Terminale S1-S3 · Leçon 7
Suites numériques
Exercices corrigés
Démonstration par récurrence
Exercice 1 — Démonstration par récurrence
Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $3^n \ge 2n+1$.
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- Initialisation
Pour $n=0$ : $3^0=1 \ge 2\times0+1=1$. ✓ - Hérédité
On suppose $3^n \ge 2n+1$. Alors $$3^{n+1} = 3\times3^n \ge 3(2n+1) = 6n+3 = (2n+3)+4n \ge 2n+3 = 2(n+1)+1$$ (car $4n\ge0$). - Conclusion
La propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Suite par récurrence — monotonie et convergence
Exercice 3 — Récurrence et monotonie
$u_0=2$, $u_{n+1}=\dfrac{u_n+6}{2}$.
1. $u_1,u_2,u_3$ 2. Montrer $u_n<6$ 3. Montrer croissance. Conclure.
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- $u_1=4$, $u_2=5$, $u_3=5{,}5$
- $u_0=2<6$. Si $u_n<6$ alors $u_{n+1}=\frac{u_n+6}{2}<6$. ✓
- $u_{n+1}-u_n=\frac{6-u_n}{2}>0$ → croissante majorée → $\lim u_n=6$.
Convergence, limite et comparaison de suites
Exercice 4 — Convergence
$u_n=\dfrac{3n^2+2n-1}{n^2+5}$. Trouver $\lim u_n$.
Point fixe : suite récurrente en $\sqrt{\ }$
Exercice 4 — Point fixe
Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$. Montrer que $(u_n)$ est croissante, majorée par $2$, puis déterminer sa limite.
Suite auxiliaire géométrique
Exercice 6 — Suite auxiliaire géométrique
Soit $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1} = \dfrac{2u_n+3}{4}$. Montrer que $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-\dfrac32$ est géométrique, exprimer $u_n$ en fonction de $n$, et calculer $\lim_{n\to+\infty} u_n$.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.