Terminale S1-S3 · Leçon 4
Nombres complexes et transformations du plan
Exercices corrigés
Transformations du plan complexe — type Bac
Exercice 5 — Similitude : $f(z)=(1+i)z+2-i$
1. Rapport $k$, angle 2. Point fixe $\Omega$ 3. $f(1+2i)$ 4. Image de $|z-1|=2$ 5. $f\circ f$
Voir le corrigé
- Rapport $k$ et angle $\theta$
$f(z) = az + b$ avec $a = 1+i$.
$k = |a| = |1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \boxed{\sqrt{2}}$ (agrandissement de rapport $\sqrt{2}$)
$\theta = \arg(a) = \arg(1+i) = \boxed{\dfrac{\pi}{4}}$ (rotation d'angle $45°$)
C'est une similitude directe de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $\pi/4$. - Point fixe $\Omega$
$f(\Omega) = \Omega \Rightarrow (1+i)\Omega + 2-i = \Omega \Rightarrow i\Omega = -(2-i) = -2+i$
$\Omega = \dfrac{-2+i}{i} = \dfrac{(-2+i)\cdot(-i)}{i\cdot(-i)} = \dfrac{2i-i^2}{1} = 1 + 2i$
$$\boxed{\Omega = 1+2i}$$ Le centre de la similitude est le point $\Omega(1\,;\,2)$. - Image de $z_0 = 1+2i$
$f(1+2i) = (1+i)(1+2i) + 2-i$
$(1+i)(1+2i) = 1+2i+i+2i^2 = 1+3i-2 = -1+3i$
$f(1+2i) = -1+3i+2-i = \boxed{1+2i}$ ✓ (c'est bien $\Omega$, point fixe) - Image du cercle $|z-1|=2$
Le cercle a pour centre $\omega_0 = 1$ (d'affixe 1) et rayon $r=2$.
Image du centre : $f(1) = (1+i)\cdot 1 + 2-i = 1+i+2-i = 3$
Image du rayon : $k\cdot r = \sqrt{2}\cdot 2 = 2\sqrt{2}$
L'image est le cercle de centre 3 et de rayon $2\sqrt{2}$, soit $|z-3| = 2\sqrt{2}$. - $f \circ f$
$f(f(z)) = (1+i)[(1+i)z+2-i]+2-i = (1+i)^2 z + (1+i)(2-i)+2-i$
$(1+i)^2 = 2i$ · $(1+i)(2-i) = 2-i+2i-i^2 = 2+i+1 = 3+i$
$f\circ f(z) = 2iz + (3+i) + (2-i) = 2iz + 5$
$$\boxed{f\circ f(z) = 2iz + 5}$$ C'est une similitude de rapport $|2i|=2$ et d'angle $\arg(2i)=\dfrac{\pi}{2}$.
Géométrie dans le plan complexe — niveau Bac
Exercice 6 — Géométrie dans $\mathbb{C}$
$A(2)$, $B(2i)$, $C(-1+i)$. Calculer $\dfrac{b-a}{c-a}$, nature du triangle, parallélogramme $ABDC$, centre de gravité, ensemble $\left|\dfrac{z-a}{z-b}\right|=1$.
Voir le corrigé
- Calcul de $\dfrac{b-a}{c-a}$ et nature du triangle
$a=2$, $b=2i$, $c=-1+i$
$b-a = 2i-2 = -2+2i$ · $c-a = -1+i-2 = -3+i$
$\dfrac{b-a}{c-a} = \dfrac{-2+2i}{-3+i}\cdot\dfrac{-3-i}{-3-i} = \dfrac{(-2+2i)(-3-i)}{10} = \dfrac{6+2i-6i-2i^2}{10} = \dfrac{8-4i}{10} = \dfrac{4-2i}{5}$
$\left|\dfrac{b-a}{c-a}\right| = \dfrac{\sqrt{16+4}}{5} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5} \neq 1$ : triangle non isocèle en $A$.
Angle droit en B : $\dfrac{a-b}{c-b} = \dfrac{2-2i}{-1+i-2i} = \dfrac{2-2i}{-1-i}\cdot\dfrac{-1+i}{-1+i} = \dfrac{(2-2i)(-1+i)}{2} = \dfrac{-2+2i+2i-2i^2}{2} = \dfrac{2i^2\cdot(-1)+4i}{2}$
Plus simplement : $(2-2i)/(-1-i) = (2-2i)(-1+i)/2 = (-2+2i+2i+2)/2 = 4i/2 = 2i$
$\arg(2i) = \dfrac{\pi}{2}$ → angle droit en $B$ ✓ · Triangle rectangle en $B$. - Parallélogramme $ABDC$
Dans $ABDC$ (attention à l'ordre), les diagonales $AC$ et $BD$ ont le même milieu.
Milieu de $AC$ : $\dfrac{2+(-1+i)}{2} = \dfrac{1+i}{2}$
Milieu de $BD = \dfrac{2i+d}{2}$ · Égalité : $2i+d = 1+i \Rightarrow \boxed{d = 1-i}$
Le 4ème sommet $D$ a pour affixe $1-i$. - Centre de gravité
$g = \dfrac{a+b+c}{3} = \dfrac{2+2i+(-1+i)}{3} = \dfrac{1+3i}{3} = \boxed{\dfrac{1}{3}+i}$
Le centre de gravité $G$ a pour affixe $\dfrac{1}{3}+i$, soit les coordonnées $\left(\dfrac{1}{3}\,;\,1\right)$. - Ensemble $\left|\dfrac{z-a}{z-b}\right|=1$
$\left|\dfrac{z-2}{z-2i}\right|=1 \Rightarrow |z-2|=|z-2i|$
Avec $z=x+iy$ : $(x-2)^2+y^2 = x^2+(y-2)^2$
$-4x+4 = -4y+4 \Rightarrow -4x=-4y \Rightarrow \boxed{y=x}$
C'est la médiatrice de $[AB]$, droite $y=x$.