Terminale S1-S3 · Leçon 14
Points cocycliques, isométries et similitudes directes
Exercices corrigés
Cocyclicité d'un rectangle
Exercice 6 — Cocyclicité d'un rectangle
Soit $A(0\,;0)$, $B(4\,;0)$, $C(4\,;3)$, $D(0\,;3)$. Montrer que ces quatre points sont cocycliques et déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit.
Voir le corrigé
- Propriété du rectangle
$ABCD$ est un rectangle : ses diagonales $[AC]$ et $[BD]$ sont de même longueur et se coupent en leur milieu commun $\Omega$. - Calcul du centre
$\Omega$ = milieu de $[AC]$ = $\left(\dfrac{0+4}{2}\,;\dfrac{0+3}{2}\right) = (2\,;1{,}5)$. - Calcul du rayon
$AC = \sqrt{4^2+3^2} = 5$, donc $\Omega A = \Omega B = \Omega C = \Omega D = \dfrac{AC}{2} = 2{,}5$. - Conclusion
Les quatre sommets sont équidistants de $\Omega$ : ils sont cocycliques sur le cercle de centre $\Omega(2\,;1{,}5)$ et de rayon $2{,}5$.
Image d'un cercle par une similitude directe
Exercice 6 — Image d'un cercle
Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $A$ d'affixe $2i$ et de rayon $r=3$. Soit $s$ la similitude directe d'écriture complexe $z'=(1+i)z-1$.
1. Rappeler la propriété donnant l'image d'un cercle par une similitude directe.
2. Calculer le rapport $k$ de $s$ et l'image du centre $A$.
3. En déduire le cercle image de $\mathcal{C}$ par $s$.
Voir le corrigé
- Propriété
Une similitude directe de rapport $k$ transforme un cercle de centre $\Omega_0$ et de rayon $r$ en un cercle de centre $s(\Omega_0)$ et de rayon $k\times r$ (le parallélisme et le contact étant conservés). - Rapport et image du centre
$k=|a|=|1+i|=\sqrt2$. $$s(A) = (1+i)(2i)-1 = 2i+2i^2-1 = 2i-2-1 = -3+2i.$$ - Cercle image
Le cercle image a pour centre le point d'affixe $-3+2i$ et pour rayon $k\times r = \sqrt2\times3 = 3\sqrt2$.