Terminale S1-S3 · Leçon 4
Nombres complexes et transformations du plan
Ce que dit le programme officiel (2 points)
- Applications de ℂ dans ℂ : z ↦ z + z0 ; z ↦ az ; z ↦ eiθ z ; z ↦ az + z0 (z0 et a complexes, θ réel)
- Utiliser ces applications dans la résolution de problèmes de géométrie (translations, homothéties, rotations, similitudes)
Source : Programme de mathématiques, Terminales S1 et S3 (Sénégal), octobre 2006
Écriture complexe des transformations du plan
Translation \(\vec{w}\)
\(z'=z+w\)
Rotation centre O, angle α
\(z'=e^{i\alpha}z\)
Rotation centre Ω, angle α
\(z'-\omega=e^{i\alpha}(z-\omega)\)
Homothétie centre O, rapport k
\(z'=kz\)
Similitude directe
\(z'=az+b\)
Symétrie axe réel
\(z'=\bar{z}\)
Formule clé — Rotation centre quelconque
\[z'-\omega = e^{i\alpha}(z-\omega) \;\Longleftrightarrow\; z'=e^{i\alpha}(z-\omega)+\omega\]
Exemples
1. Rotation O, \(\pi/2\), image de \(M(2+i)\) : \(z'=i(2+i)=-1+2i\)
2. Rotation \(\Omega(1+i)\), \(\pi/2\), image de \(M(3)\) : \(z'=i(2-i)+(1+i)=2+3i\)
3. \(z'=(1+i)z+2\) : rapport \(k=\sqrt{2}\), angle \(\pi/4\), centre \(\Omega(2i)\).
Erreur fréquente
Ne pas oublier de soustraire \(\omega\) avant de multiplier par \(e^{i\alpha}\).
Figure interactive — Transformations complexes du plan
Point M (déplaçable)
Image M′
Centre Ω
Trajectoire de M′
z_M = 2+1i
z_M′ = -1+2i
Formule : z′ = e^{iπ/2}·z
α = 90°
k = 1.0
Complexes et géométrie : configurations, alignement, orthogonalité
Quotient \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\) et géométrie
| Condition géométrique | Condition complexe |
|---|---|
| A, B, C alignés | \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}\) |
| \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\) | quotient imaginaire pur |
| ABC isocèle rect. en A | quotient \(=\pm i\) |
| ABC équilatéral | module 1, arg \(=\pm\pi/3\) |
| ABCD parallélogramme | \(z_A+z_C=z_B+z_D\) |
| Angle \(\widehat{BAC}\) | \(\arg\!\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)\) |
Exemple 1 — Alignement
\[\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{2+4i}{1+2i}=2\in\mathbb{R}\;\Rightarrow\;\text{alignés}\]
Exemple 2 — Triangle équilatéral
\[\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=e^{i\pi/3}\;\Rightarrow\;\text{triangle équilatéral}\]