Terminale S1-S3 · Leçon 18
Coniques
Ce que dit le programme officiel (6 points)
- Définition par foyer et directrice : ligne de niveau MF/MH = e ; sommet, centre, équation cartésienne réduite
- Génération bifocale de l’ellipse et de l’hyperbole
- Équation de l’hyperbole rapportée à ses asymptotes
- Équations paramétriques ; transformation d’un cercle en ellipse par affinité orthogonale
- Tangente en un point d’une conique : la tracer
- Déterminer une équation cartésienne ou paramétrique d’une conique ; sa nature et ses éléments ; la représenter
Source : Programme de mathématiques, Terminales S1 et S3 (Sénégal), octobre 2006
Coniques : foyer, directrice, excentricité
Soient \(F\) un point fixe appelé foyer, \(\mathcal{D}\) une droite fixe ne passant pas par \(F\) appelée directrice, et \(e>0\) un réel appelé excentricité. La conique de foyer \(F\), de directrice \(\mathcal{D}\) et d'excentricité \(e\) est l'ensemble des points \(M\) du plan vérifiant :
\[\frac{MF}{d(M,\mathcal{D})} = e,\]où \(d(M,\mathcal{D})\) désigne la distance de \(M\) à la droite \(\mathcal{D}\) (soit \(MH\) avec \(H\) le pied de la perpendiculaire abaissée de \(M\) sur \(\mathcal{D}\)).
| Excentricité | Nature de la conique | Nombre de branches |
|---|---|---|
| \(e = 1\) | Parabole | 1 |
| \(0 < e < 1\) | Ellipse (cercle si \(e=0\)) | 1 (courbe fermée) |
| \(e > 1\) | Hyperbole | 2 |
Plus \(e\) est proche de \(0\), plus l'ellipse ressemble à un cercle. Plus \(e\) est grand, plus les deux branches de l'hyperbole s'écartent.
La définition bifocale (\(MF+MF'=2a\) pour l'ellipse, \(|MF-MF'|=2a\) pour l'hyperbole) peut être rencontrée dans des problèmes, mais n'est pas exigible comme point de départ au baccalauréat. On raisonne toujours à partir de la définition foyer-directrice.
Figure 2 — Conique : faites varier l'excentricité
Foyer \(F\)
Directrice \(\mathcal{D}\)
Parabole
Dans un repère orthonormé dont l'origine est le sommet de la parabole et dont l'axe \((Ox)\) est l'axe focal, avec \(p>0\) :
\[y^2 = 2px,\qquad F\!\left(\frac{p}{2}\,;\,0\right),\qquad \mathcal{D}:\;x = -\frac{p}{2}.\]La parabole est symétrique par rapport à \((Ox)\). Le réel \(p\) est le paramètre de la parabole : il mesure la distance du foyer à la directrice (on a bien \(OF = p/2\) et \(d(O,\mathcal{D})=p/2\), soit \(OF = d(O,\mathcal{D})\)). L'excentricité vaut \(e=1\) par définition.
À partir de l'équation \(y^2 = 2px\), on lit directement \(2p\) comme coefficient de \(x\), ce qui donne \(p\). Le foyer est en \(\bigl(\tfrac{p}{2},0\bigr)\) et la directrice est la droite verticale \(x=-\tfrac{p}{2}\). Si l'équation est de la forme \(x^2=2py\), les rôles de \(x\) et \(y\) s'échangent (axe focal vertical).
\(y^2 = 4x\) : on lit \(2p=4\), donc \(p=2\). Foyer \(F(1\,;0)\), directrice \(x=-1\), sommet \(O(0,0)\). C'est exactement la courbe paramétrée de l'exemple 1 du §1.
\(x^2 = 6y\) : ici l'axe focal est \((Oy)\) (rôles de \(x\) et \(y\) échangés). On lit \(2p=6\), donc \(p=3\). Foyer \(F(0\,;\tfrac{3}{2})\), directrice \(y=-\tfrac{3}{2}\), sommet \(O(0,0)\).
On cherche l'équation de la parabole de sommet \(O\), d'axe focal \((Ox)\), dont le foyer est \(F(3\,;0)\). On a \(\tfrac{p}{2}=3\), donc \(p=6\). L'équation est \(y^2 = 12x\).
La formule \(y^2=2px\) avec \(p>0\) place la parabole à droite de l'axe \((Oy)\). Si l'on écrit \(y^2=-2px\) (\(p>0\)), la parabole est ouverte vers la gauche. Ne pas confondre les deux cas lors d'une lecture d'équation.
Figure 3 — Parabole \(y^2=2px\) — variez le paramètre \(p\)
Foyer \(F\)
Directrice
Ellipse
L'ellipse admet deux foyers \(F(c\,;0)\) et \(F'(-c\,;0)\), deux directrices \(x=\pm\dfrac{a^2}{c}\), deux axes de symétrie \((Ox)\) et \((Oy)\). Les sommets sont \((\pm a\,;0)\) et \((0\,;\pm b)\).
Plus \(e\) est petit, plus l'ellipse est proche d'un cercle (pour \(e=0\), \(c=0\) et \(a=b\) : c'est un cercle).
Vérification : \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\cos^2 t+\sin^2 t=1\). Le point \(M(t)\) parcourt l'ellipse dans le sens trigonométrique lorsque \(t\) croît de \(0\) à \(2\pi\). Ce paramétrage est le seul exigible au programme.
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
On met l'équation sous la forme \(\dfrac{x^2}{A}+\dfrac{y^2}{B}=1\) avec \(A,B>0\). Alors \(a=\sqrt{A}\) et \(b=\sqrt{B}\) (avec \(a=\max(\sqrt{A},\sqrt{B})\) pour l'axe focal), \(c=\sqrt{a^2-b^2}\), \(e=\tfrac{c}{a}\).
\(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\) : \(a=3\), \(b=2\), \(c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}\approx 2{,}24\), \(e=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\approx 0{,}75\). Foyers \((\pm\sqrt{5}\,;0)\), directrices \(x=\pm\dfrac{9}{\sqrt{5}}=\pm\dfrac{9\sqrt{5}}{5}\).
On cherche l'ellipse de foyers \(F(\pm 2\,;0)\) et passant par le sommet \((0\,;3)\). On a \(c=2\) et \(b=3\), donc \(a^2=b^2+c^2=9+4=13\). L'équation est \(\dfrac{x^2}{13}+\dfrac{y^2}{9}=1\).
L'axe focal est toujours celui qui correspond au plus grand dénominateur. Si \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{16}=1\), alors \(a^2=16\) et l'axe focal est \((Oy)\), non \((Ox)\). Les foyers sont \((0\,;\pm\sqrt{12})\) et \(c=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}\).
Figure 4 — Ellipse : variez \(a\) et \(b\)
Foyers \(F,F'\)
Directrices
Point \(M(t)\)
Hyperbole
L'hyperbole a deux foyers \((\pm c\,;0)\), deux sommets \((\pm a\,;0)\) et deux branches symétriques par rapport à \((Oy)\). Elle possède deux asymptotes :
\[y=\frac{b}{a}x\qquad\text{et}\qquad y=-\frac{b}{a}x.\]Les asymptotes ne font pas partie de la courbe, mais chaque branche s'en rapproche indéfiniment sans jamais les atteindre.
Pour reconnaître et caractériser une conique dont l'équation est donnée, on procède en trois étapes.
Étape 1 — Mise sous forme réduite. On met l'équation sous la forme \(\dfrac{x^2}{A}\pm\dfrac{y^2}{B}=1\) ou sous la forme \(y^2=kx\) par des regroupements, factorisations et mises au même dénominateur.
Étape 2 — Identification. Si les signes sont \(+/+\) : ellipse (cercle si \(A=B\)). Si les signes sont \(+/-\) ou \(-/+\) : hyperbole. Si un seul carré apparaît : parabole.
Étape 3 — Calcul des éléments. On en déduit \(a\), \(b\), puis \(c\), \(e\), les foyers, les sommets, les directrices. Pour l'hyperbole, on note en plus les asymptotes.
\(\dfrac{x^2}{4}-y^2=1\) : \(a=2\), \(b=1\), \(c=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\), \(e=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}12\). Foyers \((\pm\sqrt{5}\,;0)\), sommets \((\pm 2\,;0)\), asymptotes \(y=\pm\dfrac{x}{2}\).
Lorsque \(a=b\), on parle d'hyperbole équilatère. Son équation réduite est \(x^2-y^2=a^2\) et ses asymptotes sont \(y=\pm x\) (perpendiculaires). L'hyperbole \(xy=k\) (\(k\neq 0\)) est aussi une hyperbole équilatère, dont les axes de symétrie sont les droites \(y=x\) et \(y=-x\) (c'est la représentation graphique d'une fonction inverse).
Les asymptotes sont des droites que la courbe approche sans les couper (à grande distance). Cependant, une hyperbole peut couper ses asymptotes si celles-ci ne sont pas calculées depuis la forme réduite — cela arrive dans le cas d'une hyperbole translatée. Il faut toujours vérifier la forme réduite avant de conclure.
Figure 5 — Hyperbole : variez \(a\) et \(b\)
Foyers
Asymptotes
Coniques : équations paramétriques, affinité orthogonale, hyperbole rapportée à ses asymptotes
Les coniques ont aussi des représentations paramétriques, très commodes pour les tracer, trouver une tangente ou les reconnaître. Ce cours montre comment une ellipse s'obtient en « aplatissant » un cercle, et comment l'équation d'une hyperbole se simplifie quand on prend ses asymptotes pour axes.
Dans un repère orthonormé, avec \(a\gt0\), \(b\gt0\), \(p\gt0\) :
- Ellipse \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) : \(x=a\cos t\), \(y=b\sin t\), \(t\in[0\,;2\pi[\).
- Hyperbole \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) : \(x=\dfrac{a}{\cos t}\), \(y=b\tan t\), \(t\in\left]-\frac\pi2\,;\frac\pi2\right[\) pour la branche \(x\gt0\) (et \(t\in\left]\frac\pi2\,;\frac{3\pi}2\right[\) pour l'autre), car \(\dfrac1{\cos^2t}-\tan^2t=1\).
- Parabole \(y^2=2px\) : \(x=\dfrac{t^2}{2p}\), \(y=t\), \(t\in\mathbb R\).
Une ellipse de centre \(\Omega(x_0\,;y_0)\) et d'axes parallèles aux axes du repère s'écrit \(x=x_0+a\cos t\), \(y=y_0+b\sin t\). La tangente en un point se dirige par le vecteur dérivé ; on retrouve les équations : \(\dfrac{xx_0}{a^2}+\dfrac{yy_0}{b^2}=1\) pour l'ellipse, \(\dfrac{xx_0}{a^2}-\dfrac{yy_0}{b^2}=1\) pour l'hyperbole, en un point \((x_0\,;y_0)\) de la courbe.
L'affinité orthogonale d'axe \((Ox)\) et de rapport \(k\neq0\) associe au point \(M(x\,;y)\) le point \(M'(x\,;ky)\) : on garde l'abscisse et on multiplie l'ordonnée par \(k\). C'est une application affine ; elle laisse fixes les points de l'axe.
Propriété. L'image du cercle de centre \(O\) et de rayon \(a\) par l'affinité d'axe \((Ox)\) et de rapport \(\dfrac ba\) est l'ellipse \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\). En effet, \((a\cos t\,;a\sin t)\) devient \((a\cos t\,;b\sin t)\).
Le paramètre \(t\) est l'angle polaire du point du cercle (appelé cercle principal), pas celui du point de l'ellipse. L'affinité conserve l'alignement et le contact : la tangente au cercle en \(M\) a pour image la tangente à l'ellipse en \(M'\).
L'hyperbole \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) a pour asymptotes les droites \(y=\dfrac bax\) et \(y=-\dfrac bax\). Comme \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=\left(\dfrac xa-\dfrac yb\right)\left(\dfrac xa+\dfrac yb\right)\), en posant \(X=\dfrac xa-\dfrac yb\) et \(Y=\dfrac xa+\dfrac yb\), l'équation devient
\[XY=1.\]Pour une hyperbole équilatère \(x^2-y^2=a^2\) (\(a=b\), asymptotes perpendiculaires), on choisit le repère orthonormé dont les axes sont les asymptotes : \(X=\dfrac{x-y}{\sqrt2}\), \(Y=\dfrac{x+y}{\sqrt2}\), et l'équation devient \(XY=\dfrac{a^2}2\) : c'est le graphe d'une fonction inverse.
1) Isoler \(\cos t\) et \(\sin t\) (ou \(\dfrac1{\cos t}\) et \(\tan t\)), puis éliminer \(t\) avec \(\cos^2t+\sin^2t=1\) (ou \(\dfrac1{\cos^2t}-\tan^2t=1\)).
2) Écrire l'équation obtenue sous forme réduite, en déduire le centre, les demi-axes \(a\) et \(b\), puis \(c\) (\(c^2=a^2-b^2\) pour l'ellipse, \(c^2=a^2+b^2\) pour l'hyperbole), les foyers et l'excentricité \(e=\dfrac ca\).
3) Pour la tangente en \(M(t_0)\), utiliser le vecteur dérivé ou l'équation \(\dfrac{xx_0}{a^2}\pm\dfrac{yy_0}{b^2}=1\) (en coordonnées centrées).
Énoncé. Déterminer l'image du cercle \(x^2+y^2=9\) par l'affinité orthogonale d'axe \((Ox)\) et de rapport \(\dfrac23\). Donner la tangente à cette image au point de paramètre \(\dfrac\pi3\).
Solution : Le point \((3\cos t\,;3\sin t)\) du cercle a pour image \((3\cos t\,;2\sin t)\) : l'image est l'ellipse \(\dfrac{x^2}9+\dfrac{y^2}4=1\), de demi-axes 3 et 2.
En \(t=\dfrac\pi3\) : \(M\left(\dfrac32\,;\sqrt3\right)\). Tangente : \(\dfrac{x\times\frac32}{9}+\dfrac{y\sqrt3}{4}=1\), soit \(\dfrac x6+\dfrac{\sqrt3}4y=1\). Contrôle : le vecteur dérivé \(\left(-3\sin\frac\pi3\,;2\cos\frac\pi3\right)=\left(-\frac{3\sqrt3}2\,;1\right)\) est bien orthogonal au vecteur normal \(\left(\frac16\,;\frac{\sqrt3}4\right)\).
Figure — L'affinité qui aplatit le cercle
Le cercle de centre O et de rayon 3, en gris, et son image par l'affinité d'axe (Ox) et de rapport 2/3, l'ellipse x²/9 + y²/4 = 1, en bleu. Chaque point du cercle descend verticalement vers l'axe (segments en or) : son ordonnée est multipliée par 2/3, son abscisse ne change pas.
Énoncé. Soit \(\mathcal H : x^2-y^2=4\). Donner une représentation paramétrique de la branche \(x\gt0\), ses asymptotes, et son équation dans le repère orthonormé porté par ses asymptotes.
Solution : Ici \(a=b=2\) : \(x=\dfrac{2}{\cos t}\), \(y=2\tan t\), \(t\in\left]-\frac\pi2\,;\frac\pi2\right[\) ; on vérifie \(x^2-y^2=4\left(\dfrac1{\cos^2t}-\tan^2t\right)=4\). Asymptotes : \(y=x\) et \(y=-x\), perpendiculaires (hyperbole équilatère).
Avec \(X=\dfrac{x-y}{\sqrt2}\), \(Y=\dfrac{x+y}{\sqrt2}\) : \(XY=\dfrac{x^2-y^2}{2}=2\). Dans ce repère, \(\mathcal H\) est la courbe d'équation \(Y=\dfrac2X\).
Énoncé. Déterminer la nature et les éléments de la courbe \(x=1+2\cos t\), \(y=-1+\sin t\), \(t\in[0\,;2\pi[\).
Solution : \(\cos t=\dfrac{x-1}2\) et \(\sin t=y+1\), donc \(\dfrac{(x-1)^2}{4}+(y+1)^2=1\) : c'est une ellipse de centre \(\Omega(1\,;-1)\), de demi-axes \(a=2\) (parallèle à \((Ox)\)) et \(b=1\).
\(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt3\) : foyers \((1+\sqrt3\,;-1)\) et \((1-\sqrt3\,;-1)\), excentricité \(e=\dfrac{\sqrt3}2\). Contrôle : pour tout point, la somme des distances aux foyers vaut \(2a=4\).
Prendre \(t\) pour l'angle du point de l'ellipse. Pour \(x=a\cos t\), \(y=b\sin t\), le point de paramètre \(\frac\pi4\) n'est sur la droite \(y=x\) que si \(a=b\) ; \(t\) est l'angle du point correspondant sur le cercle principal.
Oublier une branche de l'hyperbole. \(x=\dfrac a{\cos t}\), \(y=b\tan t\) avec \(t\in\left]-\frac\pi2\,;\frac\pi2\right[\) ne décrit que la branche \(x\gt0\).
Résumé
Ellipse \((a\cos t\,;b\sin t)\) ; hyperbole \(\left(\frac a{\cos t}\,;b\tan t\right)\) ; parabole \(\left(\frac{t^2}{2p}\,;t\right)\).
\((x\,;y)\mapsto(x\,;ky)\) ; le cercle de rayon \(a\) devient l'ellipse de demi-axes \(a\) et \(ka\).
Dans le repère des asymptotes, l'hyperbole a une équation \(XY=\) constante.
Le vecteur dérivé \(\vec{V}(t)\bigl(x'(t)\,;\,y'(t)\bigr)\) dirige la tangente lorsqu'il est non nul. Tangente horizontale : \(y'(t)=0,\,x'(t)\neq 0\). Tangente verticale : \(x'(t)=0,\,y'(t)\neq 0\).
Une conique est l'ensemble des points \(M\) vérifiant \(\dfrac{MF}{d(M,\mathcal{D})}=e\). Parabole : \(e=1\). Ellipse : \(e<1\). Hyperbole : \(e>1\).
\(y^2=2px\) ; foyer \(\left(\tfrac{p}{2}\,;0\right)\) ; directrice \(x=-\tfrac{p}{2}\) ; axe \((Ox)\) ; sommet \(O\).
\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) (\(a>b>0\)) ; \(c^2=a^2-b^2\) ; \(e=\tfrac{c}{a}<1\) ; paramétrage : \((a\cos t\,;\,b\sin t)\).
\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) ; \(c^2=a^2+b^2\) ; \(e=\tfrac{c}{a}>1\) ; asymptotes \(y=\pm\tfrac{b}{a}x\).
Forme réduite : \(+/+\) ellipse, \(+/-\) hyperbole, un seul carré parabole. Axe focal = côté du plus grand dénominateur.
Sujet type Bac
On considère la courbe \(\mathcal{C}\) définie par \(x(t)=\cos^2 t\) et \(y(t)=\sin t\cos t\) pour \(t\in[0\,;\pi[\). On note \(\mathcal{E}\) l'ellipse d'équation \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{1}=1\).
Question 1. Montrer que \(\mathcal{C}\) admet pour équation cartésienne \(\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^2+y^2=\tfrac{1}{4}\).
On remarque que \(x(t)=\cos^2 t=\dfrac{1+\cos(2t)}{2}\) et \(y(t)=\sin t\cos t=\dfrac{\sin(2t)}{2}\). Posons \(u=\cos(2t)\) et \(v=\sin(2t)\), de sorte que \(x=\dfrac{1+u}{2}\) et \(y=\dfrac{v}{2}\). Alors \(x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{u}{2}\) et \(y=\dfrac{v}{2}\), d'où \(\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^2+y^2=\dfrac{u^2+v^2}{4}=\dfrac{\cos^2(2t)+\sin^2(2t)}{4}=\dfrac{1}{4}\). Ceci est vérifié pour tout \(t\), donc \(\mathcal{C}\) est bien incluse dans ce cercle.
Question 2. Calculer le vecteur dérivé \(\vec{V}(t)\) et préciser les valeurs de \(t\) où la tangente est horizontale.
\(x'(t)=-2\sin t\cos t=-\sin(2t)\) et \(y'(t)=\cos^2 t-\sin^2 t=\cos(2t)\). Ainsi \(\vec{V}(t)\bigl(-\sin(2t)\,;\,\cos(2t)\bigr)\). Ce vecteur est nul seulement si \(\sin(2t)=0\) et \(\cos(2t)=0\), ce qui est impossible puisque \(\sin^2(2t)+\cos^2(2t)=1\). La tangente est horizontale lorsque \(y'(t)=\cos(2t)=0\), i.e. \(2t=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\), soit \(t=\dfrac{\pi}{4}\) sur \([0\,;\pi[\). En ce point : \(M\!\left(\tfrac{1}{2}\,;\,\tfrac{1}{2}\right)\).
Question 3. Identifier la conique \(\mathcal{E}\) et donner ses foyers, excentricité et directrices.
L'équation \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{1}=1\) est celle d'une ellipse avec \(a^2=4\), \(b^2=1\), donc \(a=2\), \(b=1\). L'axe focal est \((Ox)\) (grand dénominateur). \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\). Excentricité : \(e=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}87\). Foyers : \(F(\sqrt{3}\,;0)\) et \(F'(-\sqrt{3}\,;0)\). Directrices : \(x=\pm\dfrac{a^2}{c}=\pm\dfrac{4}{\sqrt{3}}=\pm\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\).
Question 4. Donner le paramétrage de \(\mathcal{E}\) et calculer le vecteur dérivé correspondant en \(t=\dfrac{\pi}{3}\).
Le paramétrage canonique de \(\mathcal{E}\) est \(\begin{cases}x(t)=2\cos t\\y(t)=\sin t\end{cases}\), \(t\in[0\,;2\pi[\). Les dérivées sont \(x'(t)=-2\sin t\) et \(y'(t)=\cos t\). En \(t=\dfrac{\pi}{3}\) : \(x'\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=-2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}\) et \(y'\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\). Vecteur dérivé : \(\vec{V}\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)\!\left(-\sqrt{3}\,;\,\tfrac{1}{2}\right)\). Le point de contact est \(M\!\left(2\cdot\tfrac{1}{2}\,;\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=M\!\left(1\,;\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\).
Question 5. Vérifier la propriété foyer-directrice pour le point \(M(2\,;0)\) sur \(\mathcal{E}\).
Le point \(M(2\,;0)\) est le sommet droit de \(\mathcal{E}\). Distance au foyer \(F(\sqrt{3}\,;0)\) : \(MF=|2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}\). Distance à la directrice \(x=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\) : \(d(M,\mathcal{D})=\left|\dfrac{4}{\sqrt{3}}-2\right|=\dfrac{4-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{2(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}}\). Rapport : \(\dfrac{MF}{d(M,\mathcal{D})}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{\dfrac{2(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=e\). La propriété est bien vérifiée.