Terminale S1-S3 · Leçon 16
Transformations élémentaires de l’espace
Exercices corrigés
Deux réflexions composées
L'espace est muni d'un repère orthonormé. On note \(s\) la réflexion de plan \(P : x-z=0\) et \(s'\) la réflexion de plan \(P' : x+z=0\).
1) Montre que \(s\) a pour expression analytique \((x\,;y\,;z)\mapsto(z\,;y\,;x)\). Donne l'image de \(A(3\,;0\,;1)\).
2) Donne de même l'expression analytique de \(s'\).
3) Détermine \(s'\circ s\) et reconnais cette transformation. Justifie le résultat par la position des plans \(P\) et \(P'\).
Voir le corrigé
1) Un vecteur normal à \(P\) est \(\vec n(1\,;0\,;-1)\). Pour \(M(x\,;y\,;z)\), on cherche \(M'=M+t\,\vec n\) avec le milieu de \([MM']\) dans \(P\) : \(\left(x+\frac t2\right)-\left(z-\frac t2\right)=0\), d'où \(t=z-x\) et \(M'(z\,;y\,;x)\). Ainsi \(A'(1\,;0\,;3)\) ; le milieu \((2\,;0\,;2)\) est bien dans \(P\).
2) Avec \(\vec n'(1\,;0\,;1)\) et le milieu dans \(P'\) : \(\left(x+\frac t2\right)+\left(z+\frac t2\right)=0\), d'où \(t=-(x+z)\) et \(s'(x\,;y\,;z)=(-z\,;y\,;-x)\).
3) \(s'\circ s(x\,;y\,;z)=s'(z\,;y\,;x)=(-x\,;y\,;-z)\) : c'est le demi-tour d'axe \((Oy)\). En effet, \(P\) et \(P'\) se coupent selon \((Oy)\) et sont perpendiculaires (\(\vec n\cdot\vec n'=1-1=0\)) : la composée est la rotation d'axe \((Oy)\) d'angle \(2\times\frac\pi2=\pi\).
Réponse : \(s(x\,;y\,;z)=(z\,;y\,;x)\), \(A'(1\,;0\,;3)\) ; \(s'(x\,;y\,;z)=(-z\,;y\,;-x)\) ; \(s'\circ s\) est le demi-tour d'axe \((Oy)\).
Rotation et translation décomposées
Dans un repère orthonormé, \(r\) est la rotation d'axe \((Oz)\) et d'angle \(\dfrac\pi2\).
1) Donne l'expression analytique de \(r\) et l'image de \(B(1\,;2\,;0)\).
2) Détermine l'ensemble des points invariants par \(r\).
3) On note \(\sigma_1\) et \(\sigma_4\) les réflexions de plans \(z=1\) et \(z=4\). Détermine \(\sigma_4\circ\sigma_1\). Écris ensuite la translation de vecteur \(2\vec k\) comme composée de deux réflexions.
Voir le corrigé
1) \(x'=x\cos\frac\pi2-y\sin\frac\pi2=-y\), \(y'=x\sin\frac\pi2+y\cos\frac\pi2=x\), \(z'=z\). Donc \(r(x\,;y\,;z)=(-y\,;x\,;z)\) et \(B'(-2\,;1\,;0)\).
2) \(r(M)=M\) équivaut à \(-y=x\) et \(x=y\), soit \(x=y=0\) : les points invariants sont ceux de l'axe \((Oz)\).
3) \(\sigma_1(x\,;y\,;z)=(x\,;y\,;2-z)\) et \(\sigma_4(x\,;y\,;z)=(x\,;y\,;8-z)\), donc \(\sigma_4\circ\sigma_1(x\,;y\,;z)=(x\,;y\,;8-(2-z))=(x\,;y\,;z+6)\) : translation de vecteur \(6\vec k\), le double du vecteur \(3\vec k\) qui va du premier plan au second. De même, la translation de vecteur \(2\vec k\) est \(\sigma_1\circ\sigma_0\), où \(\sigma_0\) est la réflexion de plan \(z=0\) : \(\sigma_1(x\,;y\,;-z)=(x\,;y\,;2+z)\).
Réponse : \(r(x\,;y\,;z)=(-y\,;x\,;z)\), \(B'(-2\,;1\,;0)\) ; points invariants : l'axe \((Oz)\) ; \(\sigma_4\circ\sigma_1\) est la translation de vecteur \(6\vec k\) ; translation de vecteur \(2\vec k\) : \(\sigma_1\circ\sigma_0\).