Chargement…
ConnexionInscription

Terminale S1-S3 · Leçon 2

Nombres complexes : écritures, module et argument

Ce que dit le programme officiel (7 points)
  • Ensemble ℂ des nombres complexes, prolongement de ℝ (existence admise) ; addition et multiplication, structure de corps
  • Partie réelle, partie imaginaire, conjugué ; notations Re(z), Im(z)
  • Représentation géométrique : image d’un nombre complexe, affixe d’un point, d’un vecteur
  • Module : module d’un produit, inégalité triangulaire
  • Argument d’un nombre complexe non nul ; notation r eiθ ; relation eix eix′ = ei(x + x′)
  • Écritures algébrique, trigonométrique, exponentielle : passer de l’une à l’autre
  • Interpréter le module et l’argument de zA − zB et de (zA − zB)/(zA − zC) : distances, angles, alignement, cocyclicité

Source : Programme de mathématiques, Terminales S1 et S3 (Sénégal), octobre 2006

Nombres complexes : forme algébrique, opérations, puissances de i

Motivation fondamentale

Dans \(\mathbb{R}\), \(x^2+1=0\) n’a pas de solution. On définit \(i\) tel que \(i^2=-1\) :

\[\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\]
Cycle de période 4
\(i^1\)
\(i\)
→
\(i^2\)
\(-1\)
→
\(i^3\)
\(-i\)
→
\(i^4\)
\(1\)
→…
\[i^{4k}=1 \quad i^{4k+1}=i \quad i^{4k+2}=-1 \quad i^{4k+3}=-i\]
Exemples

a) \(i^{23}=-i\)   b) \(i^{100}=1\)   c) \(i^{-1}=-i\)

Définition
\[z = a + bi \qquad a,b\in\mathbb{R}\]
  • \(a=\text{Re}(z)\) : partie réelle   \(b=\text{Im}(z)\) : partie imaginaire (réel !)
  • Si \(b=0\) : réel pur. Si \(a=0,\,b\neq 0\) : imaginaire pur.
Égalité
\[z=z' \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases}a=a'\\b=b'\end{cases}\]
Points de vigilance
  • \(\text{Im}(3+5i)=5\) — pas \(5i\).
  • \(\sqrt{-4}=2i\). En général : \(\sqrt{-a}=i\sqrt{a}\) pour \(a>0\).
  • Toujours remplacer \(i^2=-1\) dans tout calcul.
Règles — \(z=a+bi\), \(z'=a'+b'i\)
\[z\pm z' = (a\pm a')+(b\pm b')i \qquad z\times z'=(aa'-bb')+(ab'+ba')i\]
Exemples

Avec \(z_1=3+2i\) et \(z_2=1-4i\) : \(z_1+z_2=4-2i\) ; \(z_1 z_2=11-10i\)

Conjugué d'un nombre complexe

Conjugué
\[\bar{z}=a-bi\]

Symétrique de \(z\) par rapport à l’axe réel.

Propriétés
PropriétéFormule
Double conjugaison\(\overline{\bar{z}}=z\)
Somme\(\overline{z+z'}=\bar{z}+\bar{z'}\)
Produit\(\overline{z\cdot z'}=\bar{z}\cdot\bar{z'}\)
\(z\cdot\bar{z}\)\(a^2+b^2=|z|^2\geq 0\)
Division par le conjugué
\[\frac{z}{z'}=\frac{z\cdot\bar{z'}}{|z'|^2}\]
Exemples
\[\frac{3+2i}{1-i}=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i \qquad \frac{2-i}{3+2i}=\frac{4}{13}-\frac{7}{13}i\]

Module d'un nombre complexe

Module
\[|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\cdot\bar{z}}\]
Propriétés
\[|z\cdot z'|=|z|\cdot|z'| \quad\left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|} \quad |z^n|=|z|^n \quad z\cdot\bar{z}=|z|^2\]

Plan complexe : affixe, image, distances

Plan complexe

À \(z=a+bi\) on associe \(M(a\,;\,b)\). \(M\) est l’image de \(z\) ; \(z\) est l’affixe de \(M\).

Distances et vecteurs
ObjetFormule
Affixe de \(\overrightarrow{AB}\)\(z_B-z_A\)
Distance \(AB\)\(|z_B-z_A|\)
Milieu \(I\)\(\dfrac{z_A+z_B}{2}\)
Centre de gravité \(G\)\(\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}\)
Figure interactive — Plan complexe : affixe, module, conjugué, distance
Point A
Point B
Milieu I
Conjugué À
z_A = 2+3i z_B = 5+i |z_A| = 3.606 |z_B−z_A| = 3.606 Milieu I = 3.5+2i arg(z_A) = 0.983 rad

Argument et forme trigonométrique

Argument
\[\cos\!\bigl(\arg z\bigr)=\frac{a}{|z|} \qquad \sin\!\bigl(\arg z\bigr)=\frac{b}{|z|}\]
Propriétés
\[\arg(z\cdot z')=\arg z+\arg z'\pmod{2\pi} \qquad \arg\!\left(\frac{z}{z'}\right)=\arg z-\arg z'\pmod{2\pi}\]\[\arg(z^n)=n\cdot\arg z\pmod{2\pi} \qquad \arg(\bar{z})=-\arg z\pmod{2\pi}\]
Exemple — \(z=-1+i\sqrt{3}\)

\(|z|=2\), \(\cos\theta=-\frac{1}{2}\), \(\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\) → \(\theta=\frac{2\pi}{3}\)

Erreur fréquente

\(\cos\theta=-\frac{1}{2}\) seul ne suffit pas. Le signe du sin est indispensable.

Définition
\[z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \qquad r=|z|,\;\theta=\arg(z)\]
Forme 1
Algébrique
\(z=a+bi\)

Opérations +, −, égalité

Forme 2
Trigonométrique
\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)

Lecture géométrique

Forme 3
Exponentielle
\(z=re^{i\theta}\)

Puissances, ×, ÷

Méthode en 3 étapes
  1. Calculer \(r=\sqrt{a^2+b^2}\)
  2. Résoudre simultanément \(\cos\theta=a/r\) ET \(\sin\theta=b/r\)
  3. Écrire \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)
4 cas — un par quadrant

1. \(z=1+i\) : \(r=\sqrt{2}\), \(\theta=\pi/4\)

2. \(z=-1+i\sqrt{3}\) : \(r=2\), \(\theta=2\pi/3\)

3. \(z=-\sqrt{3}-i\) : \(r=2\), \(\theta=-5\pi/6\)

4. \(z=2-2i\) : \(r=2\sqrt{2}\), \(\theta=-\pi/4\)

Produit et quotient
\[z\cdot z'=rr'[\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta')] \qquad \frac{z}{z'}=\frac{r}{r'}[\cos(\theta-\theta')+i\sin(\theta-\theta')]\]

Modules : se multiplient. Arguments : s’additionnent.

Point de vigilance

Si \(\cos\theta=-1/2\) seul, deux valeurs sont possibles. Le signe de \(\sin\theta\) est obligatoire.

Complexes et géométrie : configurations, alignement, orthogonalité

Quotient \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\) et géométrie
Condition géométriqueCondition complexe
A, B, C alignés\(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}\)
\(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\)quotient imaginaire pur
ABC isocèle rect. en Aquotient \(=\pm i\)
ABC équilatéralmodule 1, arg \(=\pm\pi/3\)
ABCD parallélogramme\(z_A+z_C=z_B+z_D\)
Angle \(\widehat{BAC}\)\(\arg\!\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)\)
Exemple 1 — Alignement
\[\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{2+4i}{1+2i}=2\in\mathbb{R}\;\Rightarrow\;\text{alignés}\]
Exemple 2 — Triangle équilatéral
\[\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=e^{i\pi/3}\;\Rightarrow\;\text{triangle équilatéral}\]

Forme exponentielle et formule d'Euler

\(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)
Valable pour tout réel \(\theta\)
Identité d’Euler
\[e^{i\pi}+1=0\]

Relie les 5 constantes fondamentales : \(e\), \(i\), \(\pi\), \(1\), \(0\).

Forme exponentielle
\[z = r\,e^{i\theta}\]
Propriétés
\[e^{i\theta}\cdot e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')} \quad \frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')} \quad (e^{i\theta})^n=e^{in\theta}\] \[\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta} \quad |e^{i\theta}|=1 \qquad \cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\]
Exemples

\(2+2i\sqrt{3}=4e^{i\pi/3}\)   \(-i=e^{-i\pi/2}\)   \(-2=2e^{i\pi}\)

Résumé

Résumé — Ce que le Bac exige (Partie II)
Forme trigonométrique

\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)

Modules ×, arguments +

Formule d’Euler

\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)

\(e^{i\pi}+1=0\)

De Moivre

\((re^{i\theta})^n=r^n e^{in\theta}\)

Linéarisation via formules Euler

Géométrie

Aligné : quotient \(\in\mathbb{R}\)

Perp. : quotient im. pur

Transformations

Rot. O : \(z'=e^{i\alpha}z\)

Rot. \(\Omega\) : \(z'-\omega=e^{i\alpha}(z-\omega)\)

3 Formes

Algébrique · Trigo. · Expo.

Sujet type Bac

Exercice type Bac — Étude complète en 4 parties

Données : \(A(z_A=1+i)\), \(B(z_B=3+2i)\), \(C(z_C=2+4i)\). Soit \(r\) la rotation de centre \(A\), angle \(\pi/2\).

Partie A — Forme trigonométrique
\[z_B-z_A=2+i \;;\quad r=\sqrt{5} \;;\quad z_B-z_A=\sqrt{5}\!\left(\cos\arctan\tfrac{1}{2}+i\sin\arctan\tfrac{1}{2}\right)\]
Partie B — Nature du triangle
\[\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4} \;\Rightarrow\; \widehat{BAC}=45°,\;AC=\sqrt{2}\cdot AB\]
Partie C — Image par rotation
\[z_{B'}-z_A=i(2+i)=-1+2i \;\Rightarrow\; z_{B'}=3i \quad \text{Vérif : }|z_{B'}-z_A|=\sqrt{5}\checkmark\]
Partie D — Équation complexe

\(z^2-2(1+i)z+(1+2i)=0\) — \(\Delta=-4\), \(\sqrt{\Delta}=2i\)

\[z_1=1+2i \quad;\quad z_2=1\]
Exercices corrigés8 corrigésQuiz de la leçon25 questions
Mode hors-ligne — données en cache