Terminale S1-S3 · Leçon 15
Produit vectoriel et produit mixte
Ce que dit le programme officiel (6 points)
- Orientation de l’espace : repères orthonormaux directs, indirects (aucune théorie)
- Produit vectoriel : définition, notation, propriétés ; expression analytique dans un repère orthonormé direct
- Produit mixte de trois vecteurs : définition, notation, expression analytique dans une base orthonormale
- Calculer l’aire d’un triangle, d’un parallélogramme ; le volume d’un tétraèdre, d’un parallélépipède
- Déterminer un vecteur normal à un plan, une équation d’un plan ; démontrer que des vecteurs sont colinéaires, des points alignés ou coplanaires
- Calculer la distance d’un point à une droite, de deux droites
Source : Programme de mathématiques, Terminales S1 et S3 (Sénégal), octobre 2006
Produit vectoriel
Dans un espace orienté muni d'une base orthonormée directe, le produit vectoriel de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est le vecteur \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) (ou \(\vec{u} \times \vec{v}\)) défini par :
- \(\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}\) si et seulement si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires ;
- sinon, \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) est orthogonal à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\), la base \((\vec{u},\vec{v},\vec{u}\wedge\vec{v})\) est directe, et :
Antisymétrie : \(\vec{v}\wedge\vec{u} = -\,\vec{u}\wedge\vec{v}\) (intervertir les vecteurs change le signe).
Bilinéarité : \((\alpha\vec{u}+\vec{w})\wedge\vec{v} = \alpha(\vec{u}\wedge\vec{v}) + \vec{w}\wedge\vec{v}\).
Formule en coordonnées. Pour \(\vec{u}(x\,;y\,;z)\) et \(\vec{v}(x'\,;y'\,;z')\) :
\[ \vec{u}\wedge\vec{v} = \begin{pmatrix}yz' - zy'\\zx' - xz'\\xy' - yx'\end{pmatrix}. \]Moyen mnémotechnique : développer le déterminant symbolique \(\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\x&y&z\\x'&y'&z'\end{vmatrix}\) selon la première ligne.
Applications directes :
- Colinéarité : \(\vec{u}\wedge\vec{v} = \vec{0} \iff \vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
- Aire du triangle \(ABC\) : \(\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|\).
- \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est un vecteur normal au plan \((ABC)\), utile pour écrire l'équation cartésienne du plan.
- Écrire les coordonnées de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) clairement, en colonnes si besoin.
- Appliquer la formule terme à terme : \(yz'-zy'\) ; \(zx'-xz'\) ; \(xy'-yx'\).
- Vérifier que le résultat est bien orthogonal à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\) en calculant les deux produits scalaires (ils doivent valoir 0).
Exemple 1 — Calcul direct. \(A(1;0;0)\), \(B(0;1;0)\), \(C(0;0;1)\) : \(\overrightarrow{AB}(-1;1;0)\), \(\overrightarrow{AC}(-1;0;1)\).
\[ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}1\times1-0\times0\\0\times(-1)-(-1)\times1\\(-1)\times0-1\times(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}. \]Aire de \(ABC\) : \(\dfrac{1}{2}\sqrt{1+1+1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Équation du plan : \(x + y + z = 1\) (vecteur normal \(\vec{n}(1;1;1)\), passant par \(A(1;0;0)\)).
Exemple 2 — Test de colinéarité. \(\vec{u}(2;-3;1)\), \(\vec{v}(4;-6;2)\). \(\vec{u}\wedge\vec{v} = (-3\times2-1\times(-6)\,;\,1\times4-2\times2\,;\,2\times(-6)-(-3)\times4) = (0;0;0)\). Les vecteurs sont colinéaires (\(\vec{v} = 2\vec{u}\)).
Exemple 3 — Vecteur normal et équation de plan. Plan passant par \(P(1;2;3)\), \(Q(2;0;1)\), \(R(0;1;2)\) : \(\overrightarrow{PQ}(1;-2;-2)\), \(\overrightarrow{PR}(-1;-1;-1)\), \(\overrightarrow{PQ}\wedge\overrightarrow{PR} = ((-2)(-1)-(-2)(-1)\,;\,(-2)(-1)-(1)(-1)\,;\,(1)(-1)-(-2)(-1)) = (2-2\,;\,2+1\,;\,-1-2) = (0;3;-3)\). Équation : \(0(x-1)+3(y-2)-3(z-3)=0\), soit \(y - z = -1\).
Astuce : pour mémoriser la formule, pensez à la règle « on omet la ligne et la colonne du coefficient », comme pour les déterminants.
Piège : le produit vectoriel n'est pas commutatif — c'est l'erreur la plus fréquente dans les copies. Écrire \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{AB}\) donne des vecteurs opposés, ce qui change l'orientation de la normale et peut affecter le signe de l'équation cartésienne du plan.
Aire du triangle par produit vectoriel — curseur sur \(C\)
Hauteur depuis \(C\)
Produit mixte ; orientation de l’espace ; volume d’un tétraèdre et d’un parallélépipède
Le produit vectoriel de deux vecteurs donne un vecteur orthogonal et une aire. En le combinant avec un produit scalaire, on obtient un nombre, le produit mixte, qui mesure un volume. C'est l'outil le plus direct pour calculer le volume d'un tétraèdre, tester si quatre points sont coplanaires, ou trouver la distance de deux droites de l'espace.
Orientation. Une base orthonormale \((\vec i,\vec j,\vec k)\) est directe si, la main droite ouverte avec le pouce selon \(\vec i\) et l'index selon \(\vec j\), le majeur replié indique \(\vec k\) (ou si un tire-bouchon tournant de \(\vec i\) vers \(\vec j\) avance selon \(\vec k\)). Échanger deux vecteurs change l'orientation.
Produit mixte. Dans l'espace orienté, le produit mixte de \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\) est le réel
\[[\vec u,\vec v,\vec w]=(\vec u\wedge\vec v)\cdot\vec w.\]Expression analytique dans une base orthonormale directe, avec \(\vec u(x\,;y\,;z)\), \(\vec v(x'\,;y'\,;z')\), \(\vec w(x''\,;y''\,;z'')\) : c'est le déterminant
\[[\vec u,\vec v,\vec w]=x\,(y'z''-z'y'')-x'\,(yz''-zy'')+x''\,(yz'-zy').\]- Il ne change pas par permutation circulaire : \([\vec u,\vec v,\vec w]=[\vec v,\vec w,\vec u]=[\vec w,\vec u,\vec v]\) ; il change de signe si l'on échange deux vecteurs.
- \([\vec u,\vec v,\vec w]=0\) si et seulement si \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\) sont coplanaires. Il est positif si \((\vec u,\vec v,\vec w)\) est une base directe, négatif si elle est indirecte.
- Volumes. Le volume du parallélépipède construit sur \(\vec u,\vec v,\vec w\) est \(\left|[\vec u,\vec v,\vec w]\right|\) ; celui du tétraèdre \(ABCD\) est \(\dfrac16\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]\right|\).
Distances. Distance de \(M\) à la droite passant par \(A\), de vecteur directeur \(\vec u\) : \(\dfrac{\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}\). Distance de deux droites non parallèles \((A,\vec u)\) et \((B,\vec v)\) : \(\dfrac{\left|\left[\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v\right]\right|}{\|\vec u\wedge\vec v\|}\) (volume divisé par l'aire de la base).
1) Calculer \(\vec u\wedge\vec v\), puis son produit scalaire avec \(\vec w\) (ou développer directement le déterminant).
2) Coplanarité de \(A,B,C,D\) : tester \(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]=0\).
3) Distance d'un point à un plan \((ABC)\) : \(h=\dfrac{3V}{S}\), où \(V\) est le volume du tétraèdre \(ABCD\) et \(S\) l'aire de \(ABC\), soit \(h=\dfrac{\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]\right|}{\left\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right\|}\).
4) Contrôler les ordres de grandeur sur une figure, et vérifier qu'un volume est positif (on prend la valeur absolue).
Énoncé. Dans une base orthonormale directe, calculer \([\vec u,\vec v,\vec w]\) pour \(\vec u(1\,;2\,;0)\), \(\vec v(0\,;1\,;3)\), \(\vec w(2\,;0\,;1)\). La base \((\vec u,\vec v,\vec w)\) est-elle directe ? Volume du parallélépipède construit sur ces vecteurs ?
Solution : \(\vec u\wedge\vec v=(2\times3-0\times1\,;0\times0-1\times3\,;1\times1-2\times0)=(6\,;-3\,;1)\). Puis \((\vec u\wedge\vec v)\cdot\vec w=12+0+1=13\).
Le produit mixte est non nul : les vecteurs ne sont pas coplanaires ; il est positif : la base est directe. Le volume du parallélépipède vaut 13 (unités de volume). Contrôle : \([\vec v,\vec u,\vec w]=-13\).
Énoncé. On donne \(O\) l'origine, \(A(1\,;0\,;0)\), \(B(0\,;2\,;0)\), \(C(0\,;0\,;3)\). Calculer le volume du tétraèdre \(OABC\), l'aire du triangle \(ABC\), puis la distance de \(O\) au plan \((ABC)\).
Solution : \(\left[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\right]=1\times2\times3=6\), donc \(V=\dfrac66=1\). Ensuite \(\overrightarrow{AB}(-1\,;2\,;0)\), \(\overrightarrow{AC}(-1\,;0\,;3)\), \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(6\,;3\,;2)\), de norme 7 : l'aire de \(ABC\) vaut \(\dfrac72\).
Distance : \(h=\dfrac{3V}{S}=\dfrac{3}{7/2}=\dfrac67\). Contrôle : le plan \((ABC)\) a pour vecteur normal \((6\,;3\,;2)\) et pour équation \(6x+3y+2z-6=0\) ; la distance de \(O\) vaut \(\dfrac{|-6|}{\sqrt{36+9+4}}=\dfrac67\).
Figure — Le tétraèdre OABC
Le tétraèdre de sommets O, A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0) et C(0 ; 0 ; 3) en perspective (axe des abscisses vers l'avant, arête cachée en pointillés). La face ABC, en or, a pour aire 7/2 ; le volume vaut 1, et la hauteur issue de O mesure 6/7.
Énoncé. \(D_1\) passe par \(O\) et a pour vecteur directeur \(\vec u(1\,;0\,;0)\) ; \(D_2\) passe par \(B(0\,;1\,;2)\) et a pour vecteur directeur \(\vec v(0\,;1\,;1)\). Ces droites sont-elles coplanaires ? Calculer leur distance.
Solution : \(\vec u\wedge\vec v=(0\times1-0\times1\,;0\times0-1\times1\,;1\times1-0\times0)=(0\,;-1\,;1)\), de norme \(\sqrt2\). Puis \(\left[\overrightarrow{OB},\vec u,\vec v\right]=\overrightarrow{OB}\cdot(\vec u\wedge\vec v)=0-1+2=1\neq0\) : les droites ne sont pas coplanaires.
Leur distance vaut \(\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2\). Par exemple, la distance du point \(M(1\,;1\,;1)\) à \(D_1\) vaut \(\dfrac{\|\overrightarrow{OM}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}=\|(0\,;1\,;-1)\|=\sqrt2\).
Oublier le facteur \(\dfrac16\) pour le tétraèdre : \(|[\ldots]|\) est le volume du parallélépipède, six fois plus grand.
Prendre un volume négatif. Le produit mixte peut être négatif (base indirecte) ; le volume est sa valeur absolue.
Changer l'ordre sans changer le signe. \([\vec v,\vec u,\vec w]=-[\vec u,\vec v,\vec w]\) ; seules les permutations circulaires conservent le produit mixte.
Droites et plans de l'espace : représentations, positions relatives, intersections
La droite passant par \(A(x_A;y_A;z_A)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(a;b;c)\) :
\[\begin{cases}x=x_A+at\\y=y_A+bt\\z=z_A+ct\end{cases} \quad t\in\mathbb{R}\]
\(t=0\) → point \(A\) · \(t=1\) → point \(A+\vec{u}\) · \(t\in\mathbb{R}\) → toute la droite.
- Substituer les coordonnées de \(M\) dans les 3 équations.
- Chercher une valeur de \(t\) vérifiant les 3 équations simultanément.
- Si une telle valeur existe : \(M\in(d)\). Sinon : non.
- Calculer \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\).
- Utiliser \(A\) comme point de référence.
- Écrire les équations paramétriques avec \(\overrightarrow{AB}\).
\(\overrightarrow{AB}=(2;-1;4)\). Représentation : \(\begin{cases}x=1+2t\\y=2-t\\z=3+4t\end{cases}\)
\(M(5;0;11)\) : \(t=2\) vérifie les 3 équations → \(M\in(AB)\).
Un vecteur \(\vec{n}\) est normal à un plan \(\mathcal{P}\) s'il est orthogonal à tout vecteur du plan.
Tout plan admet une équation : \(ax+by+cz+d=0\) avec \((a,b,c)\neq(0,0,0)\). Le vecteur \(\vec{n}(a;b;c)\) est le vecteur normal.
- L'équation est \(ax+by+cz+d=0\) — les coefficients sont ceux de \(\vec{n}\).
- Substituer les coordonnées du point connu pour trouver \(d\).
\(2x-y+4z+d=0\). Point \(A\) : \(2-2+12+d=0\) → \(d=-12\).
\[\boxed{2x-y+4z-12=0}\]
- Calculer \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\) et \(\vec{v}=\overrightarrow{AC}\).
- Trouver \(\vec{n}(a;b;c)\) avec \(\vec{n}\cdot\vec{u}=0\) et \(\vec{n}\cdot\vec{v}=0\).
- Fixer une coordonnée (ex. \(a=1\)) et résoudre le système.
- Appliquer la méthode A pour trouver \(d\).
\(\overrightarrow{AB}=(-1;1;0)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1;0;1)\). Système : \(-a+b=0\) et \(-a+c=0\) → \(a=b=c=1\).
Point \(A\) : \(1+d=0\) → \(d=-1\).
\[\boxed{x+y+z-1=0}\]
Figure 1 — Repère 3D, droite paramétrique et plan \((ABC)\)
Repère orthonormé 3D. Points A(2;1;3), B(4;2;1), C(1;−1;2). Droite paramétrique \((AB)\) en or — le curseur \(t\) déplace \(P(t)\) le long de la droite. Plan \((ABC)\) avec son vecteur normal \(\vec{n}(5;-4;3)\) en rouge. La construction illustre : \(\overrightarrow{AB}=(2;1;-2)\), équation du plan \(5x-4y+3z-15=0\).
| Relation | Condition vectorielle |
|---|---|
| Droites \((d_1)\parallel(d_2)\) | Vecteurs directeurs \(\vec{u_1}\) et \(\vec{u_2}\) colinéaires |
| Droites \((d_1)\perp(d_2)\) | \(\vec{u_1}\cdot\vec{u_2}=0\) |
| Droite \((d)\parallel\mathcal{P}\) | \(\vec{u}\cdot\vec{n}=0\) |
| Droite \((d)\perp\mathcal{P}\) | \(\vec{u}\) et \(\vec{n}\) colinéaires |
| Plans \(\mathcal{P}_1\parallel\mathcal{P}_2\) | \(\vec{n_1}\) et \(\vec{n_2}\) colinéaires |
| Plans \(\mathcal{P}_1\perp\mathcal{P}_2\) | \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0\) |
Règle d'or : Parallélisme → vecteurs colinéaires · Orthogonalité → produit scalaire nul.
La droite \((d)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(2;-1;4)\) est-elle perpendiculaire à \(\mathcal{P}: 2x-y+4z=5\) ?
Vecteur normal : \(\vec{n}(2;-1;4)=\vec{u}\) → colinéaires → oui, perpendiculaire.
Pour droite parallèle au plan : \(\vec{u}\cdot\vec{n}=0\) — la droite est "dans" la direction du plan, donc orthogonale au normal.
Pour droite perpendiculaire au plan : \(\vec{u}\) colinéaire à \(\vec{n}\) — la droite a la même direction que le vecteur normal.
- Écrire les équations paramétriques de la droite.
- Substituer dans l'équation cartésienne du plan.
- Résoudre en \(t\).
| Résultat en \(t\) | Interprétation |
|---|---|
| Solution unique \(t_0\) | Un point d'intersection — substituer \(t_0\) |
| Équation toujours vraie | Droite incluse dans le plan |
| Équation impossible | Droite parallèle au plan (sans intersection) |
Droite : \(\begin{cases}x=1+2t\\y=2-t\\z=3+4t\end{cases}\)
\[(1+2t)+(2-t)+(3+4t)-1=0\;\Rightarrow\;5+5t=0\;\Rightarrow\;t=-1\]
Point : \((-1\,;\,3\,;\,-1)\)
- Poser \(z=t\) (paramètre libre).
- Résoudre le système de 2 équations en \(x\) et \(y\).
- Exprimer \(x\), \(y\) en fonction de \(t\) → représentation paramétrique de la droite d'intersection.
Posons \(z=t\). Somme : \(2x=1-3t\) → \(x=\frac{1-3t}{2}\). Différence : \(2y=1+t\) → \(y=\frac{1+t}{2}\).
\[\begin{cases}x=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}t\\[4pt]y=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t\\[4pt]z=t\end{cases}\]
Distance d'un point à un plan, projeté orthogonal
Distance du point \(M(x_M;y_M;z_M)\) au plan \(\mathcal{P}: ax+by+cz+d=0\) :
\[d(M,\mathcal{P})=\frac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]
- Mettre le plan sous forme \(ax+by+cz+d=0\) (tout à gauche).
- Numérateur : substituer \(x_M,y_M,z_M\) et prendre la valeur absolue.
- Dénominateur : \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) — norme du vecteur normal.
- Diviser.
Ne pas oublier la valeur absolue au numérateur ni la racine carrée au dénominateur — ce sont les deux erreurs les plus fréquentes sur ce type de question.
Num. : \(|2-2+6-5|=1\) · Dén. : \(\sqrt{4+1+4}=3\)
\[d(M,\mathcal{P})=\frac{1}{3}\]
Le projeté orthogonal de \(M\) sur \(\mathcal{P}\) est le point \(H\in\mathcal{P}\) tel que \((MH)\perp\mathcal{P}\).
- Le vecteur directeur de \((MH)\) est le vecteur normal \(\vec{n}\) du plan.
- Écrire la droite passant par \(M\) de direction \(\vec{n}\).
- Calculer l'intersection de cette droite avec \(\mathcal{P}\) → c'est \(H\).
Droite \((MH)\) : direction \(\vec{n}(1;1;1)\) → \(\begin{cases}x=1+t\\y=2+t\\z=3+t\end{cases}\)
Intersection : \((1+t)+(2+t)+(3+t)-1=0\) → \(t=-5/3\)
\[H\!\left(-\tfrac{2}{3}\,;\,\tfrac{1}{3}\,;\,\tfrac{4}{3}\right)\]
- Paramétrer la droite : point générique \(P(t)\).
- Écrire \(\overrightarrow{MP}(t)\) et résoudre \(\overrightarrow{MP}\cdot\vec{u}=0\) → trouver \(t_0\).
- \(H=P(t_0)\) est le projeté de \(M\) sur la droite.
- \(d(M,(d))=MH\).
\(\overrightarrow{MP}=(2t-1\,;\,t\,;\,2t-2)\), \(\vec{u}(2;1;2)\).
\(2(2t-1)+t+2(2t-2)=0\;\Rightarrow\;9t=6\;\Rightarrow\;t=2/3\)
\(H(4/3\,;\,2/3\,;\,4/3)\), \(MH=\|(1/3\,;\,2/3\,;\,-2/3)\|=\sqrt{1/9+4/9+4/9}=1\)
Figure 2 — Distance point-plan et projeté orthogonal \(H\)
Plan \(\mathcal{P}: 2x-y+z-4=0\) en bleu. Point \(M\) (or) déplacé par les curseurs. Projeté orthogonal \(H\) (vert) = pied de la perpendiculaire de \(M\) sur le plan. Segment \(MH\) (rouge) est perpendiculaire au plan. La distance \(d(M,\mathcal{P})=\frac{|2x_M-y_M+z_M-4|}{\sqrt{6}}\) est calculée en temps réel.
Résumé
\([\vec u,\vec v,\vec w]=(\vec u\wedge\vec v)\cdot\vec w\) : un déterminant, nul si et seulement si les vecteurs sont coplanaires.
Parallélépipède : \(|[\vec u,\vec v,\vec w]|\) ; tétraèdre \(ABCD\) : \(\dfrac16\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]\right|\).
Point–droite : \(\dfrac{\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}\) ; deux droites : \(\dfrac{|[\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v]|}{\|\vec u\wedge\vec v\|}\).