Terminale S1-S3 · Leçon 11
Calcul intégral
Ce que dit le programme officiel (6 points)
- Intégrale d’une fonction sur un segment : définition ; interprétation géométrique (aire)
- x ↦ intégrale de a à x de f(t) dt : unique primitive de f prenant la valeur 0 en a
- Propriétés : linéarité, relation de Chasles, positivité, intégration et inégalités, inégalité de la moyenne, valeur moyenne
- Techniques : intégration par parties ; intégration de produits et de puissances de fonctions trigonométriques ; changement de variable (seuls les changements affines sont exigibles)
- Applications : encadrements à l’aide d’intégrales ; valeurs approchées (méthodes des rectangles, des trapèzes, des tangentes)
- Calcul d’aires planes, de volumes et d’éléments physiques, en précisant les unités
Source : Programme de mathématiques, Terminales S1 et S3 (Sénégal), octobre 2006
Intégrale : définition, linéarité, relation de Chasles
Soit \(f\) continue sur \([a\,;\,b]\) et \(F\) une primitive de \(f\) :
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\bigl[F(x)\bigr]_a^b=F(b)-F(a)\]
La constante \(C\) s'annule toujours dans une intégrale définie.
\[\int_{1}^{3}2x\,dx=\bigl[x^2\bigr]_1^3=9-1=\boxed{8}\]
\[\int_{0}^{1}e^x\,dx=\bigl[e^x\bigr]_0^1=e-1\approx\boxed{1{,}718}\]
\[\int_{a}^{b}\bigl[kf(x)+\lambda g(x)\bigr]\,dx=k\int_{a}^{b}f\,dx+\lambda\int_{a}^{b}g\,dx\]
\[\int_{a}^{b}f=\int_{a}^{c}f+\int_{c}^{b}f\qquad\int_{a}^{b}f=-\int_{b}^{a}f\qquad\int_{a}^{a}f=0\]
La constante de primitive s'annule systématiquement lors de l'évaluation \(F(b)-F(a)\).
Figure interactive — Intégrale comme aire algébrique
Déplacez a et b pour choisir l'intervalle d'intégration. La zone verte correspond aux parties positives (intégrale positive) et la zone brune aux parties négatives.
Intégrale et aire, aire entre deux courbes
Si \(f\) est continue et positive sur \([a\,;\,b]\) :
\[\mathcal{A}=\int_{a}^{b}f(x)\,dx\quad\text{(en unités d'aire, u.a.)}\]
| Cas | Condition | Formule de l'aire |
|---|---|---|
| Cas 1 | \(f\geq 0\) sur \([a;b]\) | \(\mathcal{A}=\displaystyle\int_a^b f\,dx\) |
| Cas 2 | \(f\leq 0\) sur \([a;b]\) | \(\mathcal{A}=\left|\displaystyle\int_a^b f\,dx\right|\) |
| Cas 3 | \(f\) change de signe en \(c\) | \(\mathcal{A}=\left|\displaystyle\int_a^c f\right|+\left|\displaystyle\int_c^b f\right|\) |
L'intégrale peut être négative. L'aire géométrique est toujours positive. Oublier la valeur absolue quand \(f<0\) est l'erreur numéro 1 dans les calculs d'aire au Bac.
\[\mathcal{A}_1=\left|\int_{-1}^{0}x\,dx\right|=\frac{1}{2}\qquad\mathcal{A}_2=\int_{0}^{2}x\,dx=2\qquad\mathcal{A}=\frac{1}{2}+2=\boxed{\frac{5}{2}\text{ u.a.}}\]
Si \(f(x)\geq g(x)\) sur \([a\,;\,b]\) :
\[\mathcal{A}=\int_{a}^{b}\bigl[f(x)-g(x)\bigr]\,dx\]
\[\mathcal{A}=\int_{0}^{1}(x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\boxed{\frac{1}{6}\text{ u.a.}}\]
Figure interactive — Aire entre deux courbes
L'aire géométrique (toujours positive) peut différer de l'intégrale algébrique ∫(f−g) quand les courbes se croisent. Observez la différence avec sin/cos.
Valeur moyenne, intégrale et inégalités
\[\mu=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\]
\(\mu\) est la hauteur du rectangle de base \([a\,;\,b]\) ayant la même aire que la région sous la courbe.
\[\mu=\frac{1}{2}\int_0^2 x^2\,dx=\frac{1}{2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{1}{2}\times\frac{8}{3}=\boxed{\frac{4}{3}}\]
\[f\geq 0\;\Rightarrow\;\int_a^b f\,dx\geq 0\qquad f\leq g\;\Rightarrow\;\int_a^b f\leq\int_a^b g\]
Si \(m\leq f(x)\leq M\) pour tout \(x\in[a\,;\,b]\) :
\[m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a)\]
Sur \([0\,;\,1]\) : \(1\leq e^x\leq e\) → \(1\leq\int_0^1 e^x\,dx\leq e\). Vérification : \(e-1\approx 1{,}718\in[1\,;\,e]\).
Intégration par parties
\[\int_{a}^{b}u(x)\,v'(x)\,dx=\bigl[u(x)\,v(x)\bigr]_a^b-\int_{a}^{b}u'(x)\,v(x)\,dx\]
Arctan
Log ln(x)
Polynôme
Expo eˣ
Sin / Cos
Prendre \(u\) parmi les premiers de la liste, \(v'\) parmi les derniers.
\(u=x\) (P), \(v'=e^x\) (E) → \(u'=1\), \(v=e^x\)
\[\int_0^1 xe^x\,dx=\bigl[xe^x\bigr]_0^1-\int_0^1 e^x\,dx=e-\bigl[e^x\bigr]_0^1=e-(e-1)=\boxed{1}\]
\(u=\ln x\) (L), \(v'=1\) → \(u'=\frac{1}{x}\), \(v=x\)
\[\int_1^e\ln x\,dx=\bigl[x\ln x\bigr]_1^e-\int_1^e 1\,dx=e-(e-1)=\boxed{1}\]
- Mal choisir \(u\) et \(v'\) — utiliser systématiquement ALPES
- Oublier les bornes dans \([uv]_a^b\)
- Oublier le signe − devant \(\int u'v\)
Figure interactive — Vérification graphique des intégrales IPP
L'aire verte est calculée numériquement et doit coïncider avec le résultat exact de l'IPP. C'est un moyen de vérifier son calcul sur copie.
Volumes de solides de révolution
Si \(f \ge g\) sur \([a\,;b]\), l'aire du domaine délimité par les deux courbes vaut \(\displaystyle\int_{a}^{b}\!\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\) u.a. Quand les courbes se croisent, repérer les points d'intersection, puis découper l'intervalle avec la relation de Chasles.
Sur \([0\,;1]\), on a \(\sqrt{x} \ge x^2\) :
\[\mathcal{A} = \int_{0}^{1}\!\bigl(\sqrt{x} - x^{2}\bigr)\,dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\ \text{u.a.}\]Sur \([0\,;\pi/2]\), les deux fonctions se croisent en \(x = \pi/4\). On applique Chasles :
\[\mathcal{A} = \int_{0}^{\pi/4}\!(\cos x - \sin x)\,dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2}\!(\sin x - \cos x)\,dx = 2(\sqrt{2}-1)\ \text{u.a.}\]Le solide engendré par la rotation autour de l'axe \((Ox)\) du domaine délimité par la courbe de \(f\) (continue, positive sur \([a\,;b]\)) et l'axe des abscisses a pour volume :
\[V = \pi\int_{a}^{b}\!\bigl[f(x)\bigr]^{2}\,dx.\]On fait tourner \(f(x)=\sqrt{R^2-x^2}\) sur \([-R\,;R]\) :
\[V = \pi\int_{-R}^{R}\!\bigl(R^{2}-x^{2}\bigr)\,dx = \pi\left[R^{2}x - \frac{x^{3}}{3}\right]_{-R}^{R} = \frac{4}{3}\pi R^{3}.\]Rotation de \(f(x) = \dfrac{R}{h}x\) sur \([0\,;h]\) :
\[V_{\text{cône}} = \pi\int_{0}^{h}\!\frac{R^2}{h^2}x^2\,dx = \frac{\pi R^2}{h^2}\cdot\frac{h^3}{3} = \frac{1}{3}\pi R^2 h.\]Aire entre deux courbes — choix interactif
\(g\)
aire \(\int(f-g)\)
Sélectionnez un exemple dans les contrôles
La surface colorée représente l'aire algébrique entre les deux courbes. On l'obtient en intégrant la différence \(f - g\) (en valeur absolue si les courbes se croisent).
Changement de variable affine ; valeurs approchées d’une intégrale (rectangles, trapèzes)
Deux outils complètent le calcul intégral. Le changement de variable affine ramène une intégrale de \(f(\alpha t+\beta)\) à une intégrale de \(f\). Et quand aucune primitive n'est connue, ou pour contrôler un résultat, on calcule une valeur approchée en remplaçant l'aire sous la courbe par des aires de rectangles ou de trapèzes.
Soit \(f\) continue sur un intervalle \(J\), et \(\alpha\neq 0\), \(\beta\) deux réels tels que \(\alpha t+\beta\in J\) pour tout \(t\) de \([a\,;b]\). Alors
\[\int_a^b f(\alpha t+\beta)\,dt=\frac1\alpha\int_{\alpha a+\beta}^{\alpha b+\beta}f(u)\,du.\]Justification : si \(F\) est une primitive de \(f\), la fonction \(t\mapsto\dfrac1\alpha F(\alpha t+\beta)\) a pour dérivée \(f(\alpha t+\beta)\). Donc le premier membre vaut \(\dfrac1\alpha\left[F(\alpha b+\beta)-F(\alpha a+\beta)\right]\), qui est le second membre.
On pose \(u=\alpha t+\beta\) ; alors \(du=\alpha\,dt\), et les bornes \(t=a\), \(t=b\) deviennent \(u=\alpha a+\beta\), \(u=\alpha b+\beta\).
On partage \([a\,;b]\) en \(n\) intervalles de même longueur \(h=\dfrac{b-a}{n}\), aux points \(x_k=a+kh\).
- Rectangles à gauche : \(G_n=h\left[f(x_0)+f(x_1)+\dots+f(x_{n-1})\right]\) ; à droite : \(D_n=h\left[f(x_1)+\dots+f(x_n)\right]\). Si \(f\) est monotone, l'intégrale est comprise entre \(G_n\) et \(D_n\), et \(|G_n-D_n|=h\,|f(b)-f(a)|\).
- Trapèzes : \(T_n=\dfrac{G_n+D_n}{2}=h\left[\dfrac{f(x_0)+f(x_n)}{2}+f(x_1)+\dots+f(x_{n-1})\right]\) ; on remplace chaque arc par sa corde.
- Tangentes (point milieu) : \(M_n=h\left[f(m_1)+\dots+f(m_n)\right]\), où \(m_k\) est le milieu du \(k\)-ième intervalle ; c'est aussi l'aire des trapèzes formés par la tangente en \(m_k\).
Si la courbe de \(f\) est au-dessus de ses tangentes (fonction convexe, \(f''\ge0\)), alors \(M_n\le\displaystyle\int_a^bf\le T_n\) : on obtient un encadrement très fin.
Changement de variable. Repérer une expression \(\alpha t+\beta\) à l'intérieur d'une fonction connue ; écrire \(u=\alpha t+\beta\) ; changer les bornes ; ne pas oublier le facteur \(\dfrac1\alpha\).
Valeur approchée. Faire un tableau des valeurs \(x_k\), \(f(x_k)\) ; calculer les sommes ; préciser le sens de variation (rectangles) ou de concavité (trapèzes, tangentes) pour savoir si l'on obtient une valeur par défaut ou par excès.
Encadrement à l'aide d'intégrales. Si \(m\le f(x)\le M\) sur \([a\,;b]\) (avec \(a\lt b\)), alors \(m(b-a)\le\displaystyle\int_a^bf\le M(b-a)\) ; plus généralement, l'intégrale conserve l'ordre.
Énoncé. Calculer \(\displaystyle I=\int_0^1(2t+1)^3\,dt\), \(\displaystyle J=\int_1^2\frac{dt}{3t-2}\) et \(\displaystyle K=\int_0^2e^{-t/2}\,dt\).
Solution : Avec \(u=2t+1\) (bornes 1 et 3) : \(I=\dfrac12\displaystyle\int_1^3u^3\,du=\dfrac12\left[\dfrac{u^4}{4}\right]_1^3=\dfrac{81-1}{8}=10\).
Avec \(u=3t-2\) (bornes 1 et 4, \(u\gt0\)) : \(J=\dfrac13\displaystyle\int_1^4\frac{du}{u}=\dfrac13\ln4\). Avec \(u=-\dfrac t2\) (bornes 0 et \(-1\)) : \(K=-2\displaystyle\int_0^{-1}e^u\,du=-2\left(e^{-1}-1\right)=2\left(1-e^{-1}\right)\).
Énoncé. On rappelle que \(\displaystyle\ln2=\int_1^2\frac{dx}{x}\). Avec \(n=4\) (pas \(h=0{,}25\)), calculer \(G_4\), \(D_4\), \(T_4\) et \(M_4\), à \(10^{-4}\) près, et en déduire des encadrements de \(\ln2\).
Solution : Valeurs de \(\frac1x\) en 1 ; 1,25 ; 1,5 ; 1,75 ; 2 : 1 ; 0,8 ; 0,6667 ; 0,5714 ; 0,5. Donc \(G_4=0{,}25\times3{,}0381\approx0{,}7595\) et \(D_4\approx0{,}6345\) ; la fonction étant décroissante, \(0{,}6345\le\ln2\le0{,}7595\) (écart \(h\times(1-0{,}5)=0{,}125\)).
\(T_4=\dfrac{G_4+D_4}2\approx0{,}6970\). Aux milieux 1,125 ; 1,375 ; 1,625 ; 1,875 : \(M_4\approx0{,}6912\). La fonction inverse est convexe sur \(]0\,;+\infty[\), donc \(0{,}6912\le\ln2\le0{,}6970\). En effet, \(\ln2\approx0{,}6931\).
Figure — La méthode des trapèzes pour 1/x
La courbe de x ↦ 1/x entre 1 et 2, en bleu, et les quatre trapèzes de la méthode avec un pas de 0,25, en or. Chaque arc est remplacé par sa corde ; comme la courbe est en dessous de ses cordes, la somme des aires des trapèzes, environ 0,6970, dépasse légèrement ln 2 ≈ 0,6931.
Énoncé. Sans calculer de primitive, encadrer \(\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{1+x}\), puis comparer avec sa valeur.
Solution : Pour \(0\le x\le1\), \(1\le1+x\le2\), donc \(\dfrac12\le\dfrac1{1+x}\le1\). En intégrant sur un intervalle de longueur 1 : \(\dfrac12\le\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{1+x}\le1\).
Le changement de variable \(u=1+x\) donne exactement \(\displaystyle\int_1^2\frac{du}u=\ln2\approx0{,}693\), bien compris entre 0,5 et 1.
Garder les anciennes bornes. Dans \(I\), écrire \(\dfrac12\displaystyle\int_0^1u^3\,du\) donnerait \(\dfrac18\), au lieu de 10 : quand on change de variable, les bornes changent aussi.
Oublier le facteur \(\dfrac1\alpha\), ou son signe quand \(\alpha\lt0\), comme dans le calcul de \(K\).
Annoncer un encadrement sans justifier. Les rectangles ne donnent un encadrement que si la fonction est monotone ; les trapèzes et les tangentes ne donnent un encadrement que si l'on connaît la position de la courbe par rapport à ses cordes et à ses tangentes.
Résumé
\(\displaystyle\int_a^bf(\alpha t+\beta)\,dt=\frac1\alpha\int_{\alpha a+\beta}^{\alpha b+\beta}f(u)\,du\).
\(f\) monotone : l'intégrale est entre \(G_n\) et \(D_n\), qui diffèrent de \(h|f(b)-f(a)|\).
\(T_n=\dfrac{G_n+D_n}2\) ; \(M_n\) aux milieux ; \(f\) convexe : \(M_n\le\int f\le T_n\).
\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\) · La constante s'annule toujours
Linéarité · Chasles : \(\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b\) · Inversion : \(\int_a^b=-\int_b^a\)
Si \(f\geq 0\) : \(\mathcal{A}=\int_a^b f\) · Si \(f\leq 0\) : \(\mathcal{A}=|\int_a^b f|\) · Entre 2 courbes : \(\int_a^b|f-g|\)
\(\int uv'=[uv]-\int u'v\) · Choisir \(u\) : A→L→P→E→S
\(\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f\,dx\) = hauteur du rectangle équivalent
Si \(m\leq f\leq M\) sur \([a;b]\) : \(m(b-a)\leq\int_a^b f\leq M(b-a)\)
\(\displaystyle\int_a^b\!f = F(b)-F(a)\). Aire sous la courbe si \(f\ge0\) et \(a\le b\).
Linéarité, Chasles (pour tout \(c\)), positivité et croissance si \(a \le b\). \(\displaystyle\big|\int f\big|\le\int|f|\).
\(\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b\!f\). Encadrée par le minimum et le maximum de \(f\).
\(\displaystyle\int u'v = [uv] - \int uv'\). Dériver ce qui se simplifie, intégrer ce qu'on connaît.
\(\displaystyle\mathcal{A}=\int_a^b\!(f-g)\) avec \(f\ge g\). Chasles si les courbes se croisent.
\(V = \pi\displaystyle\int_a^b\![f(x)]^2\,dx\). Retrouver \(\frac{4}{3}\pi R^3\) et \(\frac{1}{3}\pi R^2 h\).
Sujet type Bac
Soit \(f(x)=x\ln(x)\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).
A. Étude de la fonction
\(f'(x)=\ln(x)+1\), annulée en \(x=\dfrac{1}{e}\). Minimum de \(-\dfrac{1}{e}\approx-0{,}368\).
| \(x\) | \(0^+\) | \(\frac{1}{e}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | 0 | ↘ | \(-\frac{1}{e}\) | ↗ | \(+\infty\) |
B. Calcul par IPP — \(\displaystyle\int_{1}^{e}x\ln(x)\,dx\)
\(u=\ln x\) (L), \(v'=x\) → \(u'=\dfrac{1}{x}\), \(v=\dfrac{x^2}{2}\)
\[\int_1^e x\ln x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e-\int_1^e\frac{x}{2}\,dx=\frac{e^2}{2}-\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^e=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}=\boxed{\frac{e^2+1}{4}}\]
C. Calcul d'aire
Sur \([1\,;\,e]\) : \(f(x)\geq 0\), donc \(\mathcal{A}=\dfrac{e^2+1}{4}\approx 2{,}097\) u.a.
Si 1 u. = 2 cm sur chaque axe : aire réelle \(=\dfrac{e^2+1}{4}\times 4=e^2+1\approx 8{,}389\) cm².
On considère \(f\) définie sur \([0\,;+\infty[\) par \(f(x) = (x+1)\,e^{-x}\).
Question 1. Calculer \(f'(x)\) et étudier les variations de \(f\).
Comme \(e^{-x} > 0\), on a \(f'(x) \le 0\) sur \([0\,;+\infty[\). \(f\) est décroissante sur cet intervalle. \(f(0) = 1\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) = 0\).
Question 2. Montrer que \(F(x) = -(x+2)\,e^{-x}\) est une primitive de \(f\).
Question 3. Calculer \(\displaystyle I = \int_{0}^{1} (x+1)\,e^{-x}\,dx\) et interpréter.
Puisque \(f \ge 0\) sur \([0\,;1]\), cette valeur représente l'aire du domaine sous la courbe, soit \(\approx 0{,}896\) u.a.
Question 4. Calculer \(\displaystyle J = \int_{0}^{1} x(x+1)\,e^{-x}\,dx\) par IPP.
On pose \(u'(x) = f(x) = (x+1)e^{-x}\) (primitive \(F(x) = -(x+2)e^{-x}\)) et \(v(x) = x\) :
\[J = \Big[x\cdot(-(x+2)e^{-x})\Big]_{0}^{1} + \int_{0}^{1}(x+2)e^{-x}\,dx = -\frac{3}{e} + \int_{0}^{1}(x+2)e^{-x}\,dx.\]Or \(\displaystyle\int_{0}^{1}(x+2)e^{-x}\,dx = I + \int_{0}^{1}e^{-x}\,dx = \left(2-\frac{3}{e}\right) + \left(1-\frac{1}{e}\right) = 3 - \frac{4}{e}\). Donc :
\[J = -\frac{3}{e} + 3 - \frac{4}{e} = 3 - \frac{7}{e} \approx 0{,}425.\]Question 5. Calculer le volume \(V\) du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe de \(f\) autour de \((Ox)\) sur \([0\,;1]\).
On développe \((x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\) et on calcule par IPP successive. Le résultat est :
\[V = \frac{\pi}{4}\!\left(1 - \frac{5}{e^2}\right) \approx 0{,}648\ \text{u.v.}\]