Terminale S1-S3 · Leçon 15
Produit vectoriel et produit mixte
Exercices corrigés
Équation cartésienne d'un plan — positions relatives
Exercice 3 — Plans dans l'espace
1. Déterminer l'équation du plan $(\mathcal{P})$ passant par $A(1;0;2)$, $B(3;1;0)$, $C(0;2;1)$.
Méthode : trouver un vecteur normal $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$, puis écrire $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AM}=0$.
2. Vérifier que $D(2;-1;3)$ est dans $(\mathcal{P})$ ou non.
3. Équation du plan parallèle à $(\mathcal{P})$ passant par l'origine.
4. Position relative des deux plans : parallèles ou sécants ?
Voir le corrigé
- $\overrightarrow{AB}=(2;1;-2)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;2;-1)$.
$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&1&-2\\-1&2&-1\end{vmatrix}$
$=(1\times(-1)-(-2)\times2\;;\;(-2)\times(-1)-2\times(-1)\;;\;2\times2-1\times(-1))=(3;4;5)$
Plan : $3(x-1)+4(y-0)+5(z-2)=0$ → $\boxed{3x+4y+5z-13=0}$ - $3\times2+4\times(-1)+5\times3-13=6-4+15-13=4\neq0$ → $D\notin(\mathcal{P})$.
- Même vecteur normal, passe par O(0;0;0) : $3\times0+4\times0+5\times0+d=0$ → $\boxed{3x+4y+5z=0}$
- Même vecteur normal $(3;4;5)$ mais $d_1=-13\neq d_2=0$ → plans parallèles distincts.
Droites dans l'espace — intersection, parallèles, gauches
Exercice 4 — Positions relatives de droites
$(d_1)$ : $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-1}{3}$ (vecteur directeur $\vec{v_1}=(2;1;3)$)
$(d_2)$ : $\begin{cases}x=3+t\\y=1-t\\z=4+2t\end{cases}$ (vecteur directeur $\vec{v_2}=(1;-1;2)$)
1. $\vec{v_1}$ et $\vec{v_2}$ sont-ils colinéaires ?
2. Chercher un point d'intersection éventuel (résoudre le système). Conclure : sécantes ou gauches ?
3. Trouver l'équation du plan contenant $(d_1)$ et parallèle à $(d_2)$.
Voir le corrigé
- $(2;1;3)=k(1;-1;2)$ → $k=2$ et $k=-1$ : contradiction → non colinéaires, droites non parallèles.
- Paramétrique de $(d_1)$ : $x=1+2s$, $y=2+s$, $z=1+3s$. On égalise :
$(I)$ : $1+2s=3+t$ · $(II)$ : $2+s=1-t$ · $(III)$ : $1+3s=4+2t$
De $(II)$ : $t=-(1+s)$. Dans $(I)$ : $1+2s=3-(1+s)$ → $3s=1$ → $s=\frac{1}{3}$, $t=-\frac{4}{3}$.
Vérification $(III)$ : $1+1=2\neq4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$ → contradiction → droites gauches. - Plan contenant $(d_1)$ et $\parallel$ à $\vec{v_2}$ : normale $\vec{n}=\vec{v_1}\wedge\vec{v_2}=(1\times3-3\times(-1)\,;\,3\times1-2\times2\,;\,2\times(-1)-1\times1)=(5;-1;-3)$
Passant par $A(1;2;1)$ : $5(x-1)-(y-2)-3(z-1)=0$ → $\boxed{5x-y-3z=0}$
Distances dans l'espace — point-plan et point-droite
Exercice 5 — Calculs de distances
Plan $(\mathcal{P})$ : $2x-y+2z-6=0$ · Droite $(d)$ : $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{1}$ · Point $M(3;1;-1)$
1. Distance de $M$ au plan $(\mathcal{P})$ : $d(M,\mathcal{P})=\dfrac{|2\times3-1+2\times(-1)-6|}{\sqrt{4+1+4}}$.
2. Pied de la perpendiculaire de $M$ sur $(\mathcal{P})$.
3. Distance de $M$ à la droite $(d)$.
4. Distance entre les plans parallèles $(\mathcal{P})$ : $2x-y+2z=6$ et $(\mathcal{P}')$ : $2x-y+2z=12$.
Voir le corrigé
- $d(M,\mathcal{P})=\dfrac{|2\times3-1+2\times(-1)-6|}{\sqrt{9}}=\dfrac{|6-1-2-6|}{3}=\dfrac{3}{3}=\boxed{1}$
- Droite normale à $(\mathcal{P})$ par $M$ : $(x,y,z)=(3+2t\,;\,1-t\,;\,-1+2t)$. Dans $(\mathcal{P})$ : $2(3+2t)-(1-t)+2(-1+2t)=6$ → $6+4t-1+t-2+4t=6$ → $9t=3$ → $t=\frac{1}{3}$. Pied $H=\left(\frac{11}{3}\,;\,\frac{2}{3}\,;\,-\frac{1}{3}\right)$.
- Point de $(d)$ le plus proche de $M$ : $A=(1,-1,2)$, $\vec{v}=(1,2,1)$. $\overrightarrow{AM}=(2,2,-3)$. $t_0=\dfrac{\overrightarrow{AM}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|^2}=\dfrac{2+4-3}{6}=\dfrac{1}{2}$. Pied $=(1{,}5\,;\,0\,;\,2{,}5)$. $d=\left|\overrightarrow{MH'}\right|=\sqrt{(1{,}5)^2+1^2+(3{,}5)^2}=\sqrt{2{,}25+1+12{,}25}=\boxed{\sqrt{15{,}5}\approx3{,}94}$
- $d(\mathcal{P},\mathcal{P}')=\dfrac{|6-12|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac{6}{3}=\boxed{2}$
Pyramide à base carrée — volume, hauteur, sections planes
Exercice 8 — Pyramide à base carrée
Pyramide $SABCD$ : base $ABCD$ carrée de côté $a=4$, sommet $S$ situé au-dessus du centre $O$ de la base à hauteur $h=6$. Repère : $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(4;4;0)$, $D(0;4;0)$, $S(2;2;6)$.
1. Volume $V=\frac{1}{3}\times\text{Aire base}\times h$. 2. Longueur de l'arête latérale $SA$. 3. Équation du plan $(SAB)$. 4. Section par le plan $z=3$ : nature et dimensions. 5. Apothème de la pyramide.
Problème complet type Bac — plans, droites, distances
Exercice 9 — Problème type Bac Burkina Faso
Dans le repère $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on donne les points :
$A(2;1;3)$, $B(0;3;1)$, $C(4;-1;5)$, $D(1;2;-1)$
Partie A — Étude du plan $(ABC)$
1. Montrer que $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés.
2. Déterminer l'équation cartésienne du plan $(ABC)$.
3. Vérifier que $D\notin(ABC)$. Calculer $d(D,(ABC))$.
Partie B — Droite et intersection
4. Équation de la droite $(BD)$. Trouver l'intersection de $(BD)$ avec $(ABC)$.
5. Le point $E$ est le pied de la perpendiculaire de $D$ sur $(ABC)$. Trouver les coordonnées de $E$.
Partie C — Volume
6. Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$.
Produit vectoriel et aire d'un triangle
Exercice 5 — Produit vectoriel et aire
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, soit $A(1\,;0\,;0)$, $B(0\,;2\,;0)$, $C(0\,;0\,;3)$. Calculer $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$, en déduire l'aire du triangle $ABC$ et un vecteur normal au plan $(ABC)$.