Terminale S1-S3 · Leçon 16
Transformations élémentaires de l’espace
Ce que dit le programme officiel (5 points)
- Translations, homothéties de l’espace
- Réflexions par rapport à un plan
- Rotation autour d’un axe : définition, rotation induite ; demi-tour autour d’un axe (symétrie d’axe D)
- Composée de deux réflexions par rapport à des plans sécants ou parallèles ; décomposition d’une rotation, d’une translation en deux réflexions
- Construire le transformé d’un point ; utiliser les propriétés pour démontrer alignement, parallélisme, orthogonalité, calculer des longueurs ; détermination d’ensembles de points
Source : Programme de mathématiques, Terminales S1 et S3 (Sénégal), octobre 2006
Transformations élémentaires de l’espace : translations, homothéties, réflexions, rotations, demi-tours et leurs composées
Les transformations du plan ont leurs analogues dans l'espace. Les translations et les homothéties se définissent de la même façon ; la symétrie par rapport à une droite du plan devient la réflexion par rapport à un plan ; la rotation autour d'un point devient la rotation autour d'un axe. Comme dans le plan, composer deux réflexions donne une translation ou une rotation.
- Translation de vecteur \(\vec u\) : le point \(M\) a pour image \(M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\).
- Homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k\neq 0\) : \(\overrightarrow{\Omega M'}=k\,\overrightarrow{\Omega M}\). Elle multiplie les longueurs par \(|k|\) et transforme une droite en une droite parallèle, un plan en un plan parallèle.
- Réflexion par rapport au plan \(P\) : si \(M\in P\), \(M'=M\) ; sinon \(P\) est le plan médiateur de \([MM']\). En repère orthonormé, si \(P\) a pour équation \(ax+by+cz+d=0\) et \(\vec n(a\,;b\,;c)\), alors \(\overrightarrow{MM'}=-2\,\dfrac{ax_M+by_M+cz_M+d}{a^2+b^2+c^2}\,\vec n\).
Translations, réflexions et rotations conservent les distances : ce sont des isométries de l'espace. Toutes ces transformations conservent l'alignement, le parallélisme, le barycentre et les angles géométriques ; les isométries conservent en plus l'orthogonalité et les longueurs.
Soit \(\Delta\) une droite orientée par un vecteur unitaire \(\vec k\), et \(\theta\) un réel. La rotation d'axe \(\Delta\) et d'angle \(\theta\) laisse fixes les points de \(\Delta\). Pour un point \(M\) hors de \(\Delta\), on considère le plan \(Q\) passant par \(M\) et perpendiculaire à \(\Delta\), qui coupe \(\Delta\) en \(H\) : l'image \(M'\) est dans \(Q\), avec \(HM'=HM\) et \((\overrightarrow{HM},\overrightarrow{HM'})\equiv\theta\ [2\pi]\), l'angle étant orienté dans \(Q\) vu depuis l'extrémité de \(\vec k\). La rotation plane ainsi obtenue dans \(Q\) est la rotation induite.
Dans un repère orthonormé où \(\Delta\) est l'axe \((Oz)\) orienté par \(\vec k\) :
\[x'=x\cos\theta-y\sin\theta,\qquad y'=x\sin\theta+y\cos\theta,\qquad z'=z.\]Pour \(\theta=\pi\), on obtient le demi-tour d'axe \(\Delta\), aussi appelé symétrie d'axe \(\Delta\) : \(H\) est le milieu de \([MM']\). Autour de \((Oz)\) : \((x\,;y\,;z)\mapsto(-x\,;-y\,;z)\).
Plans parallèles. Si \(P_1\) et \(P_2\) sont parallèles et si \(\vec v\) est le vecteur qui va d'un point \(A\) de \(P_1\) à son projeté orthogonal sur \(P_2\), alors \(s_{P_2}\circ s_{P_1}\) est la translation de vecteur \(2\vec v\).
Plans sécants. Si \(P_1\) et \(P_2\) se coupent selon une droite \(\Delta\), alors \(s_{P_2}\circ s_{P_1}\) est une rotation d'axe \(\Delta\), d'angle le double de l'angle orienté qui va de \(P_1\) à \(P_2\) (mesuré dans un plan perpendiculaire à \(\Delta\)). Si les plans sont perpendiculaires, c'est le demi-tour d'axe \(\Delta\).
Réciproquement, toute translation de vecteur \(\vec u\) est la composée de deux réflexions par rapport à des plans perpendiculaires à \(\vec u\), le second se déduisant du premier par la translation de vecteur \(\dfrac12\vec u\) ; toute rotation d'axe \(\Delta\) et d'angle \(\theta\) est la composée de deux réflexions par rapport à des plans contenant \(\Delta\), le second faisant avec le premier l'angle \(\dfrac\theta2\). Le premier plan peut être choisi librement dans la famille.
Image par une réflexion. On trace la perpendiculaire au plan passant par \(M\), on note \(I\) son point d'intersection avec le plan, et \(M'\) est le symétrique de \(M\) par rapport à \(I\). En coordonnées, on écrit \(M'=M+t\,\vec n\), le milieu \(I\) devant vérifier l'équation du plan.
Image par une rotation. On se place dans le plan perpendiculaire à l'axe passant par \(M\) et l'on effectue la rotation plane induite autour du point \(H\).
Composée de deux réflexions. On regarde d'abord la position des deux plans (parallèles ou sécants), puis on applique le théorème ; on contrôle sur un point bien choisi.
Ensembles de points. Une isométrie transforme une droite en droite, un plan en plan, une sphère en sphère de même rayon ; une homothétie de rapport \(k\) transforme une sphère de rayon \(r\) en sphère de rayon \(|k|r\).
Énoncé. Dans un repère orthonormé, on donne le plan \(P : x+y+z-3=0\) et le point \(A(1\,;2\,;3)\). Déterminer l'image \(A'\) de \(A\) par la réflexion de plan \(P\).
Solution : Un vecteur normal à \(P\) est \(\vec n(1\,;1\,;1)\). On cherche \(A'=A+t\,\vec n=(1+t\,;2+t\,;3+t)\), le milieu \(I\) de \([AA']\) étant dans \(P\). Ici \(I=\left(1+\frac t2\,;2+\frac t2\,;3+\frac t2\right)\), et \(6+\dfrac{3t}{2}-3=0\) donne \(t=-2\).
Donc \(A'(-1\,;0\,;1)\). Contrôle : le milieu \(I(0\,;1\,;2)\) vérifie \(0+1+2-3=0\), et \(\overrightarrow{AA'}(-2\,;-2\,;-2)\) est colinéaire à \(\vec n\). Avec la formule : \(\dfrac{1+2+3-3}{3}=1\), \(\overrightarrow{AA'}=-2\times1\times\vec n\).
Énoncé. On note \(s_1\) la réflexion de plan \(z=0\), \(s_2\) celle de plan \(z=2\), \(r_1\) celle de plan \(x=0\) et \(r_2\) celle de plan \(y=x\). Déterminer \(s_2\circ s_1\) et \(r_2\circ r_1\).
Solution : \(s_1(x\,;y\,;z)=(x\,;y\,;-z)\) et \(s_2(x\,;y\,;z)=(x\,;y\,;4-z)\). Donc \(s_2\circ s_1(x\,;y\,;z)=(x\,;y\,;4+z)\) : c'est la translation de vecteur \(4\vec k\), le double du vecteur \(2\vec k\) qui va du premier plan au second.
\(r_1(x\,;y\,;z)=(-x\,;y\,;z)\) et \(r_2(x\,;y\,;z)=(y\,;x\,;z)\). Donc \(r_2\circ r_1(x\,;y\,;z)=(y\,;-x\,;z)\). Les deux plans se coupent selon l'axe \((Oz)\) ; dans le plan \(z=0\), on passe de la trace du premier (l'axe des ordonnées, direction \(\frac\pi2\)) à celle du second (direction \(\frac\pi4\)) par l'angle \(-\dfrac\pi4\). La composée est la rotation d'axe \((Oz)\) et d'angle \(-\dfrac\pi2\) : on vérifie que \((1\,;0\,;0)\) a pour image \((0\,;-1\,;0)\).
Figure — Rotation induite, vue le long de l'axe
Vue dans le plan perpendiculaire à l'axe (Oz), passant par M. Le point M (bleu) a pour image M₁ par la réflexion de plan x = 0 (trace : l'axe des ordonnées), puis M′ (or) par la réflexion de plan y = x (trace en pointillés). Le passage de M à M′ est le quart de tour de sens indirect autour de H, point de l'axe : c'est la rotation de l'exemple 2.
Énoncé. a) Image de \(B(2\,;0\,;5)\) par la rotation d'axe \((Oz)\) et d'angle \(\dfrac\pi3\). b) Image de \(C(3\,;-1\,;2)\) par le demi-tour d'axe \((Oz)\). c) Image de \(D(2\,;1\,;1)\) par l'homothétie de centre \(\Omega(1\,;0\,;0)\) et de rapport 2 ; image de la sphère de centre \(D\) et de rayon 1.
Solution : a) \(x'=2\cos\frac\pi3=1\), \(y'=2\sin\frac\pi3=\sqrt3\), \(z'=5\) : \(B'(1\,;\sqrt3\,;5)\). La distance à l'axe (2) et la cote sont conservées.
b) \(C'(-3\,;1\,;2)\). c) \(\overrightarrow{\Omega D'}=2\,\overrightarrow{\Omega D}=2(1\,;1\,;1)\), donc \(D'(3\,;2\,;2)\). L'image de la sphère est la sphère de centre \(D'\) et de rayon \(2\times1=2\).
Oublier le facteur 2. La composée de deux réflexions par rapport à des plans parallèles distants de \(d\) est une translation de longueur \(2d\), pas \(d\) ; pour des plans sécants faisant l'angle \(\alpha\), la rotation a pour angle \(2\alpha\).
Ignorer l'ordre. \(s_1\circ s_2\) n'est pas \(s_2\circ s_1\) : dans l'exemple 2, l'une donne la translation de vecteur \(-4\vec k\), l'autre celle de vecteur \(4\vec k\).
Faire tourner autour d'un point. Dans l'espace, une rotation se fait autour d'un axe : le point \(M\) tourne dans le plan perpendiculaire à l'axe qui le contient, autour du point \(H\) de l'axe, et sa cote le long de l'axe ne change pas.
Isométries de l'espace
Dans l'espace, les isométries usuelles sont les translations, les rotations autour d'un axe, les réflexions par rapport à un plan et leurs composées. Comme dans le plan, elles conservent les distances, l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité, ainsi que les aires et les volumes.
Résumé
Le plan est le plan médiateur de \([MM']\) ; \(\overrightarrow{MM'}\) est colinéaire au vecteur normal.
Rotation plane induite dans chaque plan perpendiculaire à \(\Delta\) ; angle \(\pi\) : demi-tour.
Plans parallèles : translation de vecteur \(2\vec v\). Plans sécants selon \(\Delta\) : rotation d'axe \(\Delta\), d'angle double.