Terminale S1-S3 · Leçon 14
Points cocycliques, isométries et similitudes directes
Ce que dit le programme officiel (4 points)
- Points cocycliques : démontrer que quatre points sont cocycliques
- Rappels et compléments sur les isométries (exercices de démonstration, constructions, lieux géométriques)
- Similitudes directes planes : image d’une figure simple ; déterminer une similitude et ses éléments caractéristiques ; étude par l’expression complexe ; décomposer une similitude
- Triangles directement semblables : utiliser les critères de similitude de triangles
Source : Programme de mathématiques, Terminales S1 et S3 (Sénégal), octobre 2006
Angle inscrit et cocyclicité
Dans un cercle de centre \(O\), l'angle au centre \(\widehat{AOB}\) est le double de tout angle inscrit \(\widehat{ACB}\) qui intercepte le même arc \(\overset{\frown}{AB}\). Deux angles inscrits dans le même arc sont donc égaux.
\[ \left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right) = 2\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right) \pmod{2\pi}. \]Cas particulier fondamental : si \([AB]\) est un diamètre, tout angle inscrit dans le demi-cercle vaut \(\pm\dfrac{\pi}{2}\) — c'est le théorème de Thalès dans le cercle.
Quatre points distincts \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont cocycliques ou alignés si et seulement si :
\[ \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right) \equiv \left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\right) \ [\pi]. \]En pratique, on calcule les deux angles orientés modulo \(\pi\) et on vérifie s'ils coïncident. Si l'un des quatre points est à l'infini, la condition se ramène à l'alignement des trois autres.
En notant \(z_A, z_B, z_C, z_D\) les affixes des quatre points, le critère de cocyclicité est équivalent à demander que le birapport
\[ \frac{(z_A - z_C)(z_B - z_D)}{(z_B - z_C)(z_A - z_D)} \in \mathbb{R}. \]Si ce birapport est réel strictement positif, les quatre points sont cocycliques (ils sont sur le même arc) ; s'il est négatif, ils sont cocycliques mais séparés par la corde \([AB]\). Ce lien est exploité dans les exercices qui mêlent géométrie et complexes.
- Méthode directe : chercher le cercle passant par trois des points (deux médiatrices perpendiculaires) et vérifier que le quatrième est sur ce cercle.
- Méthode des angles : calculer \(\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)\) et \(\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\right)\) et montrer qu'ils sont égaux modulo \(\pi\).
- Méthode des complexes : montrer que le birapport est réel.
Exemple 1 — Cercle de diamètre et angle droit. Si \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\) pour tout \(M\) d'un ensemble \(\mathcal{E}\), alors \(\left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}\right) = \pm\dfrac{\pi}{2}\) : tous les points de \(\mathcal{E}\) voient \([AB]\) sous un angle droit. Par le théorème de Thalès inversé, \(\mathcal{E}\) est le cercle de diamètre \([AB]\) — la ligne de niveau de la section précédente et le critère de cocyclicité se rejoignent.
Exemple 2 — Vérification par les angles. \(A(1;0)\), \(B(-1;0)\), \(C(0;1)\), \(D(0;-1)\). \(\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)\) : \(\overrightarrow{CA}(1;-1)\), \(\overrightarrow{CB}(-1;-1)\), \(\cos\theta = \frac{-1+1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = 0\), donc l'angle vaut \(\tfrac{\pi}{2}\). \(\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\right)\) : \(\overrightarrow{DA}(1;1)\), \(\overrightarrow{DB}(-1;1)\), même calcul, angle vaut \(\tfrac{\pi}{2}\). Égalité modulo \(\pi\) : les quatre points sont cocycliques. (C'est le cercle unité \(x^2+y^2=1\).)
Cocyclicité — déplacer \(D\) pour voir quand les quatre points restent cocycliques
Point \(D\) (mobile)
D sur le cercle : cocycliques
Isométries du plan : classification et conservation
Une isométrie du plan est une transformation \(f : \mathcal{P} \to \mathcal{P}\) qui conserve les distances : pour tous points \(M\) et \(N\) du plan, \(f(M)f(N) = MN\). Toute isométrie est bijective, conserve l'alignement, les milieux, les angles géométriques, les aires, et transforme droites en droites et cercles en cercles de même rayon.
On distingue deux familles selon qu'elles conservent ou renversent l'orientation du plan. Les déplacements conservent les angles orientés : ce sont les translations et les rotations. Les antidéplacements changent les angles orientés en leurs opposés : ce sont les réflexions (symétries axiales) et les symétries glissées (réflexion composée d'une translation selon l'axe).
La composée de deux réflexions d'axes parallèles est une translation : le vecteur est perpendiculaire aux axes, de norme égale au double de leur distance. La composée de deux réflexions d'axes sécants en \(O\) est une rotation de centre \(O\), d'angle égal au double de l'angle orienté formé par les deux axes (pris dans l'ordre de composition).
Soient \(d_1 : x = 0\) (axe des ordonnées) et \(d_2 : x = 2\). La composée \(s_{d_2} \circ s_{d_1}\) est la translation de vecteur \(\vec{u} = (4,\,0)\). En effet les axes sont parallèles, écartés de \(2\), et le vecteur est perpendiculaire d'amplitude \(2 \times 2 = 4\).
Soient \(d_1 : y = 0\) et \(d_2\) l'axe faisant un angle de \(\dfrac{\pi}{6}\) avec \(d_1\), tous deux passant par \(O\). La composée \(s_{d_2} \circ s_{d_1}\) est la rotation de centre \(O\) et d'angle \(2 \times \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3}\).
L'ordre de composition compte pour les réflexions d'axes sécants : \(s_{d_2} \circ s_{d_1}\) est la rotation d'angle \(+2\alpha\) où \(\alpha = (d_1, d_2)\), mais \(s_{d_1} \circ s_{d_2}\) donne l'angle \(-2\alpha\). On n'intervertit pas les facteurs sans signe.
Figure interactive — Composition de deux réflexions axiales
axe \(d_2\)
point \(P\) initial
image \(P'\) finale
image intermédiaire \(P_1\)
Similitudes directes
Une similitude directe est une transformation qui multiplie toutes les distances par un réel \(k > 0\) (son rapport) et conserve les angles orientés. Ce sont exactement les transformations d'écriture complexe de la forme :
\[z' = az + b, \qquad a \in \mathbb{C}^*,\ b \in \mathbb{C}.\]Cas particuliers : si \(|a|=1\), c'est une rotation (ou une translation si \(a=1\)) ; si \(\arg a = 0\), c'est une homothétie (ou une translation si \(a=1\)).
Pour \(s : z' = az + b\) avec \(a \neq 1\) :
\[k = |a| \quad \text{(rapport)}, \qquad \theta = \arg a \quad \text{(angle)}\] \[\omega = \frac{b}{1-a} \quad \text{(affixe du centre } \Omega\text{)}\]La similitude est alors la composée commutative de la rotation de centre \(\Omega\) d'angle \(\theta\) et de l'homothétie de centre \(\Omega\) de rapport \(k\). Si \(a = 1\), \(s\) est la translation de vecteur d'affixe \(b\).
Une similitude directe de rapport \(k\) : transforme droites en droites et cercles en cercles ; multiplie les longueurs par \(k\), les aires par \(k^2\) ; conserve les angles orientés, le parallélisme, l'orthogonalité et les rapports de barycentres.
Caractérisons \(s : z' = (1+i)z + 2\).
On a \(a = 1+i\), donc \(k = |1+i| = \sqrt{2}\) et
\(\theta = \arg(1+i) = \dfrac{\pi}{4}\).
Centre : \(\omega = \dfrac{2}{1-(1+i)} = \dfrac{2}{-i} = \dfrac{2}{-i} \cdot \dfrac{i}{i}
= \dfrac{2i}{-i^2} = \dfrac{2i}{1} = 2i\).
Conclusion : \(s\) est la similitude directe de centre \(\Omega(0;\,2)\),
de rapport \(\sqrt{2}\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{4}\).
On compose \(s_1 : z' = (1+i)z + 2\) et \(s_2 : z'' = 2z' - 4\).
La composée \(s_2 \circ s_1\) : \(z'' = 2((1+i)z+2)-4 = (2+2i)z\).
Rapport : \(|2+2i| = 2\sqrt{2}\) ; angle : \(\dfrac{\pi}{4}\) ; centre : \(\omega = 0\)
(l'origine est fixe puisque \(b=0\)).
Soit le cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(A(1)\) et de rayon \(r = 1\),
et \(s : z' = (1+i)z + 2\) de rapport \(k = \sqrt{2}\).
L'image \(s(\mathcal{C})\) est un cercle de rayon \(k \times r = \sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}\),
centré en \(s(A)\). Or \(s(1) = (1+i)\cdot 1 + 2 = 3+i\).
Donc \(s(\mathcal{C})\) est le cercle de centre \((3;\,1)\) et de rayon \(\sqrt{2}\).
Si \(a = 1\), il n'y a pas de centre fixe et la formule \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\) est indéfinie : c'est une translation, pas une similitude au sens strict. Vérifiez toujours \(a \neq 1\) avant d'appliquer la formule du centre.
Figure interactive — Similitude directe \(z' = az + b\)
image \(A'B'C'\)
centre \(\Omega\)
Étant donnés deux couples de points distincts \((A, B)\) et \((A', B')\) avec \(A \neq B\) et \(A' \neq B'\), il existe une unique similitude directe \(s\) telle que \(s(A) = A'\) et \(s(B) = B'\).
On cherche \(s : z' = az + b\). Le système \(\begin{cases} z_{A'} = az_A + b \\ z_{B'} = az_B + b \end{cases}\) donne par soustraction :
\[a = \frac{z_{B'} - z_{A'}}{z_{B} - z_{A}} \qquad \text{puis} \qquad b = z_{A'} - a\,z_A.\]Le rapport est \(k = |a| = \dfrac{A'B'}{AB}\) et l'angle \(\theta = \arg a = \left(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{A'B'}\right)\).
- Écrire \(z' = az + b\) et calculer \(a\) à partir des affixes des deux couples.
- Calculer \(k = |a|\) en mettant \(a\) sous forme trigonométrique.
- Lire \(\theta = \arg a\).
- Si \(a \neq 1\), calculer \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\) et préciser le centre \(\Omega\).
- Conclure : « \(s\) est la similitude directe de centre \(\Omega\), de rapport \(k\), d'angle \(\theta\). »
Soient \(A(0)\), \(B(2)\), \(A'(1+i)\), \(B'(3+3i)\).
\(a = \dfrac{(3+3i)-(1+i)}{2-0} = \dfrac{2+2i}{2} = 1+i\).
\(b = z_{A'} - a \cdot 0 = 1+i\).
Rapport : \(k = |1+i| = \sqrt{2}\) ; angle : \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\).
Centre : \(\omega = \dfrac{1+i}{1-(1+i)} = \dfrac{1+i}{-i}
= \dfrac{(1+i) \cdot i}{-i \cdot i} = \dfrac{i-1}{1} = -1+i\).
Conclusion : \(s\) est la similitude directe de centre \(\Omega(-1;\,1)\),
de rapport \(\sqrt{2}\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{4}\).
Après avoir trouvé \(a\) et \(b\), vérifiez que \(s(A) = A'\) et \(s(B) = B'\) en substituant. Un calcul de contrôle évite les erreurs de signe qui font perdre des points au Bac.
Triangles directement semblables
Deux triangles qui ont « la même forme », l'un étant un agrandissement tourné de l'autre, sont dits semblables. Lorsqu'on passe de l'un à l'autre sans retournement, c'est-à-dire par une similitude directe, ils sont directement semblables. Les nombres complexes donnent un critère très simple pour le reconnaître et pour trouver la similitude.
Les triangles \(ABC\) et \(A'B'C'\) (dans cet ordre) sont directement semblables s'il existe une similitude directe \(s\) telle que \(s(A)=A'\), \(s(B)=B'\) et \(s(C)=C'\).
Caractérisation complexe. Avec les affixes, \(ABC\) et \(A'B'C'\) sont directement semblables si et seulement si
\[\frac{z_{C'}-z_{A'}}{z_{B'}-z_{A'}}=\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}.\]La similitude est alors \(z\mapsto az+b\) avec \(a=\dfrac{z_{B'}-z_{A'}}{z_B-z_A}\) et \(b=z_{A'}-az_A\) ; son rapport est \(|a|\) et son angle un argument de \(a\).
Ce critère signifie : \(\dfrac{A'C'}{A'B'}=\dfrac{AC}{AB}\) (même rapport des côtés) et \(\left(\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{A'C'}\right)\equiv\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\ [2\pi]\) (même angle orienté).
Les triangles \(ABC\) et \(A'B'C'\) sont directement semblables dans chacun des cas suivants :
- ils ont deux angles orientés égaux : \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv\left(\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{A'C'}\right)\) et \(\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)\equiv\left(\overrightarrow{B'C'},\overrightarrow{B'A'}\right)\) modulo \(2\pi\) ;
- ils ont un angle orienté égal, compris entre des côtés proportionnels : \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\equiv\left(\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{A'C'}\right)\ [2\pi]\) et \(\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{A'C'}{AC}\).
Trois côtés proportionnels donnent seulement des triangles semblables : directement, ou par retournement (indirectement), ce que l'on tranche en comparant le sens d'un angle orienté.
Propriété utile. Si \(s\) est une similitude directe de centre \(O\) qui envoie \(A\) sur \(A'\) et \(B\) sur \(B'\), alors les triangles \(OAA'\) et \(OBB'\) sont directement semblables.
Avec les complexes. Calculer les deux quotients \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\) et \(\dfrac{z_{C'}-z_{A'}}{z_{B'}-z_{A'}}\) et vérifier qu'ils sont égaux ; en déduire la similitude \(z\mapsto az+b\) et ses éléments (centre : solution de \(z=az+b\) si \(a\neq1\)).
Avec les angles. Trouver deux paires d'angles orientés égaux (angles inscrits, angles alternes-internes, angles d'une rotation), ou un angle égal et deux rapports de côtés égaux.
Attention à l'ordre des sommets : on associe \(A\) à \(A'\), \(B\) à \(B'\), \(C\) à \(C'\).
Énoncé. On donne \(z_A=0\), \(z_B=2\), \(z_C=1+i\), \(z_{A'}=1+i\), \(z_{B'}=1+3i\). Déterminer \(z_{C'}\) pour que \(A'B'C'\) soit directement semblable à \(ABC\), puis la similitude correspondante.
Solution : \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{1+i}{2}\). Il faut \(z_{C'}=z_{A'}+(z_{B'}-z_{A'})\dfrac{1+i}2=1+i+2i\times\dfrac{1+i}2=1+i+i-1=2i\).
\(a=\dfrac{2i}{2}=i\), \(b=1+i\) : \(s(z)=iz+1+i\). Contrôle : \(s(1+i)=i-1+1+i=2i\). Son centre vérifie \(z=iz+1+i\), soit \(z=\dfrac{1+i}{1-i}=i\) ; c'est la rotation de centre le point d'affixe \(i\) et d'angle \(\dfrac\pi2\) (rapport \(|i|=1\)).
Énoncé. Montrer que les triangles \(PQR\) et \(P'Q'R'\), avec \(P(0\,;0)\), \(Q(4\,;0)\), \(R(4\,;2)\), \(P'(1\,;1)\), \(Q'(1\,;3)\), \(R'(0\,;3)\), sont directement semblables ; donner le rapport, l'angle et le centre de la similitude.
Solution : \(\dfrac{z_R-z_P}{z_Q-z_P}=\dfrac{4+2i}{4}=1+\dfrac i2\) et \(\dfrac{z_{R'}-z_{P'}}{z_{Q'}-z_{P'}}=\dfrac{-1+2i}{2i}=\dfrac{(-1+2i)(-i)}{2}=\dfrac{2+i}2=1+\dfrac i2\). Les quotients sont égaux.
\(a=\dfrac{2i}{4}=\dfrac i2\) : rapport \(\dfrac12\), angle \(\dfrac\pi2\) ; \(b=1+i\). Le centre \(\Omega\) vérifie \(z=\dfrac i2z+1+i\), d'où \(z=\dfrac{1+i}{1-\frac i2}=\dfrac{2(1+i)}{2-i}=\dfrac{2(1+i)(2+i)}{5}=\dfrac{2+6i}{5}\).
Figure — Deux triangles directement semblables
Le triangle PQR, en bleu, et son image P′Q′R′, en or, par la similitude de rapport 1/2 et d'angle π/2 de l'exemple 2. Le triangle image est deux fois plus petit et tourné d'un quart de tour dans le sens direct ; le centre Ω(0,4 ; 1,2) est le seul point fixe.
Énoncé. Une similitude directe \(s\) de centre \(O\), de rapport 2 et d'angle \(\dfrac\pi3\), envoie \(A\) sur \(A'\) et \(B\) sur \(B'\). Montrer que les triangles \(OAA'\) et \(OBB'\) sont directement semblables.
Solution : En prenant \(O\) pour origine, \(s(z)=2e^{i\pi/3}z\). Alors \(\dfrac{z_{A'}-z_O}{z_A-z_O}=\dfrac{z_{A'}}{z_A}=2e^{i\pi/3}\) et de même \(\dfrac{z_{B'}}{z_B}=2e^{i\pi/3}\).
Les deux quotients sont égaux : d'après la caractérisation (avec \(O\) associé à \(O\), \(A\) à \(B\), \(A'\) à \(B'\)), les triangles \(OAA'\) et \(OBB'\) sont directement semblables. Tous deux ont un angle \(\frac\pi3\) en \(O\) et des côtés issus de \(O\) dans le rapport 2.
Mélanger l'ordre des sommets. \(ABC\) peut être semblable à \(A'B'C'\) sans l'être à \(B'A'C'\) : le critère compare des quotients écrits avec des sommets associés dans le même ordre.
Confondre directement et indirectement semblables. Le triangle de sommets 0, 2, \(1-i\), symétrique de \(ABC\) de l'exemple 1 par rapport à l'axe des abscisses, a les mêmes longueurs, mais le quotient vaut \(\frac{1-i}{2}\) et non \(\frac{1+i}2\) : il n'est pas directement semblable à \(ABC\).
Résumé
\(\dfrac{z_{C'}-z_{A'}}{z_{B'}-z_{A'}}=\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\).
\(a=\dfrac{z_{B'}-z_{A'}}{z_B-z_A}\), \(b=z_{A'}-az_A\) ; rapport \(|a|\), angle \(\arg a\).
Deux angles orientés égaux, ou un angle égal entre des côtés proportionnels.