Terminale S1-S3 · Leçon 17
Courbes paramétrées
Ce que dit le programme officiel (6 points)
- Courbes définies en repère orthonormal par t ↦ OM(t) = x(t) i + y(t) j ; introduction à partir de problèmes de lieux géométriques
- Vecteur dérivé (coordonnées x′(t), y′(t)) : interprétation cinématique, vecteur vitesse, tangente (vecteur dérivé non nul)
- Vecteur accélération ; étude de la trajectoire, du mouvement
- Exemples : cercles, cycloïdes x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), astroïdes x = a cos³ t, y = a sin³ t
- Déterminer la tangente à une courbe paramétrée ; représenter une courbe paramétrée
- Limite : l’étude des branches infinies n’est pas demandée
Source : Programme de mathématiques, Terminales S1 et S3 (Sénégal), octobre 2006
Courbes paramétrées : étude, tangentes, tracé
Ensemble des points \(M(t)\) du plan dont les coordonnées sont des fonctions d’un paramètre réel \(t\) :
- \(f\) et \(g\) : fonctions dérivables sur \(I\)
- \(x(t)=f(t)\) : abscisse du point à l’instant \(t\)
- \(y(t)=g(t)\) : ordonnée du point à l’instant \(t\)
| Représentation | Exemple | Informations supplém. |
|---|---|---|
| Cartésienne \(y=f(x)\) | \(y=x^2\) | Aucune (pas de sens) |
| Paramétrique \((x(t),y(t))\) | \((\cos t,\sin t)\) | Sens de parcours donné |
| Terme | Définition |
|---|---|
| Support | La courbe tracée (image géométrique) |
| Sens de parcours | Direction dans laquelle \(M(t)\) se déplace quand \(t\) croît |
| Point multiple | Point atteint pour plusieurs valeurs de \(t\) |
| Point de rebroussement | Point où \(x'(t_0)=y'(t_0)=0\) et changement de direction |
Si \(x(t+T)=x(t)\) et \(y(t+T)=y(t)\) pour tout \(t\), alors la courbe est identique pour tout période. Il suffit d’étudier sur une période.
| Condition | Symétrie | Réduction |
|---|---|---|
| \(x(-t)=x(t)\), \(y(-t)=-y(t)\) | Axe \(Ox\) (abscisses) | \([0,T/2]\) puis symétrie |
| \(x(-t)=-x(t)\), \(y(-t)=y(t)\) | Axe \(Oy\) (ordonnées) | \([0,T/2]\) puis symétrie |
| \(x(-t)=-x(t)\), \(y(-t)=-y(t)\) | Centre \(O\) | \([0,T/2]\) puis symétrie |
| \(x(T/2-t)=x(t)\), \(y(T/2-t)=-y(t)\) | Axe horizontal | Réduction supplém. |
- Périodicité de \(x\) et \(y\) → réduire à une période
- Parité / symétrie → réduire à demi-période
- Symétrie supplémentaire → réduire encore
- Période \(2\pi\) → étudier sur \([0,2\pi]\)
- \(x(-t)=\cos^3(-t)=\cos^3 t=x(t)\) et \(y(-t)=-\sin^3 t=-y(t)\) → axe \(Ox\) → étudier sur \([0,\pi]\)
- Symétrie supplémentaire \(t\leftrightarrow\pi-t\) → axe \(Oy\) → étudier sur \([0,\pi/2]\)
Donne la direction et le sens de la tangente en \(M(t_0)\).
| Condition | Type de point | Tangente |
|---|---|---|
| \(x'(t_0)\neq 0\), \(y'(t_0)=0\) | Tangente horizontale | \(y=y(t_0)\) |
| \(x'(t_0)=0\), \(y'(t_0)\neq 0\) | Tangente verticale | \(x=x(t_0)\) |
| \(x'(t_0)\neq 0\), \(y'(t_0)\neq 0\) | Tangente oblique | Pente \(y'/x'\) |
| \(x'(t_0)=0\), \(y'(t_0)=0\) | Point stationnaire | Limite si elle existe |
Ou si \(x'(t_0)\neq 0\) : pente \(m=y'(t_0)/x'(t_0)\) et \(y-y_0=m(x-x_0)\).
Si \(x'(t_0)=y'(t_0)=0\), on cherche la direction limite de \(\vec{V}\) quand \(t\to t_0\), souvent via l’équivalent ou la limite du rapport \(y'(t)/x'(t)\).
\(x'(t)=-\sin t\), \(y'(t)=\cos t\). En \(t_0=\pi/4\) : \(M_0=(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2})\), \(\vec{V}=(-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2})\).
Pente : \(m=\cos(\pi/4)/(-\sin(\pi/4))=-1\). Tangente : \(y=\frac{\sqrt2}{2}-(x-\frac{\sqrt2}{2})=-x+\sqrt2\).
Quand \(t\) croît, \(M(t)\) se déplace. Le sens de parcours est donné par le vecteur \(\vec{V}(t)\) :
| \(x'(t)\) | \(y'(t)\) | Direction de déplacement |
|---|---|---|
| \(>0\) | \(>0\) | Vers le haut-droite ↗ |
| \(>0\) | \(<0\) | Vers le bas-droite ↘ |
| \(<0\) | \(>0\) | Vers le haut-gauche ↖ |
| \(<0\) | \(<0\) | Vers le bas-gauche ↙ |
Dresser le tableau de signe de \(x'(t)\) et \(y'(t)\) sur l’intervalle d’étude pour identifier les variations de \(x\) et \(y\) séparément.
- Période : \(x\) de période \(\pi\), \(y\) de période \(2\pi\) → période commune \(2\pi\)
- \(x(-t)=-\sin 2t=-x(t)\) (impaire), \(y(-t)=\cos(-t)=y(t)\) (paire) → symétrie axe \(Oy\)
- Étudier sur \([0,\pi]\) puis compléter
- Période \(2\pi\), symétries axes \(Ox\) et \(Oy\) → étudier sur \([0,\pi/2]\)
- \(x'=-3\cos^2 t\sin t\), \(y'=3\sin^2 t\cos t\)
- Points stationnaires : \(t=0\) et \(t=\pi/2\) (rebroussement)
Courbes paramétrées : vecteur vitesse, vecteur accélération ; cycloïde et astroïde
Une courbe paramétrée décrit souvent le mouvement d'un point : à l'instant \(t\), le mobile est en \(M(t)\). Les dérivées des coordonnées donnent alors sa vitesse et son accélération, comme en mécanique. Deux courbes célèbres illustrent ces notions : la cycloïde, trajectoire d'un point d'une roue qui roule, et l'astroïde.
Soit un point mobile \(M(t)\) défini par \(\overrightarrow{OM}(t)=x(t)\,\vec i+y(t)\,\vec j\) dans un repère orthonormal, \(x\) et \(y\) étant dérivables.
- Le vecteur vitesse (vecteur dérivé) à l'instant \(t\) est \(\vec V(t)=x'(t)\,\vec i+y'(t)\,\vec j\) ; sa norme \(\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\) est la vitesse scalaire.
- Si \(\vec V(t)\neq\vec 0\), la tangente à la trajectoire en \(M(t)\) est la droite passant par \(M(t)\) et dirigée par \(\vec V(t)\).
- Le vecteur accélération est \(\vec\Gamma(t)=x''(t)\,\vec i+y''(t)\,\vec j\).
Le mouvement est uniforme si la vitesse scalaire est constante, rectiligne si la trajectoire est contenue dans une droite. Pour un mouvement uniforme, \(\vec V\cdot\vec V\) est constant, donc \(\vec V\cdot\vec\Gamma=0\) : l'accélération est orthogonale à la vitesse.
1) Calculer \(x'(t)\), \(y'(t)\) ; étudier leurs signes (tableau de variations conjoint de \(x\) et \(y\)) ; repérer les instants où \(\vec V(t)=\vec0\) (points singuliers, où le mobile s'arrête).
2) Utiliser les symétries et la périodicité pour réduire l'intervalle d'étude.
3) Placer quelques points, tracer les tangentes connues (horizontale si \(y'(t)=0\) et \(x'(t)\neq0\), verticale si \(x'(t)=0\) et \(y'(t)\neq0\)), puis la courbe.
4) Pour une équation de la tangente en \(M(t_0)\) : un point \(N(X\,;Y)\) est sur la tangente si et seulement si \(\overrightarrow{M(t_0)N}\) et \(\vec V(t_0)\) sont colinéaires, soit \(\big(X-x(t_0)\big)y'(t_0)-\big(Y-y(t_0)\big)x'(t_0)=0\).
Énoncé. Un mobile a pour coordonnées \(x(t)=R\cos\omega t\), \(y(t)=R\sin\omega t\) (\(R\gt0\), \(\omega\gt0\)). Calculer sa vitesse et son accélération.
Solution : \(\vec V(t)=(-R\omega\sin\omega t\,;R\omega\cos\omega t)\), de norme \(R\omega\) : le mouvement est uniforme, sur le cercle de centre \(O\) et de rayon \(R\). On a \(\vec V\cdot\overrightarrow{OM}=0\) : la vitesse est tangente au cercle.
\(\vec\Gamma(t)=(-R\omega^2\cos\omega t\,;-R\omega^2\sin\omega t)=-\omega^2\,\overrightarrow{OM}(t)\) : l'accélération est dirigée vers le centre (centripète), de norme \(R\omega^2\).
Énoncé. Soit la cycloïde \(x(t)=t-\sin t\), \(y(t)=1-\cos t\) (cercle de rayon 1 qui roule sur l'axe des abscisses). Calculer \(\vec V(t)\) et sa norme, trouver les points où le mobile s'arrête, et la tangente au point de paramètre \(\dfrac\pi2\).
Solution : \(\vec V(t)=(1-\cos t\,;\sin t)\), et \(\|\vec V(t)\|^2=(1-\cos t)^2+\sin^2t=2-2\cos t=4\sin^2\dfrac t2\), donc \(\|\vec V(t)\|=2\left|\sin\dfrac t2\right|\). Le mobile s'arrête quand \(\sin\frac t2=0\), soit \(t=2k\pi\) : aux points \((2k\pi\,;0)\), où la roue touche le sol.
En \(t=\dfrac\pi2\) : \(M\left(\dfrac\pi2-1\,;1\right)\) et \(\vec V=(1\,;1)\). La tangente a pour équation \(y-1=x-\dfrac\pi2+1\), soit \(y=x+2-\dfrac\pi2\). L'accélération \(\vec\Gamma(t)=(\sin t\,;\cos t)\) a pour norme 1 ; la hauteur maximale 2 est atteinte en \(t=\pi\).
Figure — Une arche de cycloïde et un vecteur vitesse
Une arche de la cycloïde x = t − sin t, y = 1 − cos t pour t de 0 à 2π, en bleu. Au point de paramètre π/2, le vecteur vitesse (1 ; 1), en or, porte la tangente. Aux extrémités de l'arche, la vitesse est nulle : la courbe y arrive à la verticale (points de rebroussement).
Énoncé. Soit l'astroïde \(x(t)=\cos^3t\), \(y(t)=\sin^3t\). Calculer \(\vec V(t)\), trouver les points singuliers et la tangente au point de paramètre \(\dfrac\pi4\).
Solution : \(\vec V(t)=(-3\cos^2t\sin t\,;3\sin^2t\cos t)=3\sin t\cos t\,(-\cos t\,;\sin t)\). Il est nul quand \(\sin t\cos t=0\), soit \(t=k\dfrac\pi2\) : aux quatre points \((\pm1\,;0)\) et \((0\,;\pm1)\), pointes de la courbe.
En \(t=\dfrac\pi4\) : \(M\left(\dfrac{\sqrt2}4\,;\dfrac{\sqrt2}4\right)\) et \(\vec V\) est colinéaire à \((-1\,;1)\). La tangente a pour équation \(x+y=\dfrac{\sqrt2}2\). On remarque aussi que \(x^{2/3}+y^{2/3}=\cos^2t+\sin^2t=1\).
Tracer une tangente là où la vitesse est nulle. La règle « tangente dirigée par \(\vec V\) » suppose \(\vec V\neq\vec0\). Aux points singuliers de la cycloïde et de l'astroïde, il faut une étude particulière (non exigée ici).
Confondre la courbe et le graphe d'une fonction. Une courbe paramétrée peut repasser au-dessus d'une même abscisse, avoir des tangentes verticales ou des pointes : on étudie \(x\) et \(y\) en fonction de \(t\), pas \(y\) en fonction de \(x\).
Résumé
\(\vec V(t)=(x'(t)\,;y'(t))\) ; tangente dirigée par \(\vec V\) si \(\vec V\neq\vec0\).
\(\vec\Gamma(t)=(x''(t)\,;y''(t))\) ; mouvement uniforme : \(\vec V\cdot\vec\Gamma=0\).
Cercle : accélération centripète. Cycloïde : vitesse \(2|\sin\frac t2|\), arrêts en \(t=2k\pi\). Astroïde : pointes en \(t=k\frac\pi2\).
\(\Gamma=\{M(t)=(f(t),g(t))\mid t\in I\}\)
Sens de parcours = information supplémentaire
\(x(t+T)=x(t)\) et \(y(t+T)=y(t)\)
Étudier sur une période
\(x\) paire, \(y\) impaire → axe \(Ox\)
\(x\) impaire, \(y\) paire → axe \(Oy\)
\(x\) et \(y\) impaires → centre \(O\)
\(\vec{V}(t_0)=(x'(t_0),y'(t_0))\)
Tang. H : \(y'=0\), \(x'\neq 0\)
Tang. V : \(x'=0\), \(y'\neq 0\)
\(x'(t_0)=y'(t_0)=0\)
Chercher la direction limite
Cercle : \((\cos t,\sin t)\)
Ellipse : \((a\cos t,b\sin t)\)
Astroïde : \((\cos^3 t,\sin^3 t)\)
Lissajous : \((\sin 2t,\cos t)\)
Sujet type Bac
\(x(t)=\sin 2t\) de période \(\pi\), \(y(t)=\cos t\) de période \(2\pi\) → période commune \(2\pi\).
\(x(-t)=-\sin 2t=-x(t)\) (impaire) ; \(y(-t)=\cos t=y(t)\) (paire) → symétrie / axe \(Oy\) → étude sur \([0,\pi]\).
| \(t\) | \(0\) | \(\pi/4\) | \(\pi/2\) | \(3\pi/4\) | \(\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x'=2\cos 2t\) | \(+2\) | \(0\) | \(-2\) | \(0\) | \(+2\) |
| \(y'=-\sin t\) | \(0\) | \(-\frac{\sqrt2}{2}\) | \(-1\) | \(-\frac{\sqrt2}{2}\) | \(0\) |
| Type | Tang. H | Tang. V | Oblique | Tang. V | Tang. H |
| \(M(t)\) | \((0,1)\) | \((1,\frac{\sqrt2}{2})\) | \((0,0)\) | \((-1,\frac{\sqrt2}{2})\) | \((0,-1)\) |
En \(t=\pi/3\) : \(x'=2\cos(2\pi/3)=-1<0\), \(y'=-\sin(\pi/3)=-\frac{\sqrt3}{2}<0\) → direction ↙ (bas-gauche).
Symétrie par rapport à l’axe \(Oy\) : la branche \([-\pi,0]\) est le symétrique de \([0,\pi]\).