Terminale S1-S3 · Leçon 7
Suites numériques
Ce que dit le programme officiel (9 points)
- Rappels : suites croissantes, décroissantes, monotones, périodiques, bornées ; limite d’une suite
- Énoncés de comparaison : minoration par une suite qui tend vers +∞ ; |Xn − L| ≤ Un avec Un de limite 0 ; passage à la limite dans une inégalité ; théorème des gendarmes
- Opérations sur les limites : somme, produit, quotient, racine carrée (limites finies ou infinies)
- Image d’une suite par une fonction continue : si Un tend vers L et f(x) tend vers a quand x tend vers L, alors f(Un) tend vers a
- Toute suite croissante majorée (décroissante minorée) converge
- Suites de référence : ln n, aⁿ, nα ; comparaison des comportements
- Raisonnement par récurrence ; sens de variation ; majoration, minoration ; démontrer qu’une suite converge
- Suites du type U(n+1) = f(U(n)) avec f continue ; représentation graphique ; conjecture à l’aide de la calculatrice ou du graphique
- Limite : ne pas insister sur les définitions (ε, N) et (A, N)
Source : Programme de mathématiques, Terminales S1 et S3 (Sénégal), octobre 2006
Suites monotones, majorées, minorées, bornées
- Croissante : \(u_{n+1}\geq u_n\) pour tout \(n\)
- Décroissante : \(u_{n+1}\leq u_n\) pour tout \(n\)
- Méthode 1 — différence : signe de \(u_{n+1}-u_n\) — universelle, toujours applicable
- Méthode 2 — rapport : comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à 1 — uniquement si tous les termes sont strictement positifs
- Méthode 3 — fonction associée : si \(u_n=f(n)\), étudier le signe de \(f'(x)\) sur \([0;+\infty[\)
Étudions \(u_n=n^2-4n\) :
\[u_{n+1}-u_n=(n+1)^2-4(n+1)-(n^2-4n)=2n-3\]
\(u_{n+1}-u_n\geq 0\Leftrightarrow n\geq\frac{3}{2}\), soit \(n\geq 2\). Donc décroissante pour \(n\leq 1\), croissante pour \(n\geq 2\).
Le rapport \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) n'est valide que si tous les termes sont strictement positifs. En présence de termes négatifs, le signe du rapport peut induire en erreur : utiliser la différence.
- Majorée : \(\exists M\in\mathbb{R},\;\forall n,\;u_n\leq M\)
- Minorée : \(\exists m\in\mathbb{R},\;\forall n,\;u_n\geq m\)
- Bornée : majorée et minorée, i.e. \(m\leq u_n\leq M\) pour tout \(n\)
Exemples : \(u_n=\frac{1}{n+1}\) bornée · \(u_n=n^2\) minorée non majorée · \(u_n=(-1)^n\) bornée
Figure interactive — Visualisation d'une suite
Choisissez un type et cliquez Tracer
Points (n, uₙ) représentés en bleu. La droite rouge en tirets indique la borne inférieure visible. Modifiez les paramètres pour observer croissance, décroissance, bornage.
Limite d'une suite, convergence, limites usuelles
\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\) : la suite est convergente. Elle peut diverger sans avoir de limite : \(u_n=(-1)^n\) oscille entre −1 et 1.
| Suite \(u_n\) | Limite en \(+\infty\) |
|---|---|
| \(\dfrac{1}{n^p}\) (\(p>0\)) | 0 |
| \(n^p\) (\(p>0\)) | \(+\infty\) |
| \(q^n\) si \(|q|<1\) | 0 |
| \(q^n\) si \(q>1\) | \(+\infty\) |
| \(q^n\) si \(q=1\) | 1 |
| \(q^n\) si \(q\leq-1\) | Pas de limite |
Si \(|q|<1\) alors \(q^n\to 0\). Exemples : \(\left(\frac{1}{2}\right)^n\to 0\), \((0{,}9)^n\to 0\), \((-0{,}3)^n\to 0\). Si \(|q|>1\) la suite diverge.
Les formes \(+\infty-\infty\), \(0\times\infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\frac{0}{0}\) ne peuvent pas être calculées directement.
Exemple : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{3n^2+2n-1}{5n^2-4}=\lim\frac{n^2(3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2})}{n^2(5-\frac{4}{n^2})}=\frac{3}{5}\)
Théorèmes de convergence : monotone bornée, gendarmes, suites adjacentes
- Toute suite croissante et majorée converge
- Toute suite décroissante et minorée converge
Si \(u_n\leq v_n\leq w_n\) et \(\lim u_n=\lim w_n=\ell\), alors \(\lim v_n=\ell\).
Exemple : \(-\dfrac{1}{n}\leq\dfrac{\sin n}{n}\leq\dfrac{1}{n}\) et les extrêmes → 0, donc \(\displaystyle\lim\frac{\sin n}{n}=0\).
Deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes si : \((u_n)\) croissante, \((v_n)\) décroissante, \(\lim(v_n-u_n)=0\). Elles convergent alors vers la même limite \(\ell\) avec \(u_n\leq\ell\leq v_n\).
Quand une suite récurrente \(u_{n+1}=f(u_n)\) converge vers \(\ell\), alors \(\ell=f(\ell)\) : la limite est le point fixe de la relation.
Suites de référence (ln n, aⁿ, n^α) et image d’une suite par une fonction continue
Pour trouver la limite d'une suite, on la compare à quelques suites dont on connaît le comportement : les puissances de \(n\), les suites géométriques et le logarithme. On utilise aussi un résultat très pratique : une fonction continue « passe » à la limite. C'est lui qui permet de trouver la limite d'une suite définie par récurrence.
- \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\ln n=+\infty\).
- \(n^\alpha\) : tend vers \(+\infty\) si \(\alpha\gt 0\), vers 0 si \(\alpha\lt 0\) (par exemple \(\dfrac1{\sqrt n}=n^{-1/2}\)).
- \(a^n\), avec \(a\gt 0\) : tend vers \(+\infty\) si \(a\gt 1\), vers 0 si \(0\lt a\lt 1\) ; elle est constante si \(a=1\).
Croissances comparées. Pour \(\alpha\gt 0\) et \(a\gt 1\) :
\[\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln n}{n^\alpha}=0,\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{n^\alpha}{a^n}=0.\]Autrement dit, quand \(n\) devient grand, \(a^n\) (avec \(a\gt1\)) l'emporte sur toute puissance de \(n\), qui l'emporte sur \(\ln n\). Ces résultats viennent des limites correspondantes pour les fonctions \(x\mapsto\dfrac{\ln x}{x^\alpha}\) et \(x\mapsto\dfrac{x^\alpha}{e^{x\ln a}}\).
Théorème. Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \((u_n)\) une suite de points de \(I\). Si \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=L\) et \(\displaystyle\lim_{x\to L}f(x)=a\) (\(L\) et \(a\) finis ou infinis), alors \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f(u_n)=a\).
En particulier, si \(f\) est continue en \(L\) : \(f(u_n)\) tend vers \(f(L)\).
Conséquence pour \(u_{n+1}=f(u_n)\). Si la suite converge vers \(L\), si \(L\in I\) et si \(f\) est continue en \(L\), alors \(L=f(L)\) : la limite est un point fixe de \(f\). On passe à la limite dans les deux membres de \(u_{n+1}=f(u_n)\), car \(u_{n+1}\) tend aussi vers \(L\).
1) Montrer par récurrence que tous les termes restent dans un intervalle \(I\) stable par \(f\) (c'est-à-dire \(f(I)\subset I\)), en utilisant les variations de \(f\).
2) Étudier le sens de variation de la suite (signe de \(u_{n+1}-u_n\), ou récurrence si \(f\) est croissante).
3) Conclure à la convergence : une suite croissante majorée, ou décroissante minorée, converge.
4) Trouver la limite parmi les solutions de \(f(L)=L\) situées dans \(I\), \(f\) étant continue. Un dessin en escalier (courbe de \(f\) et droite \(y=x\)) aide à conjecturer.
Énoncé. Déterminer les limites des suites \(a_n=\dfrac{\ln n}{\sqrt n}\), \(b_n=\dfrac{n^3}{2^n}\), \(c_n=\dfrac{2^n+n^5}{3^n}\) et \(d_n=n-\ln n\).
Solution : \(a_n=\dfrac{\ln n}{n^{1/2}}\) tend vers 0 (croissances comparées, \(\alpha=\frac12\)). \(b_n\) tend vers 0, car \(2\gt1\).
\(c_n=\left(\dfrac23\right)^n+\dfrac{n^5}{3^n}\) : le premier terme tend vers 0 car \(0\lt\frac23\lt1\), le second aussi ; donc \(c_n\) tend vers 0. Enfin \(d_n=n\left(1-\dfrac{\ln n}{n}\right)\) : la parenthèse tend vers 1, donc \(d_n\) tend vers \(+\infty\) (la forme \(\infty-\infty\) est levée par la mise en facteur).
Énoncé. Déterminer les limites de \(u_n=\sqrt{4+\dfrac1n}\), \(v_n=e^{1/n}\) et \(w_n=\ln\dfrac{2n+1}{n+3}\).
Solution : \(4+\dfrac1n\) tend vers 4 et la racine carrée est continue en 4 : \(u_n\) tend vers 2. \(\dfrac1n\) tend vers 0 et l'exponentielle est continue en 0 : \(v_n\) tend vers \(e^0=1\).
\(\dfrac{2n+1}{n+3}=\dfrac{2+\frac1n}{1+\frac3n}\) tend vers 2, et \(\ln\) est continue en 2 : \(w_n\) tend vers \(\ln2\).
Énoncé. Soit \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+6}\). Montrer que \(0\le u_n\lt u_{n+1}\lt 3\) pour tout \(n\), puis que la suite converge et déterminer sa limite.
Solution : Soit \(f(x)=\sqrt{x+6}\), croissante sur \([-6\,;+\infty[\). Initialisation : \(u_0=1\), \(u_1=\sqrt7\approx 2{,}65\), donc \(0\le u_0\lt u_1\lt 3\). Hérédité : si \(0\le u_n\lt u_{n+1}\lt3\), la croissance de \(f\) donne \(f(u_n)\lt f(u_{n+1})\lt f(3)\), soit \(u_{n+1}\lt u_{n+2}\lt 3\), et \(u_{n+1}\ge 0\).
La suite est croissante et majorée par 3 : elle converge vers un réel \(L\) de \([1\,;3]\). Comme \(f\) est continue en \(L\), \(L=\sqrt{L+6}\), d'où \(L^2-L-6=0\), soit \((L-3)(L+2)=0\). Comme \(L\ge 1\), \(L=3\).
Figure — L'escalier de la suite récurrente
La courbe de f(x) = √(x + 6), en bleu, et la droite y = x, en gris. En partant de u₀ = 1 sur l'axe des abscisses, on monte jusqu'à la courbe, puis on revient horizontalement sur la droite, et ainsi de suite : les marches, en or, montent vers le point d'intersection (3 ; 3), qui donne la limite.
Passer à la limite dans l'exposant sans précaution. \(\left(1+\frac1n\right)^n\) ne tend pas vers 1 : la base tend vers 1 mais l'exposant tend vers \(+\infty\) ; cette suite tend vers \(e\).
Conclure à la convergence par la seule équation du point fixe. L'équation \(L=f(L)\) donne les limites possibles si la suite converge ; il faut d'abord prouver la convergence (monotone et bornée).
Garder une solution impossible. Dans l'exemple 3, \(-2\) vérifie l'équation mais n'est pas dans \([1\,;3]\) : la limite ne peut pas être négative pour une suite de termes positifs.
Suites récurrentes uₙ₊₁ = f(uₙ) et point fixe
Si la suite \((u_n)\) définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\) converge vers un réel \(\ell\) et si \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(\ell\) est un point fixe de \(f\) : \[ f(\ell) = \ell. \] La démarche est donc : montrer que la suite converge (théorème de la limite monotone), puis résoudre \(f(x) = x\) dans l'intervalle stable pour identifier la limite.
- Trouver un intervalle stable \(I\) : montrer que si \(u_n \in I\) alors \(f(u_n) \in I\).
- Montrer par récurrence que \(u_n \in I\) : initialisation, hérédité via la stabilité.
- Étudier la monotonie : souvent via le signe de \(f(x) - x\) sur \(I\).
- Conclure : croissante bornée supérieurement → convergence.
- Identifier \(\ell\) : résoudre \(f(x) = x\) dans \(I\).
Si \(f\) est dérivable sur un intervalle stable \(I\) et si \(|f'(x)| \le k < 1\) pour tout \(x \in I\), alors : \[ |u_{n+1} - \ell| = |f(u_n) - f(\ell)| \le k\,|u_n - \ell|, \qquad |u_n - \ell| \le k^n \,|u_0 - \ell| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0. \] Cette méthode prouve simultanément la convergence et une vitesse de convergence.
On pose \(f(x) = \dfrac{x}{2} + 2\).
Point fixe : \(f(\ell) = \ell \iff \dfrac{\ell}{2} + 2 = \ell \iff \ell = 4\).
Intervalle stable : si \(x \in [0\,;\,4]\), alors \(f(x) \in [2\,;\,4] \subset [0\,;\,4]\).
Monotonie : \(u_{n+1} - u_n = 2 - \dfrac{u_n}{2} \ge 0\) car \(u_n \le 4\) → suite croissante.
Convergence : croissante et majorée par 4 → converge. Par continuité de \(f\), la limite vérifie \(f(\ell) = \ell\), d'où \(\ell = 4\).
Via l'IAF : \(f'(x) = \dfrac{1}{2}\) sur \(\mathbb{R}\), donc \(|u_n - 4| \le \left(\dfrac{1}{2}\right)^n |u_0 - 4| = \dfrac{4}{2^n} \to 0\).
Toile d'araignée — \(u_{n+1} = f(u_n)\), \(f(x) = ax + b\)
\(y = x\)
toile \(u_0, u_1, \ldots\)
point fixe \(\ell\)
Ajustez les paramètres pour visualiser la convergence ou la divergence
La toile d'araignée permet de prévoir graphiquement le comportement de la suite. Depuis \((u_0, 0)\), on monte jusqu'à la courbe de \(f\), puis horizontalement jusqu'à la droite \(y = x\), et ainsi de suite. Si \(|a| < 1\), la suite converge vers le point fixe \(\ell = b/(1-a)\).
Résoudre \(f(x) = x\) sans avoir préalablement prouvé la convergence est sans valeur. Si la suite diverge, un point fixe peut exister sans que la suite ne le rejoigne. On doit d'abord établir la convergence, puis identifier la limite.
Raisonnement par récurrence
Méthode pour démontrer qu'une propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier \(n\geq n_0\)
- Initialisation : vérifier que \(\mathcal{P}(n_0)\) est vraie.
- Hérédité : supposer \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un certain \(n\geq n_0\) (hypothèse de récurrence), puis démontrer \(\mathcal{P}(n+1)\) en utilisant cette hypothèse.
- Conclusion : "D'après le principe de récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout \(n\geq n_0\)."
- Oublier l'initialisation — démonstration incomplète, note = 0
- Ne pas utiliser l'hypothèse de récurrence — écrire explicitement "par hypothèse de récurrence, \(u_n=\ldots\)" avant de l'utiliser
- Omettre la conclusion globale — phrase finale indispensable pour le correcteur
Démontrons que pour tout \(n\geq 1\) : \(\displaystyle 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\)
Init. : Pour \(n=1\) : \(1=\frac{1\times 2}{2}=1\). Vrai.
Hér. : Supposons \(1+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\). Alors :
\[1+\cdots+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\]
Correspond à la formule au rang \(n+1\). Vrai.
Concl. : Par récurrence, \(1+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\) pour tout \(n\geq 1\).
Suite : \(u_0=1\), \(u_{n+1}=3u_n+2\). Montrons que \(u_n=2\times 3^n-1\).
Init. : \(u_0=1\) et \(2\times 3^0-1=1\). Vrai.
Hér. : Supposons \(u_n=2\times 3^n-1\). Alors :
\[u_{n+1}=3(2\times 3^n-1)+2=6\times 3^n-1=2\times 3^{n+1}-1\]
Correspond à la formule au rang \(n+1\). Vrai.
Concl. : Par récurrence, \(u_n=2\times 3^n-1\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Sur la copie, écrire "par H.R." ou "par hypothèse de récurrence" au-dessus du signe "=" au moment où vous l'utilisez. Le correcteur doit voir clairement ce moment-clé.
Résumé
\(\ln n\to+\infty\) ; \(n^\alpha\to+\infty\) si \(\alpha\gt0\) ; \(a^n\to+\infty\) si \(a\gt1\), \(\to0\) si \(0\lt a\lt1\).
\(\dfrac{\ln n}{n^\alpha}\to0\) et \(\dfrac{n^\alpha}{a^n}\to0\) pour \(\alpha\gt0\), \(a\gt1\).
Si \(u_n\to L\) et \(f\) continue en \(L\), alors \(f(u_n)\to f(L)\) ; limite d'une suite récurrente : point fixe.
\(u_{n+1}=u_n+r\) · \(u_n=u_0+nr\) · \(S_n=(n+1)\frac{u_0+u_n}{2}\)
\(u_{n+1}=qu_n\) · \(u_n=u_0q^n\) · \(S_n=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)
Point fixe \(\ell=\frac{c}{1-b}\) · \(v_n=u_n-\ell\) géométrique · \(u_n=(u_0-\ell)b^n+\ell\)
Croissante + majorée → converge · Décroissante + minorée → converge · Limite = point fixe
\(|q|<1\Rightarrow q^n\to 0\) · \(q>1\Rightarrow q^n\to+\infty\) · \(q\leq-1\) → pas de limite
1. Initialisation · 2. Hérédité (avec H.R. explicite) · 3. Conclusion globale
Initialisation + hérédité dans cet ordre. On suppose \(P(n)\) et on déduit \(P(n+1)\), jamais l'inverse.
Signe de \(u_{n+1} - u_n\), quotient si \(u_n > 0\), variations de \(f\) si explicite, récurrence si récurrente.
Croissante majorée ou décroissante minorée → convergence (admis). Gendarmes : deux suites encadrantes de même limite.
Transférer les limites de fonctions. Croissances comparées : \(\ln n \ll n^\alpha \ll a^n \ll n!\).
Si \((u_n)\) converge et \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(f(\ell) = \ell\). Méthode en 5 étapes.
Si \(|f'| \le k < 1\) sur l'intervalle stable : \(|u_n - \ell| \le k^n |u_0 - \ell| \to 0\).
Sujet type Bac
Énoncé : Soit \((u_n)\) définie par \(\begin{cases}u_0=4\\u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+2\end{cases}\).
A. Premiers termes : \(u_1=\frac{10}{3}\approx 3{,}33\) · \(u_2=\frac{28}{9}\approx 3{,}11\) — La suite semble décroissante et converger vers 3.
B. Bornage par récurrence — \(\mathcal{P}(n):u_n>3\)
Init. : \(u_0=4>3\). Vrai.
Hér. : Si \(u_n>3\), alors \(u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+2>\frac{1}{3}(3)+2=3\). Vrai.
Concl. : \(u_n>3\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Variations : \(u_{n+1}-u_n=-\frac{2}{3}u_n+2=2\!\left(1-\frac{u_n}{3}\right)<0\) car \(u_n>3\). Donc \((u_n)\) est décroissante et minorée par 3 → converge.
C. Suite auxiliaire : \(v_n=u_n-3\) → \(v_{n+1}=\frac{1}{3}v_n\) → \(v_n=\left(\frac{1}{3}\right)^n\).
\[u_n=3+\left(\frac{1}{3}\right)^n\]
D. Limite : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=3+0=\mathbf{3}\)
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[ u_{n+1} = \frac{u_n^{\,2} + 2}{2\,u_n}. \]
Question 1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\). En déduire une conjecture sur le comportement de la suite.
Les termes semblent décroître et se rapprocher de \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\). Conjecture : la suite converge vers \(\sqrt{2}\).
Question 2. Déterminer les points fixes de \(f(x) = \dfrac{x^2+2}{2x}\).
On résout \(f(x) = x\) pour \(x > 0\) :
\[ \frac{x^2 + 2}{2x} = x \iff x^2 + 2 = 2x^2 \iff x^2 = 2 \iff x = \sqrt{2}. \]Question 3. Montrer par récurrence que \(u_n \ge \sqrt{2}\) pour tout \(n \ge 1\).
Initialisation (\(n=1\)) : \(u_1 = 3/2 > \sqrt{2}\). Vrai.
Hérédité : supposons \(u_n \ge \sqrt{2}\). On calcule :
\[ u_{n+1} - \sqrt{2} = \frac{u_n^2 + 2 - 2\sqrt{2}\,u_n}{2u_n} = \frac{(u_n - \sqrt{2})^2}{2u_n} \ge 0. \]Le numérateur est positif ou nul, le dénominateur est positif : \(u_{n+1} \ge \sqrt{2}\).
Question 4. Montrer que la suite est décroissante à partir du rang 1.
Pour \(n \ge 1\), on a \(u_n \ge \sqrt{2} > 0\) :
\[ u_{n+1} - u_n = \frac{u_n^2 + 2 - 2u_n^2}{2u_n} = \frac{2 - u_n^2}{2u_n}. \]Comme \(u_n^2 \ge 2\), on a \(2 - u_n^2 \le 0\) et \(2u_n > 0\) : la suite est décroissante.
Question 5. Conclure sur la convergence et calculer la limite.
À partir du rang 1, la suite est décroissante et minorée par \(\sqrt{2}\). Par le théorème de la limite monotone, elle converge. Sa limite \(\ell\) vérifie \(f(\ell) = \ell\), d'où :
\[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \sqrt{2}. \]C'est l'algorithme de Héron, méthode de calcul numérique de \(\sqrt{2}\) connue depuis l'Antiquité. Le nombre de décimales exactes double à chaque itération.