À l'aide d'une intégration par parties, démontre que, pour tout \(x\) de \([0\,;6]\), \(\int_{0}^{x} t\,e^{-t/2}\,dt=4-(2x+4)e^{-x/2}\).
3) On note \(H(x)\) la hauteur d'eau recueillie entre l'instant 0 et l'instant \(x\). Exprime \(H(x)\) en fonction de \(x\), puis calcule la hauteur totale \(H(6)\) : valeur exacte, puis valeur arrondie au dixième.
4) Calcule l'intensité moyenne de la pluie sur les 6 heures, arrondie au dixième, et interprète ce nombre.
5) Sans calculer d'intégrale, démontre que la hauteur d'eau \(J\) recueillie entre les instants 2 et 4 vérifie \(160\,e^{-2}\leq J\leq\dfrac{80}{e}\). Calcule ensuite la valeur exacte de \(J\) et vérifie l'encadrement avec des valeurs arrondies au dixième.
Une suite d'intégrales avec le logarithme
Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(I_n=\int_{1}^{e} x(\ln x)^n\,dx\). En particulier, \(I_0=\int_{1}^{e} x\,dx\).
1) Calcule \(I_0\).
2) Démontre que, pour tout \(x\) de \([1\,;e]\) et tout entier naturel \(n\), \(0\leq x(\ln x)^{n+1}\leq x(\ln x)^n\). Déduis-en que \(I_n\geq 0\) pour tout \(n\) et que la suite \((I_n)\) est décroissante.
3) À l'aide d'une intégration par parties, démontre que, pour tout entier naturel \(n\), \(I_{n+1}=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{n+1}{2}I_n\).
4) Calcule les valeurs exactes de \(I_1\) et de \(I_2\).
5) En utilisant les résultats des questions 2 et 3, démontre que, pour tout entier \(n\geq 1\), \(\dfrac{e^2}{n+3}\leq I_n\leq\dfrac{e^2}{n+2}\).
6) Déduis-en la limite de la suite \((I_n)\), puis celle de la suite \((nI_n)\).
Courbe, droite, symétrie et aire entre deux courbes
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\dfrac{4x}{x^2+1}\). On note \((C)\) sa courbe représentative et \((D)\) la droite d'équation \(y=x\), dans un repère orthonormé d'unité graphique 2 cm.
1) Démontre que \(f\) est impaire. Étudie ensuite le signe de \(f(x)-x\) sur \([0\,;+\infty[\) et déduis-en la position de \((C)\) par rapport à \((D)\) sur cet intervalle, ainsi que leurs points communs d'abscisse positive ou nulle.
2) Détermine la primitive \(F\) de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) qui s'annule en 0.
3) Calcule \(\int_{0}^{\sqrt{3}} f(x)\,dx\). Démontre ensuite, sans nouveau calcul de primitive, que \(\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} f(x)\,dx=0\), et interprète ce résultat à l'aide de la symétrie de la courbe.
4) Calcule, en unités d'aire puis en cm² (valeur arrondie au centième), l'aire \(\mathcal{A}\) du domaine délimité par \((C)\) et \((D)\) pour \(x\) compris entre 0 et \(\sqrt{3}\).
5) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f(x)\leq 2\). Déduis-en un majorant de \(\int_{0}^{\sqrt{3}} f(x)\,dx\), puis l'inégalité \(\ln 2\leq\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Calcule enfin la valeur moyenne de \(f\) sur \([0\,;\sqrt{3}]\).
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.