Terminale S1-S3 · Leçon 3
Nombres complexes : équations et trigonométrie
Ce que dit le programme officiel (6 points)
- Formules d’Euler : cos θ = (eiθ + e−iθ)/2, sin θ = (eiθ − e−iθ)/(2i) ; formule de Moivre ; formule du binôme de Newton
- Application à la trigonométrie : linéarisation de polynômes trigonométriques (degré au plus 5) ; conversion de produits d’expressions trigonométriques en sommes et inversement
- Racines carrées, racines n-ièmes d’un nombre complexe ; interprétation géométrique des racines n-ièmes
- Résolution des équations du second degré dans ℂ et d’équations s’y ramenant ; équation du troisième degré connaissant une racine
- Suite géométrique (zⁿ) ; transformation de 1 + z + z² + … + zⁿ ; application à la trigonométrie (en travaux dirigés)
- Transformation de p cos x + q sin x par p + iq = r eiφ ; résoudre p cos x + q sin x = r
Source : Programme de mathématiques, Terminales S1 et S3 (Sénégal), octobre 2006
Formule de Moivre et linéarisation
1. \((1+i)^6=(\sqrt{2})^6 e^{i6\pi/4}=8e^{i3\pi/2}=-8i\)
2. \((\sqrt{3}+i)^{10}=2^{10}e^{i10\pi/6}=512-512\sqrt{3}\,i\)
\(\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\) \(\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta\)
Équations du second degré dans ℂ, racines carrées d'un complexe
| Cas | Racines |
|---|---|
| \(\Delta>0\) | Deux réelles \(\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\) |
| \(\Delta=0\) | Racine double \(-\dfrac{b}{2a}\) |
| \(\Delta<0\) | Deux complexes conjuguées \(\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\) |
\(\Delta=-16\) → \(z_1=1+2i\), \(z_2=1-2i\)
Propriété : \(1+j+j^2=0\).
- \(\text{Im}(3+5i)=5\) et non \(5i\)
- Oublier de remplacer \(i^2=-1\) dans un produit
- Déterminer l’argument avec cos seul
- Écrire \(\sqrt{-\Delta}\) au lieu de \(i\sqrt{-\Delta}\)
- Oublier que les racines n-ièmes sont espacées de \(2\pi/n\)
Polynômes à coefficients complexes, factorisation
Un polynôme à coefficients complexes est une expression de la forme \(P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0\), où les \(a_k \in \mathbb{C}\) et \(a_n \neq 0\). L'entier \(n \geq 0\) est le degré de \(P\), noté \(\deg P\).
Un complexe \(z_0\) est une racine de \(P\) si \(P(z_0) = 0\). Par le théorème de la division euclidienne des polynômes — qui reste valable sur \(\mathbb{C}\) — \(z_0\) est racine de \(P\) si et seulement si \((z - z_0)\) divise \(P(z)\), c'est-à-dire \(P(z) = (z - z_0)\,Q(z)\) pour un certain polynôme \(Q\) de degré \(n-1\).
Tout polynôme de degré \(n \geq 1\) à coefficients complexes admet exactement \(n\) racines dans \(\mathbb{C}\), comptées avec leur multiplicité. En particulier, il se factorise complètement :
\[ P(z) = a_n(z - z_1)(z - z_2)\cdots(z - z_n), \quad z_1, \ldots, z_n \in \mathbb{C}. \]Ce résultat est fondamental : il signifie que \(\mathbb{C}\) est algébriquement clos, contrairement à \(\mathbb{R}\) où des polynômes comme \(z^2 + 1\) n'ont aucune racine réelle.
Si \(P\) est un polynôme à coefficients réels et si \(z_0 \in \mathbb{C}\) est une racine de \(P\), alors \(\bar{z}_0\) est aussi une racine de \(P\), avec la même multiplicité.
\[ P(z_0) = 0 \implies P(\bar{z}_0) = 0 \quad \text{(si tous les } a_k \in \mathbb{R}\text{).} \]Conséquence immédiate : un polynôme de degré impair à coefficients réels a toujours au moins une racine réelle. Les racines non réelles viennent donc toujours par paires conjuguées.
On dit que \(z_0\) est racine de multiplicité \(p\) de \(P\) si \((z-z_0)^p\) divise \(P\) mais pas \((z-z_0)^{p+1}\). Pour \(p = 1\) on parle de racine simple, pour \(p = 2\) de racine double. La somme des multiplicités vaut toujours \(n = \deg P\).
Exemple 1. Factorisons \(P(z) = z^3 - 1\). On voit que \(z_0 = 1\) est une racine évidente. La division euclidienne donne \(P(z) = (z-1)(z^2+z+1)\). Le trinôme \(z^2+z+1\) a pour discriminant \(\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\) dans \(\mathbb{R}\), donc ses racines complexes sont \(j = e^{2i\pi/3}\) et \(\bar{j} = e^{-2i\pi/3}\). On obtient ainsi la factorisation complète dans \(\mathbb{C}\) :
\[ z^3 - 1 = (z-1)(z - e^{2i\pi/3})(z - e^{-2i\pi/3}). \]Exemple 2. Soit \(P(z) = z^4 - 4z^2 + 4 = (z^2 - 2)^2\). Les racines de \(z^2 - 2 = 0\) sont \(\sqrt{2}\) et \(-\sqrt{2}\), chacune de multiplicité 2. Ici les racines sont réelles : \(\mathbb{C}\) n'apporte pas de nouvelle racine pour ce polynôme, mais garantit qu'il n'en existe pas d'autres.
Exemple 3 — racines conjuguées. Le polynôme réel \(P(z) = z^3 - 3z + 2\). On vérifie que \(z = 1\) est racine double et \(z = -2\) est racine simple : \(P(z) = (z-1)^2(z+2)\). Toutes les racines sont réelles, ce qui est cohérent.
La stratégie standard en Terminale se déroule en deux temps. D'abord, on cherche une racine évidente parmi les diviseurs du terme constant (pour un polynôme à coefficients entiers). Ensuite, on effectue la division euclidienne pour abaisser le degré, et on résout le polynôme restant.
Pour un polynôme de degré 4 à coefficients réels, si on connaît une racine complexe \(z_0 = a + ib\) (avec \(b \neq 0\)), on sait que \(\bar{z}_0 = a - ib\) est aussi racine, donc \((z - z_0)(z - \bar{z}_0) = z^2 - 2az + (a^2 + b^2)\) — un facteur réel du second degré — divise le polynôme.
Le théorème d'Alembert-Gauss garantit l'existence des racines dans \(\mathbb{C}\), mais ne les donne pas explicitement. Il ne faut pas confondre « \(P\) a \(n\) racines » (existence) avec « je sais les calculer » (calcul effectif). Pour un polynôme de degré \(\geq 5\) quelconque, il n'existe pas de formule générale : seule l'analyse du problème particulier permet d'avancer.
Pour résoudre une équation du second degré à coefficients complexes, le calcul des racines carrées d'un complexe quelconque devient indispensable. Pour les degrés supérieurs, la stratégie consiste à réduire progressivement l'équation par factorisation.
On cherche \(z = x + iy\) (\(x, y \in \mathbb{R}\)) tel que \(z^2 = a + ib\). Développer donne le système :
\[ \begin{cases} x^{2} - y^{2} = a \\ 2xy = b \end{cases} \quad \text{complété par} \quad x^{2} + y^{2} = |z^{2}| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}. \]En additionnant et soustrayant les équations extrêmes, on obtient :
\[ x^{2} = \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a}{2}, \qquad y^{2} = \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a}{2}. \]Le signe de \(y\) est ensuite imposé par la relation \(2xy = b\) : \(x\) et \(y\) sont de même signe si \(b > 0\), de signes contraires si \(b < 0\). Les deux racines carrées sont toujours opposées : si \(z_0\) est l'une, l'autre est \(-z_0\).
\(|3 + 4i| = \sqrt{9 + 16} = 5\).
\(x^2 = \dfrac{5+3}{2} = 4\) donc \(x = \pm 2\).
\(y^2 = \dfrac{5-3}{2} = 1\) donc \(y = \pm 1\).
Puisque \(2xy = 4 > 0\), \(x\) et \(y\) ont le même signe :
\((x,y) = (2,1)\) ou \((-2,-1)\).
Les deux racines carrées de \(3 + 4i\) sont \(\boldsymbol{\pm(2 + i)}\).
Vérification : \((2+i)^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i\).
\(|-5+12i| = \sqrt{25+144} = 13\).
\(x^2 = \dfrac{13-5}{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2\).
\(y^2 = \dfrac{13+5}{2} = 9 \Rightarrow y = \pm 3\).
\(2xy = 12 > 0\) : même signe. Racines : \(\boldsymbol{\pm(2+3i)}\).
Vérification : \((2+3i)^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i\).
Pour un polynôme \(P(z)\) à coefficients entiers, on commence par tester les petits entiers et les diviseurs du terme constant comme racines candidates. Si \(P(z_0) = 0\), on effectue la division euclidienne \(P(z) = (z - z_0)Q(z)\) — ou par identification des coefficients — et l'on résout ensuite le trinôme \(Q(z) = 0\).
Résoudre \(P(z) = z^{3} - 3z^{2} + 7z - 5 = 0\).
Test des entiers : \(P(1) = 1 - 3 + 7 - 5 = 0\), donc \(z = 1\) est racine.
Division : \(z^{3} - 3z^{2} + 7z - 5 = (z-1)(z^{2}-2z+5)\) (vérifiable en développant).
Le trinôme \(z^2 - 2z + 5\) a \(\Delta = 4 - 20 = -16 < 0\) ; ses racines sont \(1 \pm 2i\) (exemple de V.1).
Ensemble solution : \(\mathcal{S} = \{1,\ 1+2i,\ 1-2i\}\).
Résoudre \(z^4 - 3z^2 - 4 = 0\) dans \(\mathbb{C}\).
Substitution \(u = z^2\) : \(u^2 - 3u - 4 = 0\), \(\Delta = 9 + 16 = 25\).
\(u_1 = 4\) et \(u_2 = -1\).
\(z^2 = 4 \Rightarrow z = \pm 2\) (réels).
\(z^2 = -1 \Rightarrow z = \pm i\) (imaginaires purs).
Ensemble solution : \(\mathcal{S} = \{2, -2, i, -i\}\).
Après avoir factorisé \(P(z) = (z - z_0)Q(z)\), il est souvent plus rapide de retrouver \(Q\) par identification des coefficients que par l'algorithme de division. Pour \(z^3 - 3z^2 + 7z - 5\), on pose \((z-1)(z^2 + \alpha z + \beta)\) et on identifie : terme en \(z^2\) donne \(\alpha - 1 = -3\), donc \(\alpha = -2\) ; terme constant donne \(-\beta = -5\), donc \(\beta = 5\). Résultat immédiat.
Racines carrées d'un complexe \(w = a + ib\) dans le plan de Gauss
\(\pm z_0\) (racines)
Complexes et trigonométrie : linéarisation, produits et sommes, somme 1 + z + … + zⁿ, p cos x + q sin x ; équation du troisième degré
Les formules d'Euler et de Moivre transforment les calculs trigonométriques en calculs algébriques sur des exponentielles complexes. On en tire quatre savoir-faire : linéariser une puissance de cosinus ou de sinus, passer d'un produit à une somme et inversement, calculer des sommes de cosinus, et écrire \(p\cos x+q\sin x\) sous la forme \(r\cos(x-\varphi)\). On y ajoute la résolution d'une équation du troisième degré dont on connaît une racine.
Linéariser \(\cos^nx\) ou \(\sin^nx\), c'est l'écrire comme combinaison de \(\cos kx\) et \(\sin kx\). On part des formules d'Euler \(\cos x=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\), \(\sin x=\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\), on développe avec la formule du binôme, puis on regroupe les termes conjugués. Par exemple :
\[\cos^3x=\frac{\cos3x+3\cos x}{4},\qquad \sin^3x=\frac{3\sin x-\sin3x}{4}.\]Produits en sommes. \(\cos a\cos b=\dfrac12\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right]\), \(\sin a\sin b=\dfrac12\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right]\), \(\sin a\cos b=\dfrac12\left[\sin(a+b)+\sin(a-b)\right]\).
Sommes en produits. \(\cos p+\cos q=2\cos\dfrac{p+q}{2}\cos\dfrac{p-q}{2}\), \(\cos p-\cos q=-2\sin\dfrac{p+q}{2}\sin\dfrac{p-q}{2}\), \(\sin p+\sin q=2\sin\dfrac{p+q}{2}\cos\dfrac{p-q}{2}\).
Pour \(z\neq 1\) : \(1+z+z^2+\dots+z^n=\dfrac{1-z^{n+1}}{1-z}\). Avec \(z=e^{ix}\), \(x\neq 2k\pi\), on factorise par l'angle moitié : \(1-e^{i\theta}=-2i\sin\dfrac\theta2\,e^{i\theta/2}\), d'où
\[\sum_{k=0}^{n}e^{ikx}=e^{inx/2}\,\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac x2}.\]En prenant les parties réelle et imaginaire :
\[\sum_{k=0}^{n}\cos kx=\frac{\cos\frac{nx}{2}\,\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac x2},\qquad \sum_{k=0}^{n}\sin kx=\frac{\sin\frac{nx}{2}\,\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac x2}.\]Soient \(p\) et \(q\) deux réels non tous deux nuls. On écrit \(p+iq=re^{i\varphi}\) avec \(r=\sqrt{p^2+q^2}\), c'est-à-dire \(\cos\varphi=\dfrac pr\) et \(\sin\varphi=\dfrac qr\). Alors
\[p\cos x+q\sin x=r\cos(x-\varphi),\]car c'est la partie réelle de \((p-iq)e^{ix}=re^{-i\varphi}e^{ix}\). L'équation \(p\cos x+q\sin x=c\) devient \(\cos(x-\varphi)=\dfrac cr\) : elle a des solutions si et seulement si \(|c|\le r\).
Si \(z_0\) est racine du polynôme \(P\) de degré 3, alors \(P(z)=(z-z_0)Q(z)\) avec \(Q\) de degré 2. On obtient \(Q\) par identification des coefficients ou par division (méthode de Horner), puis on résout \(Q(z)=0\) dans \(\mathbb C\) à l'aide du discriminant.
Si \(P\) est à coefficients réels et admet une racine non réelle \(z_0\), son conjugué \(\overline{z_0}\) est aussi racine. Une racine « évidente » se cherche parmi \(1,-1,2,-2,i,-i\) ; l'énoncé la donne souvent.
Pour linéariser, on développe toujours avec la formule du binôme les exponentielles, puis on regroupe \(e^{ikx}\) avec \(e^{-ikx}\) ; pour une somme de cosinus, on passe par la somme géométrique des \(e^{ikx}\).
Énoncé. a) Linéariser \(\cos^3x\). b) Résoudre dans \(\mathbb R\) l'équation \(\cos x+\cos3x=0\).
Solution : a) \(\cos^3x=\dfrac{\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^3}{8}=\dfrac{e^{3ix}+3e^{ix}+3e^{-ix}+e^{-3ix}}{8}=\dfrac{2\cos3x+6\cos x}{8}=\dfrac{\cos3x+3\cos x}{4}\).
b) \(\cos x+\cos3x=2\cos2x\cos x\). L'équation équivaut à \(\cos2x=0\) ou \(\cos x=0\), soit \(x=\dfrac\pi4+k\dfrac\pi2\) ou \(x=\dfrac\pi2+k\pi\), \(k\in\mathbb Z\).
Énoncé. Pour \(x\) non multiple de \(2\pi\), calculer \(C_n=1+\cos x+\cos2x+\dots+\cos nx\). Que vaut \(C_3\) pour \(x=\dfrac\pi2\) ?
Solution : \(C_n\) est la partie réelle de \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left(e^{ix}\right)^k=\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}\), avec \(e^{ix}\neq1\). En factorisant par les angles moitiés, ce quotient vaut \(e^{inx/2}\dfrac{\sin\frac{(n+1)x}2}{\sin\frac x2}\). D'où \(C_n=\dfrac{\cos\frac{nx}2\sin\frac{(n+1)x}2}{\sin\frac x2}\).
Pour \(n=3\) et \(x=\dfrac\pi2\) : \(C_3=\dfrac{\cos\frac{3\pi}4\sin\pi}{\sin\frac\pi4}=0\). Contrôle direct : \(1+\cos\frac\pi2+\cos\pi+\cos\frac{3\pi}2=1+0-1+0=0\).
Énoncé. Résoudre dans \(]-\pi\,;\pi]\) l'équation \(\sqrt3\cos x+\sin x=\sqrt2\).
Solution : \(\sqrt3+i=2e^{i\pi/6}\) (module 2, argument \(\frac\pi6\)), donc \(\sqrt3\cos x+\sin x=2\cos\left(x-\dfrac\pi6\right)\). L'équation devient \(\cos\left(x-\dfrac\pi6\right)=\dfrac{\sqrt2}2=\cos\dfrac\pi4\), soit \(x-\dfrac\pi6=\pm\dfrac\pi4+2k\pi\).
Les solutions sont \(x=\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi\) et \(x=-\dfrac{\pi}{12}+2k\pi\). Dans \(]-\pi\,;\pi]\) : \(\dfrac{5\pi}{12}\) et \(-\dfrac\pi{12}\).
Figure — Les solutions de √3 cos x + sin x = √2
La courbe de x ↦ √3 cos x + sin x, en bleu, est celle de x ↦ 2cos(x − π/6) : une sinusoïde d'amplitude 2, décalée de π/6. La droite y = √2, en or, la coupe aux points d'abscisses −π/12 et 5π/12 sur l'intervalle de −π à π.
Énoncé. Résoudre dans \(\mathbb C\) l'équation \(z^3-3z^2+4z-2=0\), sachant que 1 est solution.
Solution : On cherche \(z^3-3z^2+4z-2=(z-1)(z^2+az+b)\). En développant : \(z^3+(a-1)z^2+(b-a)z-b\), d'où \(a-1=-3\), \(b-a=4\), \(-b=-2\) : \(a=-2\), \(b=2\) (les trois égalités sont cohérentes).
L'équation \(z^2-2z+2=0\) a pour discriminant \(-4=(2i)^2\), donc pour solutions \(1+i\) et \(1-i\), conjuguées l'une de l'autre. Les solutions sont \(1\), \(1+i\), \(1-i\).
Oublier le coefficient du binôme. \(\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^3\) contient \(3e^{ix}\) et \(3e^{-ix}\) : sans ces facteurs 3, on trouverait un résultat faux pour \(\cos^3x\).
Se tromper d'angle. Dans \(p\cos x+q\sin x=r\cos(x-\varphi)\), l'angle \(\varphi\) est un argument de \(p+iq\), et non de \(q+ip\) : pour \(\sqrt3\cos x+\sin x\), \(\varphi=\frac\pi6\), pas \(\frac\pi3\).
Diviser par zéro. La formule de la somme suppose \(z\neq1\), c'est-à-dire \(x\) non multiple de \(2\pi\) ; si \(x=2k\pi\), chaque cosinus vaut 1 et \(C_n=n+1\).
Transformation de a·cos x + b·sin x (angle auxiliaire)
Rappel de PremièreRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresFigure — \(\sqrt3\cos x+\sin x = 2\cos(x-\pi/6)\)
Les deux courbes sont confondues : l'écriture avec l'angle auxiliaire est bien équivalente à l'originale.
Résumé
Formules d'Euler, binôme, regroupement des conjugués : \(\cos^3x=\dfrac{\cos3x+3\cos x}4\).
Partie réelle de \(\dfrac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}\), factorisée par les angles moitiés.
\(p+iq=re^{i\varphi}\) donne \(p\cos x+q\sin x=r\cos(x-\varphi)\).
Une racine \(z_0\) connue : \(P(z)=(z-z_0)Q(z)\), puis discriminant de \(Q\).
\(z=a+bi\), \(i^2=-1\)
Cycle période 4 : \(i^{4k}=1\)
\(\bar{z}=a-bi\)
\(z\cdot\bar{z}=|z|^2\)
\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)
\(|zz'|=|z||z'|\)
\(\cos\theta=a/|z|\), \(\sin\theta=b/|z|\)
Défini modulo \(2\pi\)
Distance : \(|z_B-z_A|\)
Milieu : \(\frac{z_A+z_B}{2}\)
\(\Delta<0\) : racines conjuguées
Racines n-ièmes : espacées de \(2\pi/n\)
Tout polynôme de degré \(n\) à coefficients complexes a exactement \(n\) racines dans \(\mathbb{C}\) (comptées avec multiplicité). Si les coefficients sont réels, les racines complexes viennent par paires conjuguées.
On extrait la racine carrée de \(\Delta = b^2 - 4ac \in \mathbb{C}\) en posant \(w = x + iy\) et en identifiant. Les formules \(z_{1,2} = \dfrac{-b \pm w}{2a}\) et les relations de Viète restent valables.
Les \(n\) solutions de \(z^n = 1\) sont \(\omega_k = e^{2ik\pi/n}\) (\(k = 0,\ldots,n-1\)) ; leur somme vaut \(0\) pour \(n \geq 2\). Elles forment un polygone régulier inscrit dans le cercle unité.
Les solutions de \(z^n = a\) sont \(z_k = r^{1/n} e^{i(\varphi + 2k\pi)/n}\). Même module \(r^{1/n}\) pour toutes, même espacement angulaire \(\dfrac{2\pi}{n}\), premier argument \(\dfrac{\varphi}{n}\).
Sujet type Bac
Soit le polynôme \(P(z) = z^4 + z^2 + 1\).
Question 1. Montrer que les racines cubiques de l'unité autres que \(1\) sont racines de \(P\).
On sait que \(j = e^{2i\pi/3}\) vérifie \(j^3 = 1\) et \(1 + j + j^2 = 0\). Calculons \(P(j)\) :
\[ P(j) = j^4 + j^2 + 1 = j^3 \cdot j + j^2 + 1 = j + j^2 + 1 = 0. \]Donc \(j\) est racine de \(P\). Par la propriété des racines conjuguées (ou par le même calcul avec \(j^2\)), \(\bar{j} = j^2\) est également racine. C'est cohérent car \(P\) est à coefficients réels.
Question 2. Factoriser \(P(z)\) dans \(\mathbb{C}[z]\) puis dans \(\mathbb{R}[z]\).
On connaît les racines \(j\) et \(\bar{j} = j^2\). Comme \(P\) est de degré 4, il a 4 racines. Notons que \(P(z) = z^4 + z^2 + 1\) peut s'écrire en posant \(u = z^2\) : \(P(z) = u^2 + u + 1\). C'est un trinôme en \(u\) de discriminant \(\Delta = 1 - 4 = -3\), de racines \(u = j\) et \(u = j^2\) (les racines cubiques de l'unité sauf 1 !).
Donc \(P(z) = (z^2 - j)(z^2 - j^2)\) dans \(\mathbb{C}[z]\). Chaque facteur donne deux racines carrées :
\[ z^2 = j = e^{2i\pi/3} \Rightarrow z = \pm e^{i\pi/3} \qquad z^2 = j^2 = e^{-2i\pi/3} \Rightarrow z = \pm e^{-i\pi/3}. \]Factorisation dans \(\mathbb{C}\) :
\[ P(z) = (z - e^{i\pi/3})(z + e^{i\pi/3})(z - e^{-i\pi/3})(z + e^{-i\pi/3}). \]Pour factoriser dans \(\mathbb{R}\), on regroupe les facteurs conjugués. \((z - e^{i\pi/3})(z - e^{-i\pi/3}) = z^2 - 2\cos(\pi/3)z + 1 = z^2 - z + 1\). De même \((z + e^{i\pi/3})(z + e^{-i\pi/3}) = z^2 + z + 1\). Donc :
\[ \boxed{P(z) = (z^2 - z + 1)(z^2 + z + 1).} \]On peut vérifier : \((z^2-z+1)(z^2+z+1) = ((z^2+1)-z)((z^2+1)+z) = (z^2+1)^2 - z^2 = z^4+2z^2+1-z^2 = z^4+z^2+1\).
Question 3. En déduire les solutions dans \(\mathbb{C}\) de l'équation \(z^4 + z^2 + 1 = 0\), et les exprimer sous forme exponentielle et sous forme algébrique.
D'après la question 2, les quatre racines de \(P\) sont
\[ e^{i\pi/3} = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i, \quad e^{-i\pi/3} = \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i, \quad -e^{i\pi/3} = e^{i4\pi/3} = -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i, \quad -e^{-i\pi/3} = e^{-i4\pi/3} = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i. \]Ce sont exactement les racines 6-ièmes de l'unité d'indices impairs, i.e. \(e^{ik\pi/3}\) pour \(k \in \{1, 2, 4, 5\}\). Les racines 6-ièmes « manquantes » (\(k = 0\) et \(k = 3\), soit \(1\) et \(-1\)) sont précisément celles qui satisferaient \(z^2 - 1 = 0\), non pas \(P(z) = 0\).
Question 4. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \((z-1)^4 + (z-1)^2 + 1 = 0\).
On pose \(u = z - 1\) : l'équation devient \(u^4 + u^2 + 1 = 0\), c'est-à-dire \(P(u) = 0\). Les solutions en \(u\) sont les quatre racines de \(P\) trouvées à la question 3. En revenant à \(z = u + 1\) :
\[ z \in \left\{1 + e^{i\pi/3},\; 1 + e^{-i\pi/3},\; 1 - e^{i\pi/3},\; 1 - e^{-i\pi/3}\right\} \] \[ = \left\{\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\; \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\; \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\; \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right\}. \]La translation de vecteur \(1\) « décale » le polygone des racines sans en changer la structure : on retrouve un carré, non plus centré en \(O\) mais en \(1\).
Question 5. Interprétation géométrique : décrire le lieu des images des quatre racines de \(P\) dans le plan complexe. Calculer la somme et le produit de ces racines.
Les quatre racines de \(P\) ont toutes pour module \(1\) (elles sont sur le cercle unité) et leurs arguments sont \(\pi/3, 2\pi/3, 4\pi/3, 5\pi/3\). Elles forment les sommets d'un quadrilatère inscrit dans le cercle unité dont les diagonales sont deux diamètres du cercle. La distance entre \(e^{i\pi/3}\) et \(e^{i2\pi/3}\)... en réalité les 4 points sont les sommets d'un rectangle dont les côtés valent \(2\sin(\pi/6) = 1\) et \(\sqrt{3}\), donc ce n'est pas un carré.
Par les relations de Viète pour \(P(z) = z^4 + 0 \cdot z^3 + z^2 + 0 \cdot z + 1\) :
\[ \text{somme des racines} = 0 \qquad \text{produit des racines} = 1. \]La somme nulle se lit aussi géométriquement : les quatre images sont symétriques deux à deux par rapport à l'axe réel, leurs parties réelles se compensent deux à deux, et leurs parties imaginaires également.
On considère le polynôme \(P(z) = z^4 - 4z^3 + 14z^2 - 20z + 25\).
Partie A — Recherche des racines
1. Vérifier que \(z_1 = 1 + 2i\) est racine de \(P\) et en déduire une autre racine sans calcul.
Calculons \(P(1+2i)\). On pose \(z_1 = 1+2i\).
\(z_1^2 = (1+2i)^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i\).
\(z_1^3 = z_1^2 \cdot z_1 = (-3+4i)(1+2i) = -3 - 6i + 4i + 8i^2 = -3 - 2i - 8 = -11 - 2i\).
\(z_1^4 = z_1^2 \cdot z_1^2 = (-3+4i)^2 = 9 - 24i - 16 = -7 - 24i\).
\(P(z_1) = (-7-24i) - 4(-11-2i) + 14(-3+4i) - 20(1+2i) + 25\)
\(\phantom{P(z_1)} = -7-24i + 44+8i - 42+56i - 20-40i + 25\)
Parties réelles : \(-7+44-42-20+25 = 0\). Parties imaginaires : \(-24+8+56-40 = 0\).
Donc \(P(z_1) = 0\). Comme \(P\) a ses coefficients dans \(\mathbb{R}\),
\(z_2 = \overline{z_1} = 1 - 2i\) est aussi racine.
2. Factoriser \(P(z)\) par le trinôme réel ayant \(z_1\) et \(z_2\) comme racines, puis factoriser complètement \(P\) dans \(\mathbb{C}\).
Le trinôme associé à \(z_1 = 1+2i\) et \(z_2 = 1-2i\) est :
\(T(z) = z^2 - (z_1+z_2)z + z_1 z_2 = z^2 - 2z + (1+4) = z^2 - 2z + 5\).
On effectue la division euclidienne de \(P\) par \(T\) par identification :
\(P(z) = (z^2 - 2z + 5)(z^2 + az + b)\).
Terme en \(z^3\) : \(a - 2 = -4\), donc \(a = -2\).
Terme constant : \(5b = 25\), donc \(b = 5\).
Vérification du terme en \(z^2\) : \(b - 2a + 5 = 5 + 4 + 5 = 14\). Cohérent.
Donc \(P(z) = (z^2-2z+5)^2\).
Le trinôme \(z^2-2z+5\) a pour racines \(1\pm 2i\), donc :
\(P(z) = (z-1-2i)^2(z-1+2i)^2\).
\(z_1 = 1+2i\) et \(z_2 = 1-2i\) sont chacune racine double de \(P\).
3. Dresser l'ensemble des solutions de \(P(z) = 0\) et préciser les multiplicités.
\(\mathcal{S} = \{1+2i\ (\text{mult. 2}),\ 1-2i\ (\text{mult. 2})\}\). Le polynôme \(P\) de degré 4 possède donc exactement 2 racines distinctes, chacune d'ordre 2 — ce qui est cohérent avec la structure \((z^2-2z+5)^2\).
Partie B — Configurations géométriques
Dans le plan complexe, on considère les points \(A(0)\), \(B(4)\), \(C(z)\) où \(z\) est un complexe variable.
4. Déterminer l'ensemble des points \(C\) tels que le triangle \(ABC\) soit rectangle en \(A\) avec \(AC = AB\).
Le quotient à étudier est \(q = \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \dfrac{z - 0}{4 - 0} = \dfrac{z}{4}\).
Rectangle en \(A\) : \(\arg(q) = \pm\dfrac{\pi}{2}\), donc \(q\) est imaginaire pur.
Isocèle en \(A\) avec \(AC = AB\) : \(|q| = 1\).
Ces deux conditions donnent \(q = i\) ou \(q = -i\).
\(q = i \Rightarrow z = 4i\) ; \(\quad q = -i \Rightarrow z = -4i\).
Les deux points sont \(C_1(4i)\) et \(C_2(-4i)\). Géométriquement,
ce sont les deux points à distance 4 de \(A\) situés sur la droite
perpendiculaire à \([AB]\) passant par \(A\).
5. Déterminer l'ensemble \(\mathcal{E}\) des complexes \(z\) tels que \(\arg\!\left(\dfrac{z - 4}{z}\right) = \dfrac{\pi}{3}\). Décrire géométriquement \(\mathcal{E}\) et préciser si \(z = 1+2i\) en est un élément.
Le quotient \(\dfrac{z_B - z_C}{z_A - z_C} = \dfrac{4 - z}{0 - z} = \dfrac{z-4}{z}\)
représente l'angle orienté \((\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA})\)
vu du point \(C(z)\).
\(\arg\!\left(\dfrac{z-4}{z}\right) = \dfrac{\pi}{3}\) signifie que l'angle
\((\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA})\) vaut \(\dfrac{\pi}{3}\) modulo \(2\pi\).
Par le théorème de l'arc capable, \(\mathcal{E}\) est un arc de cercle
passant par \(A(0)\) et \(B(4)\) sur lequel l'angle inscrit vaut
\(\dfrac{\pi}{3}\) (arc sur lequel on voit \([AB]\) sous un angle de \(\dfrac{\pi}{3}\)).
Vérifions si \(z = 1+2i \in \mathcal{E}\) :
\(\dfrac{z-4}{z} = \dfrac{-3+2i}{1+2i} = \dfrac{(-3+2i)(1-2i)}{5} = \dfrac{-3+6i+2i+4}{5} = \dfrac{1+8i}{5}\).
\(\arg\!\left(\dfrac{1+8i}{5}\right) = \arg(1+8i) = \arctan(8) \approx 1{,}45\ \text{rad} \neq \dfrac{\pi}{3} \approx 1{,}047\ \text{rad}\).
Donc \(z = 1+2i \notin \mathcal{E}\).