Terminale S1-S3 · Leçon 9
Dérivation
Ce que dit le programme officiel (6 points)
- Compléments sur les fonctions dérivées ; dérivée d’une fonction composée (g ∘ f)′(x) = g′(f(x)) f′(x)
- Dérivée de la réciproque d’une fonction dérivable strictement monotone de dérivée non nulle : (f⁻¹)′(x) = 1/f′(f⁻¹(x))
- Théorème des accroissements finis (admis) ; inégalité des accroissements finis
- Théorème du prolongement de la dérivée : si f est continue sur [a ; b], dérivable sur ]a ; b[ et si f′(x) tend vers l en a, f est dérivable à droite en a de dérivée l
- Dérivées successives : dérivée seconde, tierce ; dérivée n-ième de sin, cos, exp
- Application à l’étude des fonctions rationnelles, irrationnelles, trigonométriques
Source : Programme de mathématiques, Terminales S1 et S3 (Sénégal), octobre 2006
Dérivée d'une fonction composée
| f(x) | f ′(x) | Domaine |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{R}^*\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\ln x\) | \(\dfrac{1}{x}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \(u+v\) | \(u'+v'\) |
| \(u\times v\) | \(u'v+uv'\) |
| \(\dfrac{u}{v}\) | \(\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) |
| \(u^n\) | \(n\,u'\,u^{n-1}\) |
| \(\sqrt{u}\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) |
| \(e^u\) | \(u'\cdot e^u\) |
| \(\ln u\) | \(\dfrac{u'}{u}\) |
Pour \(\ln(u(x))\) : beaucoup écrivent \(\frac{1}{u(x)}\) en oubliant \(u'(x)\) au numérateur. La dérivée correcte est toujours \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\). Même raisonnement pour \((e^u)'=u'\cdot e^u\).
Inégalité des accroissements finis
Soit \(f\) dérivable sur \(I\). S'il existe \(M \ge 0\) tel que \(|f'(t)| \le M\) pour tout \(t \in I\), alors :
\[ \forall\, a, b \in I,\quad |f(b) - f(a)| \le M\,|b - a|. \]Si la pente est bornée, la variation de \(f\) est bornée en proportion de la variation de \(x\).
Si \(m \le f'(t) \le M\) pour tout \(t \in [a\,;b]\) (avec \(a < b\)), alors :
\[ m(b-a) \le f(b) - f(a) \le M(b-a). \]La pente de la corde reliant \((a\,;\,f(a))\) à \((b\,;\,f(b))\) est encadrée par les valeurs extrêmes de \(f'\) sur \([a\,;b]\).
Soit \(f(t) = \sqrt{t}\) sur \([100\,;101]\). On a \(f'(t) = \dfrac{1}{2\sqrt{t}}\).
Sur \([100\,;101]\) : \(\dfrac{1}{22} \le f'(t) \le \dfrac{1}{20}\). La forme encadrement donne :
\[\frac{1}{22} \le \sqrt{101} - 10 \le \frac{1}{20}, \quad \text{soit} \quad 10{,}04\overline{5} \le \sqrt{101} \le 10{,}05.\]Valeur exacte : \(\sqrt{101} \approx 10{,}0499\) — bien dans l'encadrement.
Pour \(f(t) = \sin t\) : \(|f'(t)| = |\cos t| \le 1\). La forme majoration avec \(a = 0\) donne :
\[|\sin x| \le 1 \times |x| = |x|.\]Résultat souvent utilisé dans les gendarmes, démontré ici en deux lignes.
Pour \(f(t) = e^t\) : \(f'(t) = e^t \ge 1\) pour \(t \ge 0\). La forme encadrement avec \(a=0\), \(b=x\) (\(x \ge 0\)) :
\[e^x - 1 \ge x, \quad \text{soit} \quad e^x \ge 1 + x.\]On retrouve ainsi l'inégalité tangente sans étude de signe.
- Identifier la fonction \(f\) et l'intervalle \([a\,;b]\).
- Calculer \(f'(t)\) et l'encadrer sur \([a\,;b]\) : \(m \le f'(t) \le M\).
- Appliquer : \(m(b-a) \le f(b)-f(a) \le M(b-a)\).
- Interpréter : si \(f(a)\) est connu, en déduire un encadrement de \(f(b)\).
Figure interactive — Inégalité des accroissements finis sur \(\sqrt{t}\)
corde \([a\,;b]\)
droites de pentes \(m\) et \(M\)
Déplacer les curseurs pour changer \(a\) et \(b\)
La corde relie \((a\,;\,\sqrt{a})\) à \((b\,;\,\sqrt{b})\). Les deux droites vertes en pointillés correspondent aux pentes extrêmes \(m\) et \(M\) de \(f'\) sur \([a\,;b]\) : la corde reste toujours entre elles.
Dérivées successives, dérivée seconde et concavité
- Si \(f'(x)>0\) sur \(I\) → \(f\) strictement croissante sur \(I\)
- Si \(f'(x)<0\) sur \(I\) → \(f\) strictement décroissante sur \(I\)
- Si \(f'(x)=0\) sur \(I\) → \(f\) constante sur \(I\)
\(f'(a)=0\) ne garantit pas un extremum. Pour \(f(x)=x^3\) : \(f'(0)=0\) mais \(f\) est strictement croissante — pas d'extremum en 0. Il faut obligatoirement vérifier le changement de signe de \(f'\) autour de \(a\) : \(+\to-\) (max), \(-\to+\) (min), pas de changement (point d'inflexion).
\(f''=(f')'\). Si \(f''>0\) → convexe (U). Si \(f''<0\) → concave (∩). Si \(f''\) change de signe en \(a\) → point d'inflexion.
Théorème du prolongement de la dérivée ; dérivées successives et dérivée n-ième
Pour savoir si une fonction est dérivable en un point délicat (une borne de son ensemble de définition, un point de raccordement), on peut éviter de revenir au taux d'accroissement : il suffit souvent de regarder la limite de la dérivée. On apprend aussi à dériver plusieurs fois de suite et à trouver une formule pour la dérivée d'ordre \(n\).
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a\,;b]\) et dérivable sur \(]a\,;b[\).
- Si \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}f'(x)=\ell\) (réel), alors \(f\) est dérivable à droite en \(a\) et \(f'_d(a)=\ell\).
- Si \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}f'(x)=+\infty\) ou \(-\infty\), alors \(f\) n'est pas dérivable à droite en \(a\) : sa courbe admet au point d'abscisse \(a\) une demi-tangente verticale.
Le même énoncé vaut à gauche en \(b\). Il se démontre avec le théorème des accroissements finis : \(\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(c_x)\) avec \(c_x\) entre \(a\) et \(x\), et \(c_x\) tend vers \(a\).
L'hypothèse de continuité en \(a\) est indispensable. Et si \(f'\) n'a pas de limite en \(a\), on ne peut rien conclure par ce théorème : il faut revenir au taux d'accroissement.
Si \(f\) est dérivable et si sa dérivée \(f'\) est dérivable, la dérivée de \(f'\) est la dérivée seconde \(f''\) ; puis la dérivée tierce \(f'''\), et ainsi de suite. On note \(f^{(n)}\) la dérivée \(n\)-ième, avec \(f^{(0)}=f\) et \(f^{(n+1)}=\left(f^{(n)}\right)'\).
Formules à connaître (démontrées par récurrence), pour tout entier \(n\) :
\[\sin^{(n)}x=\sin\left(x+n\frac\pi2\right),\qquad \cos^{(n)}x=\cos\left(x+n\frac\pi2\right),\qquad \left(e^{x}\right)^{(n)}=e^x,\qquad \left(e^{ax}\right)^{(n)}=a^ne^{ax}.\]Pour le sinus : si \(\sin^{(n)}x=\sin\left(x+n\frac\pi2\right)\), on dérive : \(\sin^{(n+1)}x=\cos\left(x+n\frac\pi2\right)=\sin\left(x+(n+1)\frac\pi2\right)\), car \(\cos\theta=\sin\left(\theta+\frac\pi2\right)\).
Dérivabilité en \(a\). 1) Vérifier la continuité de \(f\) en \(a\). 2) Calculer \(f'(x)\) pour \(x\neq a\). 3) Chercher la limite de \(f'(x)\) en \(a\) : limite finie, \(f\) est dérivable ; limite infinie, demi-tangente verticale ; pas de limite, revenir au taux d'accroissement.
Dérivée \(n\)-ième. Calculer \(f'\), \(f''\), \(f'''\), deviner la forme générale, puis la démontrer par récurrence. Pour un polynôme de degré \(d\), toutes les dérivées d'ordre supérieur à \(d\) sont nulles.
Énoncé. Soit \(f\) définie sur \([0\,;+\infty[\) par \(f(x)=x^2\ln x\) si \(x\gt 0\) et \(f(0)=0\). Montrer que \(f\) est continue en 0, puis dérivable à droite en 0. Interpréter.
Solution : \(x^2\ln x=x\times(x\ln x)\) tend vers \(0\times0=0\) quand \(x\) tend vers 0 (croissance comparée \(x\ln x\to0\)) : \(f\) est continue en 0. Pour \(x\gt0\), \(f'(x)=2x\ln x+x\), qui tend vers 0.
D'après le théorème du prolongement de la dérivée, \(f\) est dérivable à droite en 0 et \(f'_d(0)=0\) : la courbe a une demi-tangente horizontale à l'origine. Contrôle direct : \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=x\ln x\), qui tend vers 0.
Énoncé. Soit \(h(x)=\sqrt{1-x^2}\) sur \([-1\,;1]\). Étudier la dérivabilité de \(h\) à gauche en 1.
Solution : \(h\) est continue sur \([-1\,;1]\) et dérivable sur \(]-1\,;1[\), avec \(h'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\). Quand \(x\) tend vers 1 par valeurs inférieures, le numérateur tend vers \(-1\) et le dénominateur vers 0 par valeurs positives : \(h'(x)\) tend vers \(-\infty\).
Donc \(h\) n'est pas dérivable à gauche en 1 ; sa courbe, le demi-cercle supérieur de centre \(O\) et de rayon 1, a une tangente verticale au point \((1\,;0)\).
Figure — Une demi-tangente horizontale en 0
La courbe de f(x) = x² ln x sur l'intervalle de 0 à 1,6, en bleu. Elle part de l'origine en restant collée à l'axe des abscisses, qui est sa demi-tangente (en or) : le nombre dérivé à droite en 0 vaut 0. Le minimum, atteint en x = e^(−1/2) ≈ 0,61, vaut −1/(2e) ≈ −0,18.
Énoncé. Calculer la dérivée \(n\)-ième de \(f(x)=xe^x\) et de \(g(x)=e^{2x}\). Pour \(p(x)=x^3-2x^2\), calculer \(p''\), \(p'''\) et \(p^{(4)}\).
Solution : \(f'(x)=(x+1)e^x\), \(f''(x)=(x+2)e^x\). On conjecture \(f^{(n)}(x)=(x+n)e^x\). Récurrence : vrai pour \(n=0\) ; si c'est vrai au rang \(n\), \(f^{(n+1)}(x)=e^x+(x+n)e^x=(x+n+1)e^x\).
\(g^{(n)}(x)=2^ne^{2x}\) (chaque dérivation multiplie par 2). Enfin \(p'(x)=3x^2-4x\), \(p''(x)=6x-4\), \(p'''(x)=6\), \(p^{(4)}(x)=0\).
Oublier la continuité. La fonction égale à \(x\) pour \(x\gt0\) et à 1 en 0 a une dérivée qui tend vers 1 en 0, mais elle n'est pas continue en 0, donc pas dérivable : le théorème ne s'applique pas.
Conclure à la non-dérivabilité quand \(f'\) n'a pas de limite. \(k(x)=x^2\sin\frac1x\) (avec \(k(0)=0\)) est dérivable en 0, de nombre dérivé 0 (car \(\left|\frac{k(x)}{x}\right|\le|x|\)), alors que \(k'(x)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x\) n'a pas de limite en 0.
Lien entre continuité et dérivabilité
Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \(f\) est continue en \(a\). En écrivant :
\[ f(x) - f(a) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \cdot (x-a) \;\xrightarrow[x\to a]{}\; f'(a) \cdot 0 = 0, \]on conclut que \(f(x) \to f(a)\).
Une fonction continue en \(a\) n'est pas nécessairement dérivable en \(a\). L'exemple canonique est \(f(x) = |x|\) en \(x = 0\) :
- \(f\) est continue en 0 : \(|x| \to 0 = f(0)\).
- Le taux d'accroissement \(\dfrac{|h|}{h}\) vaut \(+1\) si \(h>0\) et \(-1\) si \(h<0\). Les limites latérales diffèrent : \(f\) n'est pas dérivable en 0.
- Géométriquement : point anguleux en 0, avec deux demi-tangentes de pentes \(-1\) et \(+1\).
Aucune des implications réciproques n'est vraie en général.
- Vérifier d'abord que \(f\) est continue en \(a\). Sans continuité, pas de dérivabilité.
- Calculer la dérivée à gauche \(f'_g(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0^-} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) et la dérivée à droite \(f'_d(a)\).
- Si \(f'_g(a) = f'_d(a)\) : \(f\) est dérivable en \(a\), la valeur commune est \(f'(a)\). Sinon : point anguleux.
Soit \(f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \le 1, \\ 2x - 1 & \text{si } x > 1. \end{cases}\)
Continuité en 1 : \(\displaystyle\lim_{x\to 1^-} x^2 = 1\), \(\displaystyle\lim_{x\to 1^+}(2x-1) = 1\), et \(f(1) = 1\). Continuité assurée.
Dérivabilité en 1 : \(f'_g(1) = 2\times 1 = 2\) et \(f'_d(1) = 2\). Les dérivées latérales coïncident : \(f\) est dérivable en 1 et \(f'(1) = 2\).
Résumé
\(f\) continue en \(a\) et \(f'(x)\to\ell\) : \(f\) dérivable en \(a\), \(f'(a)=\ell\). Si \(f'(x)\to\pm\infty\) : tangente verticale.
\(\sin^{(n)}x=\sin\left(x+n\frac\pi2\right)\), \(\cos^{(n)}x=\cos\left(x+n\frac\pi2\right)\), \(\left(e^{ax}\right)^{(n)}=a^ne^{ax}\).
On calcule les premières dérivées, on conjecture, on démontre par récurrence.
Dérivable en \(a\) ssi \(f'_g(a) = f'_d(a)\). Finies et inégales → point anguleux. Infinie → tangente verticale.
\(f'' > 0\) : convexe (U). \(f'' < 0\) : concave (∩). \(f''\) change de signe → inflexion.
\((f(u))' = u' \cdot f'(u)\). Ne jamais oublier \(u'\). Identifier \(u\) et \(u'\) au brouillon avant d'appliquer.
\(|f'| \le M \Rightarrow |f(b)-f(a)| \le M|b-a|\). Forme encadrement : \(m(b-a) \le f(b)-f(a) \le M(b-a)\).
Toute fonction continue admet des primitives. Deux primitives diffèrent d'une constante. Condition initiale → primitive unique.
Reconnaître \(u'u^n\), \(u'/u\), \(u'e^u\), \(u'/\sqrt{u}\). Ajuster la constante multiplicative. Toujours vérifier en dérivant.
Sujet type Bac
Énoncé : Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & \text{si } x \le 0, \\ e^{-x} - 1 & \text{si } x > 0. \end{cases} \]1. Étudier la continuité de \(f\) en \(x = 0\).
2. Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(x = 0\).
3. Calculer \(f'(x)\) sur \(]-\infty\,;0[\) et \(]0\,;+\infty[\).
4. Déterminer une primitive \(F\) de \(f\) sur \(]0\,;+\infty[\) vérifiant \(F(0) = 2\).
5. Montrer que \(|f(x)| \le 2|x|\) pour tout \(x \in [-1\,;0]\) par l'inégalité des accroissements finis.
Partie 1 — Continuité en 0.
- \(\displaystyle\lim_{x\to 0^-}(x^2+2x) = 0\) et \(f(0) = 0\).
- \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}(e^{-x}-1) = 0\).
Les trois valeurs coïncident : \(f\) est continue en 0.
Partie 2 — Dérivabilité en 0.
\(f'_g(0) = (2x+2)\big|_{x=0} = 2\) et \(f'_d(0) = (-e^{-x})\big|_{x=0} = -1\).
Comme \(2 \neq -1\) : \(f\) est non dérivable en 0. Point anguleux, demi-tangentes de pentes \(2\) et \(-1\).
Partie 3 — Dérivée sur chaque intervalle.
Sur \(]-\infty\,;0[\) : \(f'(x) = 2x + 2\). Sur \(]0\,;+\infty[\) : \(f'(x) = -e^{-x}\).
En \(x=0\), la dérivée n'est pas définie.
Partie 4 — Primitive sur \(]0\,;+\infty[\).
Sur \(]0\,;+\infty[\), \(f(x) = e^{-x} - 1\). Primitivons terme à terme :
- \(e^{-x}\) : forme \(u'e^u\) avec \(u=-x\), \(u'=-1\) → primitive \(-e^{-x}\).
- \(-1\) → primitive \(-x\).
Condition \(F(0) = 2\) : \(-1 + C = 2\), donc \(C = 3\).
\[F(x) = -e^{-x} - x + 3.\]Vérification : \(F'(x) = e^{-x} - 1 = f(x)\).
Partie 5 — Inégalité des accroissements finis.
Sur \([-1\,;0]\) : \(f'(x) = 2x+2\). Pour \(x \in [-1\,;0]\) : \(0 \le f'(x) \le 2\), donc \(|f'(x)| \le 2\).
La forme majoration avec \(a=0\), \(b=x \in [-1\,;0]\) donne :
\[|f(x) - f(0)| \le 2|x - 0|, \quad \text{soit} \quad |f(x)| \le 2|x|,\]puisque \(f(0) = 0\).