Terminale S1-S3 · Leçon 3
Nombres complexes : équations et trigonométrie
Exercices corrigés
Puissances et formule de De Moivre
Exercice 2 — De Moivre
$(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}$
1. $(1+i)^8$ 2. $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{i}{2}\right)^{12}$ 3. Développer $(\cos\theta+i\sin\theta)^3$ : exprimer $\cos3\theta$, $\sin3\theta$.
Voir le corrigé
- $1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$ → $(1+i)^8=16e^{i2\pi}=\boxed{16}$
- $e^{i\pi/6}$ → $(e^{i\pi/6})^{12}=e^{i2\pi}=\boxed{1}$
- $\boxed{\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta}$ · $\boxed{\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta}$
Équations du 2ⁿᵈ degré dans $\mathbb{C}$ — discriminant négatif
Exercice 4 — Équations du 2ⁿᵈ degré dans $\mathbb{C}$
Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :
1. $z^2 + 4 = 0$
2. $z^2 - 2z + 5 = 0$
3. $2z^2 + z + 1 = 0$
Pour chacune, calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Lorsque $\Delta < 0$, écrire $\Delta = -|\Delta|$ et utiliser $\sqrt{\Delta} = i\sqrt{|\Delta|}$.
De Moivre et formules trigonométriques
Exercice 3 — Trigonométrie via De Moivre
1. Développer $(\cos\theta+i\sin\theta)^4$ : $\cos4\theta$ et $\sin4\theta$.
2. Exprimer $\cos4\theta$ en fonction de $\cos\theta$ seul.
3. Montrer $\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}$.
4. Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta$.
Voir le corrigé
- $\cos4\theta=\cos^4\theta-6\cos^2\theta\sin^2\theta+\sin^4\theta$ · $\sin4\theta=4\cos\theta\sin\theta(\cos^2\theta-\sin^2\theta)$
- $\boxed{\cos4\theta=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1}$
- $\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ → $\cos^2\theta=\frac{2\cos2\theta+2}{4}=\boxed{\dfrac{1+\cos2\theta}{2}}$
- $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{1+\cos2\theta}{2}d\theta=\left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin2\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\boxed{\dfrac{\pi}{4}}$
Racines $n$-ièmes de l'unité — polygones réguliers
Exercice 4 — Racines $n$-ièmes de l'unité
Les $n$ racines de $z^n=1$ sont $\omega_k=e^{i\frac{2k\pi}{n}}$, $k=0,\ldots,n-1$.
1. 4 racines de $z^4=1$ 2. Racines cubiques — somme nulle 3. Géométrie 4. $z^6=-64$
Équations et lieu géométrique dans $\mathbb{C}$ — niveau Bac
Exercice 6 — Équations et lieu géométrique — niveau Bac
Soit $z = x + iy$ un nombre complexe ($x, y \in \mathbb{R}$).
Partie A — Équation dans $\mathbb{C}$
1. Résoudre $z^2 = -3 + 4i$ dans $\mathbb{C}$. (Poser $z = a+ib$ et identifier les parties réelle et imaginaire.)
2. En déduire les solutions de $Z^2 + 2Z + (1+i) = 0$ dans $\mathbb{C}$, où $Z \in \mathbb{C}$.
Partie B — Lieu géométrique
3. Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 1| = |z + i|$.
4. Quelle est la nature de cet ensemble ? Le tracer dans le plan.
5. Déterminer l'ensemble des points tels que $|z - 2| \leq 3$. Nature géométrique ?