Terminale S1-S3 · Leçon 10
Logarithme, exponentielle, puissances et croissances comparées
Ce que dit le programme officiel (5 points)
- Fonction logarithme népérien ; fonction exponentielle népérienne
- Fonction exponentielle de base a et logarithme de base a : loga x = ln x / ln a, ax = ex ln a
- Fonction puissance ; fonctions composées des fonctions précédentes
- Croissances comparées : ex / xα tend vers +∞ ; xα e−x tend vers 0 ; ln x / xα tend vers 0 (α > 0) ; xα ln x tend vers 0 en 0
- Représenter graphiquement les fonctions du programme
Source : Programme de mathématiques, Terminales S1 et S3 (Sénégal), octobre 2006
Fonction logarithme népérien : définition, propriétés algébriques
Le logarithme népérien est la primitive de \(x\mapsto\dfrac{1}{x}\) qui s'annule en 1 :
\[\ln(x)=\int_1^x\frac{1}{t}\,dt\]
Pour tout \(x>0\) : \(\bigl(\ln x\bigr)'=\dfrac{1}{x}\) et \(\ln(1)=0\).
\[\mathbb{D}_{\ln}=\;]0\,;\,+\infty[\]
\(\ln(0)\) et \(\ln(-5)\) sont impossibles. Tout argument de \(\ln\) doit être strictement positif. Oublier cette condition au Bac coûte 2 à 3 points.
\(\ln\) et \(\exp\) sont des fonctions réciproques :
\[\forall x\in\mathbb{R}:\ln(e^x)=x \qquad\forall x>0:e^{\ln(x)}=x\]
| Expression | Valeur | Justification |
|---|---|---|
| \(\ln(1)\) | 0 | \(e^0=1\) |
| \(\ln(e)\) | 1 | \(e^1=e\) |
| \(\ln(e^2)\) | 2 | \(e^2=e^2\) |
| \(\ln\!\left(\dfrac{1}{e}\right)\) | −1 | \(e^{-1}=\frac{1}{e}\) |
| \(\ln(\sqrt{e})\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\sqrt{e}=e^{1/2}\) |
| \(\ln(e^a)\) | \(a\) | Cas général |
Tout argument de la forme \(e^a\) se simplifie immédiatement. Exemple : \(\ln(\sqrt{e})=\ln(e^{1/2})=\dfrac{1}{2}\).
Figure interactive — Courbe de \(y=\ln(x)\) et valeurs remarquables
La courbe de ln est strictement croissante sur ]0;+∞[. Elle passe par (1;0) et (e;1). La droite x=0 est une asymptote verticale. Activez y=eˣ pour visualiser la symétrie par rapport à y=x.
| Règle | Formule | Sens |
|---|---|---|
| Produit | \(\ln(a\times b)=\ln(a)+\ln(b)\) | Produit → Somme |
| Quotient | \(\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)\) | Quotient → Différence |
| Puissance | \(\ln(a^n)=n\cdot\ln(a)\) | Exposant → Coefficient |
| Inverse | \(\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln(a)\) | Inverse → Opposé |
| Racine | \(\ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}\ln(a)\) | Car \(\sqrt{a}=a^{1/2}\) |
\(\ln(a+b)\neq\ln(a)+\ln(b)\) — FAUX
\(\ln(a-b)\neq\ln(a)-\ln(b)\) — FAUX
Les propriétés s'appliquent aux produits et quotients uniquement.
Posons \(f(x)=\ln(ax)\). Alors \(f'(x)=\frac{1}{x}=(\ln x)'\), donc \(f(x)=\ln(x)+C\). En \(x=1\) : \(f(1)=\ln(a)=C\). Ainsi \(\ln(ax)=\ln(x)+\ln(a)\). En \(x=b\) : \(\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\).
1. \(\ln(8)=\ln(2^3)=3\ln(2)\)
2. \(\ln(x^2y^3)=2\ln(x)+3\ln(y)\)
3. \(\ln\!\left(\dfrac{x^3}{\sqrt{y}}\right)=3\ln(x)-\dfrac{1}{2}\ln(y)\)
4. \(\ln\!\left(\dfrac{e^2 x^3}{e\cdot y}\right)=1+3\ln(x)-\ln(y)\)
5. \(2\ln(x)-3\ln(y)+\ln(z)=\ln\!\left(\dfrac{x^2 z}{y^3}\right)\)
(1) Sortir les exposants avec \(\ln(a^n)=n\ln a\) → (2) Transformer produits en sommes et quotients en différences → (3) Identifier \(\ln(e^a)=a\).
Étude de la fonction ln : limites, dérivée, variations
\[\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty\qquad\text{(asymptote verticale }x=0\text{)}\]
\[\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\]
\[\bigl(\ln(x)\bigr)'=\frac{1}{x}\qquad\bigl(\ln(u(x))\bigr)'=\frac{u'(x)}{u(x)}\quad(u>0)\]
Écrire \(\dfrac{1}{u}\) au lieu de \(\dfrac{u'}{u}\) est la faute la plus fréquente. Mémo : "dérivée de l'argument, divisée par l'argument".
1. \(f(x)=\ln(2x+1)\) → \(f'(x)=\dfrac{2}{2x+1}\)
2. \(g(x)=\ln(x^2+1)\) → \(g'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\)
3. \(h(x)=x^2\ln(x)\) → \(h'(x)=2x\ln(x)+x=x(2\ln x+1)\)
4. \(k(x)=(\ln x)^2\) → \(k'(x)=\dfrac{2\ln x}{x}\)
\(\ln(x^2)=2\ln x\) (dérivée : \(\dfrac{2}{x}\)) est différent de \((\ln x)^2\) (dérivée : \(\dfrac{2\ln x}{x}\)).
\(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\).
\[\ln(a)=\ln(b)\Longleftrightarrow a=b \qquad \ln(a)<\ln(b)\Longleftrightarrow a<b\]
Figure interactive — Tangente mobile sur \(y=\ln(x)\)
La pente de la tangente en a est f′(a)=1/a. Plus a est grand, plus la courbe s'aplatit. Activez y=1/x pour voir la courbe dérivée converger vers 0.
Équations et inéquations avec ln
- Domaine de validité \(\mathcal{D}\) — tous les arguments de \(\ln\) doivent être \(>0\)
- Résoudre — utiliser les propriétés algébriques et la croissance de \(\ln\)
- Conclure — rejeter les solutions hors \(\mathcal{D}\), écrire l'ensemble solution \(S\)
\[\ln(A)=\ln(B)\Longleftrightarrow A=B \qquad \ln(A)<\ln(B)\Longleftrightarrow A<B\]
Dom. : \(2x-1>0\) et \(x+3>0\) → \(\mathcal{D}=\left]\tfrac{1}{2};+\infty\right[\)
Résol. : \(2x-1=x+3\Rightarrow x=4\in\mathcal{D}\)
\(S=\{4\}\)
\(\ln x>\ln(e^2)\Leftrightarrow x>e^2\) → \(S=\;]e^2;+\infty[\)
Dom. : \(x^2-4>0\) et \(3x>0\) → \(\mathcal{D}=\;]2;+\infty[\)
Résol. : \(x^2-3x-4=0\Rightarrow x=-1\) (rejeté, hors \(\mathcal{D}\)) ou \(x=4\)
\(S=\{4\}\)
\(\ln(x(x-1))=\ln 2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=2\) (valide) ou \(x=-1\) (rejeté)
\(S=\{2\}\)
Dom. : \(x>-1\) et \(x<5\) → \(\mathcal{D}=]-1\,;\,5[\)
Résol. : \(x+1\leq 5-x\Rightarrow x\leq 2\)
\(S=]-1\,;\,2]\)
- Utiliser \(\ln A=\ln B\Rightarrow A=B\) sans avoir vérifié \(A>0\) et \(B>0\)
- Oublier l'intersection avec \(\mathcal{D}\) à l'étape de conclusion
- Regrouper \(\ln A+\ln B\) sans vérifier que \(A,B>0\)
Avant tout calcul impliquant \(\ln\), déterminer et écrire explicitement \(\mathcal{D}=\ldots\)
- Identifier tous les \(\ln\) présents
- Écrire les conditions : chaque argument \(>0\)
- Résoudre chaque inéquation
- Faire l'intersection des conditions
- Écrire \(\mathcal{D}=\ldots\)
\(x^2-4>0\Leftrightarrow|x|>2\) → \(\mathcal{D}=]-\infty\,;\,-2[\,\cup\,]2\,;\,+\infty[\)
Erreur fréquente : écrire \(]-2\,;\,2[\) qui est l'ensemble interdit.
\(\mathcal{D}=\left]\frac{5}{2}\,;\,+\infty\right[\)
Tableau de signes de \(\dfrac{x}{x+1}\) :
| \(x\) | \(-\infty\) | −1 | 0 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x\) | − | − | 0 | + | |||
| \(x+1\) | − | || | + | + | |||
| \(\frac{x}{x+1}\) | + | || | − | 0 | + |
\(\mathcal{D}=]-\infty\,;\,-1[\,\cup\,]0\,;\,+\infty[\)
\(x>0\) ET \(x>2\) → intersection → \(\mathcal{D}=]2\,;\,+\infty[\)
Erreur : faire l'union au lieu de l'intersection.
\(e^x>1=e^0\Rightarrow x>0\) → \(\mathcal{D}=]0\,;\,+\infty[\)
- Oublier de déterminer et d'écrire le domaine de définition
- Écrire \(\ln(a+b)=\ln a+\ln b\) — FAUX
- Oublier \(u'\) dans \((\ln u)'=u'/u\)
- Confondre \(\ln(x^2)\) et \((\ln x)^2\)
- Ne pas utiliser les croissances comparées pour les formes indéterminées en \(\pm\infty\)
- Commencer par écrire \(\mathcal{D}=\ldots\) avant tout calcul
- Simplifier avec les 5 propriétés avant de dériver
- Vérifier l'appartenance au domaine (étape 3 des équations)
- Utiliser la croissance de \(\ln\) pour les inéquations
- Invoquer les croissances comparées dès que \(\ln\) concurrence une puissance
Fonction exponentielle : définition, propriétés algébriques
La fonction exponentielle, notée \(\exp\), est la réciproque de \(\ln\). Définie sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \(]0\,;\,+\infty[\) :
\[y=\exp(x)\Longleftrightarrow x=\ln(y)\]
\[\exp(\ln(x))=x\quad\text{pour tout }x>0\]
\[\ln(\exp(x))=x\quad\text{pour tout }x\in\mathbb{R}\]
On note \(\exp(x)=e^x\) où \(e\) est le nombre d'Euler :
\[e=\exp(1)\approx 2{,}718\,281\,828\ldots\]
| Expression | Valeur exacte | Approximation | Justification |
|---|---|---|---|
| \(e^0\) | 1 | exactement 1 | \(\ln(1)=0\) |
| \(e^1\) | \(e\) | \(\approx 2{,}718\) | définition de \(e\) |
| \(e^2\) | \(e^2\) | \(\approx 7{,}389\) | \(\ln(e^2)=2\) |
| \(e^{-1}\) | \(\dfrac{1}{e}\) | \(\approx 0{,}368\) | \(e^{-1}=\frac{1}{e}\) |
| \(e^{1/2}\) | \(\sqrt{e}\) | \(\approx 1{,}649\) | \(e^{1/2}=\sqrt{e}\) |
| \(e^{\ln(5)}\) | 5 | exactement 5 | réciproque |
\(e^{\ln(7)}=7\) car \(\ln(7)\) est précisément le réel \(x\) tel que \(e^x=7\). Ce raisonnement circulaire est la clé de toutes les simplifications.
Figure interactive — Courbe de \(y=e^x\), asymptote et symétrie avec ln
La courbe de eˣ est l'image de celle de ln par symétrie par rapport à y=x. Elle est définie sur ℝ, strictement positive, et admet y=0 comme asymptote horizontale en −∞.
Dans l'exposant, + et − se transforment en × et ÷ quand on sort de l'exponentielle.
| Règle | Formule | Sens |
|---|---|---|
| Produit | \(e^{a+b}=e^a\times e^b\) | Somme → produit |
| Quotient | \(e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}\) | Différence → quotient |
| Puissance | \(e^{na}=(e^a)^n\) | Produit → puissance |
| Inverse | \(\dfrac{1}{e^a}=e^{-a}\) | Inverse → opposé |
| Racine | \(\sqrt{e^a}=e^{a/2}\) | Racine → exposant ÷ 2 |
| Neutre | \(e^0=1\) | Exposant nul → valeur 1 |
\(e^{a+b}\neq e^a+e^b\) — FAUX : c'est \(e^a\times e^b\)
\(e^{ab}\neq e^a\times e^b\) — FAUX : c'est \((e^a)^b\)
a) \(e^3\times e^5=e^8\) b) \(\dfrac{e^7}{e^4}=e^3\) c) \((e^2)^3=e^6\) d) \(\dfrac{1}{e^{-5}}=e^5\)
e) \(e^{2x}\times e^{-x}\times e^{3x}=e^{4x}\)
f) \(\dfrac{e^{3x+1}\cdot e^{2-x}}{e^{x+3}}=\dfrac{e^{2x+3}}{e^{x+3}}=e^x\)
(1) Regrouper les produits (additionner les exposants) → (2) Transformer les quotients (soustraire les exposants) → (3) Simplifier le résultat.
Étude de la fonction exponentielle : limites, dérivée, variations
\[e^x>0\quad\text{pour tout }x\in\mathbb{R}\]
\(e^x=0\) est impossible. \(e^x<0\) est impossible.
Dans \(f'(x)=(2x-1)e^x\), le signe de \(f'\) est celui de \(2x-1\) uniquement, car \(e^x>0\) ne change jamais de signe.
La fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée :
\[(e^x)'=e^x\]
Cas composé — si \(u\) est dérivable :
\[(e^{u(x)})'=u'(x)\cdot e^{u(x)}\]
\((e^x)'\neq x\cdot e^{x-1}\) — la règle des puissances ne s'applique pas à l'exponentielle.
Pour \((e^{u(x)})'\), ne jamais oublier de multiplier par \(u'(x)\).
1. \(f(x)=e^{3x}\) → \(f'(x)=3e^{3x}\)
2. \(f(x)=e^{x^2}\) → \(f'(x)=2x\cdot e^{x^2}\)
3. \(f(x)=e^{-2x+5}\) → \(f'(x)=-2e^{-2x+5}\)
4. \(f(x)=(x^2+1)e^x\) — produit :
\[f'(x)=2x\cdot e^x+(x^2+1)\cdot e^x=e^x(x^2+2x+1)=e^x(x+1)^2\]
5. \(f(x)=\dfrac{e^x}{x}\) — quotient :
\[f'(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}\]
Puisque \(e^x>0\), seul le signe du polynôme restant détermine le signe de la dérivée. Factoriser \(e^x\) simplifie systématiquement l'étude du signe.
\(e^x\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\[e^a<e^b\Longleftrightarrow a<b\qquad e^a=e^b\Longleftrightarrow a=b\]
Figure interactive — Tangente mobile sur \(y=e^x\) et propriété \(f'=f\)
Propriété unique : la pente de la tangente en a est f′(a)=eᵃ, égale à la valeur f(a)=eᵃ. En aucun autre point de cette courbe la dérivée ne diffère de la valeur.
\[\lim_{x\to-\infty}e^x=0\quad\text{(AH : }y=0\text{)}\qquad\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\]
\[\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0\qquad\lim_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty\qquad\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\]
En \(+\infty\) (pour tout \(n\in\mathbb{N}\)) :
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty\qquad\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{e^x}=0\]
En \(-\infty\) (pour tout \(n\in\mathbb{N}\)) :
\[\lim_{x\to-\infty}x^n\cdot e^x=0\]
\(\ln(x)\;\ll\;x^n\;\ll\;e^x\quad\text{quand }x\to+\infty\)
1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^3}=+\infty\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^{100}}{e^x}=0\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2 e^x=0\) 4. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-5x+1}{e^x}=3\lim\frac{x^2}{e^x}=0\)
Figure interactive — Croissances comparées : \(e^x\) vs \(x^n\) vs \(\ln(x)\)
Changez n pour voir que eˣ dépasse toujours xⁿ pour x suffisamment grand. Le rapport xⁿ/eˣ tend vers 0 : c'est le résultat des croissances comparées.
Équations et inéquations avec l'exponentielle
Tout repose sur : (1) \(e^x>0\) toujours et (2) \(e^x\) strictement croissante. Pas de condition de domaine à vérifier.
\[e^{A(x)}=e^{B(x)}\Longleftrightarrow A(x)=B(x)\]
Ex. 1 : \(e^{2x+1}=e^{5-x}\Rightarrow 2x+1=5-x\Rightarrow x=\frac{4}{3}\)
Ex. 2 : \(e^{x^2-3x}=1=e^0\Rightarrow x^2-3x=0\Rightarrow x=0\text{ ou }x=3\)
\[e^{A(x)}=k\Longleftrightarrow A(x)=\ln(k)\quad(k>0\text{ seulement})\]
Si \(k\leq 0\) : pas de solution (car \(e^x>0\) toujours).
Ex. : \(e^{3x-2}=5\Rightarrow 3x-2=\ln 5\Rightarrow x=\dfrac{\ln 5+2}{3}\)
\[e^{A(x)}>k\Longleftrightarrow A(x)>\ln(k)\quad(k>0)\]
Ex. : \(e^{2x-1}\geq 7\Rightarrow 2x-1\geq\ln 7\Rightarrow x\geq\dfrac{\ln 7+1}{2}\)
Ex. : \(e^{-x}<2\Rightarrow -x<\ln 2\Rightarrow x>-\ln 2\)
\(-x<\ln(2)\overset{\times(-1)}{\Longleftrightarrow}x>-\ln(2)\) — multiplier par un nombre négatif inverse le sens.
\[P(x)\cdot e^{Q(x)}=0\Longleftrightarrow P(x)=0\]
Ex. : \((x-2)e^x=0\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2\)
A. \(e^A=e^B\) → égaliser les exposants B. \(e^A=k>0\) → appliquer ln C. \(e^A=k\leq 0\) → impossible D. Produit → facteur polynomial seul.
Croissances comparées
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^n}=0\qquad\forall n>0\]
\(\ln(x)\) croît beaucoup plus lentement que toute puissance de \(x\).
\[\lim_{x\to 0^+}x^n\ln(x)=0\qquad\forall n>0\]
1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=0\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^2\ln x=0\) 4. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x-\ln x)=+\infty\)
\(\ln(x)\;\ll\;x^n\;\ll\;e^x\quad\text{quand }x\to+\infty\)
Figure interactive — Croissances comparées : \(\ln(x)\) vs \(\sqrt{x}\) vs \(x\)
En zoomant vers +∞, ln(x) semble "s'aplatir" par rapport à √x et x. Activez les rapports pour voir concrètement qu'ils tendent vers 0.
Logarithme de base a
Le logarithme népérien répond à la question « à quelle puissance faut-il élever \(e\) pour obtenir \(x\) ? ». On peut poser la même question avec 2, avec 10 ou avec n'importe quel réel \(a\) strictement positif et différent de 1 : la réponse est le logarithme de base \(a\). Toutes ces fonctions se déduisent de \(\ln\) par une simple division.
Soit \(a\) un réel strictement positif et différent de 1. La fonction logarithme de base \(a\), notée \(\log_a\), est définie sur \(]0\,;+\infty[\) par
\[\log_a(x)=\frac{\ln x}{\ln a}.\]La condition \(a\neq 1\) est indispensable : \(\ln 1=0\) et l'on ne divise pas par zéro.
Premières valeurs. \(\log_a(1)=0\) et \(\log_a(a)=1\). Pour tout entier relatif \(n\), \(\log_a(a^n)=\dfrac{n\ln a}{\ln a}=n\) : le logarithme de base \(a\) d'une puissance de \(a\) est son exposant. Ainsi \(\log_2 8=3\) car \(8=2^3\), et \(\log_3 81=4\) car \(81=3^4\).
Deux cas particuliers. Pour \(a=e\), on retrouve le logarithme népérien : \(\log_e=\ln\). Pour \(a=10\), on obtient le logarithme décimal, noté simplement \(\log\) : \(\log x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}\), et \(\log(10^n)=n\). C'est le logarithme des sciences expérimentales.
Pour tous réels \(x\gt 0\) et \(y\gt 0\), et pour tout nombre rationnel \(r\) :
- \(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\) ;
- \(\log_a\left(\dfrac xy\right)=\log_a x-\log_a y\) et \(\log_a\left(\dfrac1y\right)=-\log_a y\) ;
- \(\log_a(x^r)=r\log_a x\).
Ces égalités s'obtiennent en divisant par \(\ln a\) les propriétés correspondantes de \(\ln\).
Changement de base. Si \(b\) est un autre réel strictement positif et différent de 1, alors pour tout \(x\gt 0\) :
\[\log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a}.\]En effet, \(\dfrac{\log_b x}{\log_b a}=\dfrac{\ln x}{\ln b}\times\dfrac{\ln b}{\ln a}=\dfrac{\ln x}{\ln a}\). Une calculatrice qui ne possède que les touches « ln » et « log » suffit donc pour tous les logarithmes.
Base inverse. Comme \(\ln\dfrac1a=-\ln a\), on a \(\log_{\frac1a}(x)=-\log_a(x)\).
Énoncé. a) Calculer sans calculatrice \(\log_2 32\), \(\log_3\dfrac19\), \(\log_4 8\), \(\log_{\frac12}8\) et \(\log_5\sqrt5\). b) Donner une valeur approchée de \(\log_2 10\) et de \(\log_3 20\).
Solution : a) \(32=2^5\), donc \(\log_2 32=5\). \(\dfrac19=3^{-2}\), donc \(\log_3\dfrac19=-2\). Pour \(\log_4 8\), on revient à la définition : \(\dfrac{\ln 8}{\ln 4}=\dfrac{3\ln 2}{2\ln 2}=\dfrac32\). Ensuite \(\log_{\frac12}8=-\log_2 8=-3\). Enfin \(\sqrt5=5^{\frac12}\), donc \(\log_5\sqrt5=\dfrac12\).
b) \(\log_2 10=\dfrac{\ln 10}{\ln 2}\approx 3{,}322\). On peut aussi écrire \(\log_2 10=\dfrac{\log 10}{\log 2}=\dfrac{1}{\log 2}\), ce qui donne la même valeur. De même \(\log_3 20=\dfrac{\ln 20}{\ln 3}\approx 2{,}727\) : résultat cohérent, puisque 20 est compris entre \(3^2=9\) et \(3^3=27\).
La fonction \(\log_a\) est dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) et, pour tout \(x\gt 0\),
\[(\log_a)'(x)=\frac{1}{x\ln a}.\]Le signe de cette dérivée est celui de \(\ln a\). Il y a donc deux cas.
| \(a\gt 1\) (\(\ln a\gt 0\)) | \(0\lt a\lt 1\) (\(\ln a\lt 0\)) | |
|---|---|---|
| Sens de variation | strictement croissante | strictement décroissante |
| Limite en \(0^+\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
| Limite en \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
| Signe de \(\log_a x\) | négatif sur \(]0\,;1[\), positif sur \(]1\,;+\infty[\) | positif sur \(]0\,;1[\), négatif sur \(]1\,;+\infty[\) |
Courbe. Dans les deux cas, la courbe passe par les points \((1\,;0)\) et \((a\,;1)\), et l'axe des ordonnées est asymptote. Les courbes de \(\log_a\) et de \(\log_{\frac1a}\) sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, puisque \(\log_{\frac1a}=-\log_a\).
Figure — Logarithmes de bases 2, 10 et un demi
En marine, \(\log_2\) ; en bleu, \(\log_{10}\) ; en or, \(\log_{\frac12}\). Les trois courbes passent par \((1\,;0)\). Les deux premières (bases supérieures à 1) montent, la troisième (base inférieure à 1) descend : elle est la symétrique de la courbe de \(\log_2\) par rapport à l'axe des abscisses. Les points marqués \((2\,;1)\) et \((2\,;-1)\) l'illustrent.
1. Revenir à \(\ln\). Remplacer \(\log_a(u)\) par \(\dfrac{\ln u}{\ln a}\) : le nombre \(\dfrac{1}{\ln a}\) est une constante, et tout ce que l'on sait sur \(\ln\) (dérivée, limites) s'applique.
2. Regarder le signe de \(\ln a\). Il est positif si \(a\gt 1\), négatif si \(0\lt a\lt 1\) : il fixe le sens de variation et le sens des inégalités.
3. Pour une équation, écrire les conditions d'existence, puis utiliser \(\log_a A=\log_a B\iff A=B\), ou \(\log_a x=k\iff x=a^k\) lorsque \(k\) est un entier relatif (sinon \(x=e^{k\ln a}\)).
4. Pour une inéquation : si \(a\gt 1\), \(\log_a A\lt\log_a B\iff A\lt B\) ; si \(0\lt a\lt 1\), le sens change : \(\log_a A\lt\log_a B\iff A\gt B\).
Énoncé. Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x)=\log_{\frac12}(x)\). a) Étudier ses variations et ses limites. b) Donner l'équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 1. c) Résoudre \(f(x)\gt 2\).
Solution : a) \(f(x)=\dfrac{\ln x}{\ln\frac12}=-\dfrac{\ln x}{\ln 2}\), avec \(\ln 2\approx 0{,}693\). Donc \(f'(x)=-\dfrac{1}{x\ln 2}\lt 0\) : \(f\) est strictement décroissante sur \(]0\,;+\infty[\). Comme \(\ln x\) tend vers \(-\infty\) en \(0^+\) et vers \(+\infty\) en \(+\infty\), \(f\) tend vers \(+\infty\) en \(0^+\) et vers \(-\infty\) en \(+\infty\). Quelques points : \(f\left(\frac14\right)=2\), \(f\left(\frac12\right)=1\), \(f(1)=0\), \(f(2)=-1\), \(f(4)=-2\).
b) \(f(1)=0\) et \(f'(1)=-\dfrac{1}{\ln 2}\approx -1{,}443\). La tangente a pour équation \(y=-\dfrac{1}{\ln 2}(x-1)\).
c) \(2=f\left(\frac14\right)\). La fonction \(f\) étant strictement décroissante, \(f(x)\gt f\left(\frac14\right)\) équivaut à \(x\lt\dfrac14\), avec \(x\gt 0\). L'ensemble des solutions est \(\left]0\,;\dfrac14\right[\).
Énoncé. a) Résoudre \(\log_3(x+1)+\log_3(x-1)=1\). b) Le pH d'une solution est \(-\log C\), où \(C\) est la concentration en ions hydronium, en moles par litre, et \(\log\) le logarithme décimal. Calculer le pH pour \(C=2\times 10^{-4}\) (on donne \(\log 2\approx 0{,}30\)), puis dire ce qu'il devient si la solution est dix fois moins concentrée.
Solution : a) Il faut \(x+1\gt 0\) et \(x-1\gt 0\), donc \(x\gt 1\). L'équation s'écrit \(\log_3\big((x+1)(x-1)\big)=\log_3 3\), soit \(x^2-1=3\), donc \(x^2=4\). Seule la valeur \(x=2\) est supérieure à 1 : c'est l'unique solution. Vérification : \(\log_3 3+\log_3 1=1+0=1\).
b) \(\log(2\times 10^{-4})=\log 2-4\), donc le pH vaut \(4-\log 2\approx 3{,}70\). Diviser \(C\) par 10 retire 1 à \(\log C\), donc ajoute 1 au pH : il devient environ \(4{,}70\). Une unité de pH correspond à un facteur 10 sur la concentration.
Avec une base comprise entre 0 et 1, la fonction \(\log_a\) est décroissante : elle renverse l'ordre. Par exemple \(4\lt 8\), mais \(\log_{\frac12}4=-2\) est plus grand que \(\log_{\frac12}8=-3\). Avant de « supprimer les logarithmes » dans une inéquation, il faut toujours comparer la base à 1.
Deux autres points à surveiller : la base 1 est interdite (\(\log_1\) n'existe pas), et \(\log_a(x)\) n'est défini que pour \(x\gt 0\), quelle que soit la base. Enfin, ne pas confondre \(\log_a(x^2)=2\log_a x\) (pour \(x\gt 0\)) avec \((\log_a x)^2\), qui est le carré du logarithme.
Résumé
Pour \(a\gt 0\), \(a\neq 1\) et \(x\gt 0\) : \(\log_a x=\dfrac{\ln x}{\ln a}\). On a \(\log_a 1=0\), \(\log_a a=1\), \(\log_a(a^n)=n\).
Mêmes règles que \(\ln\) : produit, quotient, puissance. Changement de base : \(\log_a x=\dfrac{\log_b x}{\log_b a}\).
\((\log_a)'(x)=\dfrac{1}{x\ln a}\), du signe de \(\ln a\).
Si \(a\gt 1\) : croissante, de \(-\infty\) à \(+\infty\). Si \(0\lt a\lt 1\) : décroissante, de \(+\infty\) à \(-\infty\).
\(\log=\log_{10}\) : \(\log(10^n)=n\). Multiplier un nombre par 10 ajoute 1 à son logarithme décimal.
\(\ln(x)=\int_1^x\frac{dt}{t}\) · \(\mathbb{D}=]0;+\infty[\) · \(\ln 1=0\) · \(\ln e=1\) · \(\ln e^a=a\)
\(\ln(ab)=\ln a+\ln b\) · \(\ln(a/b)=\ln a-\ln b\) · \(\ln(a^n)=n\ln a\) · \(\ln(1/a)=-\ln a\)
\((\ln x)'=\frac{1}{x}\) · \((\ln u)'=\frac{u'}{u}\) si \(u>0\)
\(\lim_{0^+}\ln x=-\infty\) · \(\lim_{+\infty}\ln x=+\infty\) · \(\frac{\ln x}{x^n}\to 0\) · \(x^n\ln x\to 0\)
3 étapes : \(\mathcal{D}\) → Résoudre → Conclure · \(\ln A=\ln B\Leftrightarrow A=B\) · \(\ln A<\ln B\Leftrightarrow A<B\)
Écrire \(\mathcal{D}\) en premier · Vérifier \(u>0\) avant \((\ln u)'\) · Croissances comparées pour les limites
Réciproque de ln · Définie sur \(\mathbb{R}\) · \(e^x>0\) toujours · \(e^0=1\), \(e^1=e\approx2{,}718\)
\(e^{a+b}=e^a e^b\) · \(e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}\) · \((e^a)^n=e^{na}\) · \(\frac{1}{e^a}=e^{-a}\) · \(e^0=1\)
\((e^x)'=e^x\) · \((e^u)'=u'e^u\) · Factoriser \(e^x\) · Signe = signe du polynôme
\(e^{-\infty}=0\), \(e^{+\infty}=+\infty\) · \(\frac{e^x}{x^n}\to+\infty\) · \(\frac{x^n}{e^x}\to 0\) · \(x^n e^x\to 0\) en \(-\infty\)
A: \(e^A=e^B\to A=B\) · B: \(e^A=k>0\to A=\ln k\) · C: \(k\leq 0\to\emptyset\) · D: \(P(x)e^Q=0\to P=0\)
Factoriser \(e^x\) · AH si limite finie · Croissances comparées pour FI · Pas de domaine à vérifier
Sujet type Bac
Soit \(f\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par \(f(x)=x-2\ln(x)\).
1. Limites :
\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=0-2(-\infty)=+\infty\quad\Rightarrow\text{ AV : }x=0\]
\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\!\left(1-\frac{2\ln x}{x}\right)=+\infty\quad\text{(croissances comparées)}\]
2. Dérivée et signe :
\[f'(x)=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}\]
\(f'(x)<0\) sur \(]0\,;\,2[\), \(f'(2)=0\), \(f'(x)>0\) sur \(]2\,;\,+\infty[\).
3. Tableau de variations :
\(f(2)=2-2\ln 2\approx 0{,}61\)
| \(x\) | \(0^+\) | 2 | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | \(2-2\ln 2\) | ↗ | \(+\infty\) |
4. Signe de f : Le minimum \(f(2)=2-2\ln 2>0\) → \(f(x)>0\) pour tout \(x>0\).
\[x-2\ln(x)>0\Longleftrightarrow x>2\ln(x)\quad\text{pour tout }x>0\]
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(2x-3)e^x+1\).
Valeurs remarquables : \(f(0)=-2\) · \(f(1)=1-e\approx-1{,}72\)
Dérivée — produit \((uv)'=u'v+uv'\) :
\[f'(x)=2e^x+(2x-3)e^x=e^x(2+2x-3)=(2x-1)e^x\]
Signe de \(f'\) : \(e^x>0\) toujours → signe de \(2x-1\) seul.
Limites :
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0+1=1\) (croissances comparées : \((2x-3)e^x\to 0\)) → AH : \(y=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
Tableau de variations : minimum en \(x=\frac{1}{2}\) : \(f\!\left(\frac{1}{2}\right)=(1-3)\sqrt{e}+1=1-2\sqrt{e}\approx-2{,}30\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac{1}{2}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | 1 | ↘ | \(1-2\sqrt{e}\) | ↗ | \(+\infty\) |
Asymptote horizontale en \(-\infty\) : \(y=1\).
Position : \(f(x)-1=(2x-3)e^x\) · négatif pour \(x<\frac{3}{2}\), nul en \(x=\frac{3}{2}\), positif pour \(x>\frac{3}{2}\).
Points remarquables : \(A(0\,;\,-2)\) · traversée de l'AH en \(\left(\frac{3}{2}\,;\,1\right)\)
Tangente en \(x=0\) : \(f(0)=-2\), \(f'(0)=-1\) → \(T:y=-x-2\)