Terminale S1-S3 · Leçon 6
Nombres premiers, PGCD, PPCM, théorèmes de Bézout et de Gauss
Exercices corrigés
PGCD par l'algorithme d'Euclide et PPCM
Exercice 3 — PGCD et PPCM
Déterminer $\text{pgcd}(391,299)$ par l'algorithme d'Euclide, puis en déduire $\text{ppcm}(391,299)$.
Voir le corrigé
- Algorithme d'Euclide
$$391 = 299\times1+92 \qquad 299 = 92\times3+23 \qquad 92 = 23\times4+0.$$ - PGCD
Le dernier reste non nul est $23$ : $\text{pgcd}(391,299)=23$. - PPCM
$$\text{ppcm}(391,299) = \frac{391\times299}{23} = 17\times299 = 5083.$$
Identité de Bézout sur un exemple
Exercice 4 — Identité de Bézout
En utilisant l'algorithme d'Euclide, déterminer un couple d'entiers $(u,v)$ tel que $253u+161v=\text{pgcd}(253,161)$.
Voir le corrigé
- Algorithme d'Euclide
$$253=161\times1+92 \quad 161=92\times1+69 \quad 92=69\times1+23 \quad 69=23\times3+0.$$ Donc $\text{pgcd}(253,161)=23$. - Remontée (étape 1)
$23 = 92-69\times1$. - Remontée (étape 2)
Comme $69=161-92$ : $23 = 92-(161-92) = 2\times92-161$. - Remontée finale et résultat
Comme $92=253-161$ : $23 = 2(253-161)-161 = 2\times253-3\times161$. Le couple $(u,v)=(2,-3)$ convient.
Équation diophantienne (théorème de Gauss)
Exercice 5 — Équation diophantienne
Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation $7x-4y=3$.
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