Terminale S1-S3 · Leçon 2
Nombres complexes : écritures, module et argument
Exercices corrigés
Forme algébrique — parties réelle et imaginaire
Exercice 1 — Forme algébrique et opérations de base
On donne $z_1 = 3 + 2i$ et $z_2 = 1 - 4i$.
1. Donner la partie réelle et la partie imaginaire de $z_1$ et $z_2$.
2. Calculer $z_1 + z_2$ et $z_1 - z_2$. Mettre sous forme algébrique $a + ib$.
3. Calculer $z_1 \times z_2$. Développer et simplifier en utilisant $i^2 = -1$.
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- Parties réelle et imaginaire :
$z_1 = 3 + 2i$ : $\text{Re}(z_1) = 3$ · $\text{Im}(z_1) = 2$
$z_2 = 1 - 4i$ : $\text{Re}(z_2) = 1$ · $\text{Im}(z_2) = -4$ - Somme et différence : $$z_1 + z_2 = (3+1) + (2-4)i = \boxed{4 - 2i}$$ $$z_1 - z_2 = (3-1) + (2-(-4))i = \boxed{2 + 6i}$$
- Produit : $$z_1 \times z_2 = (3+2i)(1-4i) = 3 - 12i + 2i - 8i^2$$ $$= 3 - 10i - 8(-1) = 3 + 8 - 10i = \boxed{11 - 10i}$$
Conjugué, module et interprétation géométrique
Exercice 2 — Conjugué, module et géométrie
On donne $z = 3 - 4i$.
1. Calculer le conjugué $\bar{z}$.
2. Calculer le module $|z| = \sqrt{\text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2}$.
3. Vérifier que $z \times \bar{z} = |z|^2$.
4. Interpréter géométriquement $\bar{z}$ par rapport à $z$ dans le plan.
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- Conjugué de $z = 3-4i$ :
Le conjugué s'obtient en changeant le signe de la partie imaginaire : $$\boxed{\bar{z} = 3 + 4i}$$ - Module : $$|z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \boxed{5}$$
- Vérification $z \times \bar{z} = |z|^2$ : $$z \times \bar{z} = (3-4i)(3+4i) = 9 + 12i - 12i - 16i^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 = |z|^2 \checkmark$$
- Interprétation géométrique :
$z$ et $\bar{z}$ sont symétriques par rapport à l'axe réel (axe des abscisses). Géométriquement, on obtient $\bar{z}$ en réfléchissant $z$ par rapport à la droite $\text{Im}=0$.
Forme exponentielle — formule d'Euler
Exercice 1 — Forme exponentielle
Formule d'Euler : $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.
Écrire sous forme $re^{i\theta}$ ($r>0$, $\theta\in]{-\pi;\pi}]$) :
1. $z_1=1+i$ 2. $z_2=-\sqrt{3}+i$ 3. $z_3=-2i$
Mettre sous forme algébrique : $z_4=3e^{i\pi/6}$
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- $|z_1|=\sqrt{2}$, $\arg=\dfrac{\pi}{4}$ → $\boxed{z_1=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}}$
- $|z_2|=2$, $\arg=\dfrac{5\pi}{6}$ → $\boxed{z_2=2\,e^{i5\pi/6}}$
- $|z_3|=2$, $\arg=-\dfrac{\pi}{2}$ → $\boxed{z_3=2\,e^{-i\pi/2}}$
- $z_4=3\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{i}{2}\right)=\boxed{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}i}$
Division — forme algébrique du quotient
Exercice 3 — Division de nombres complexes
On rappelle la méthode : pour écrire $\dfrac{z_1}{z_2}$ sous forme $a+ib$, on multiplie numérateur et dénominateur par $\overline{z_2}$.
On donne $z_1 = 5 + i$ et $z_2 = 2 + 3i$.
1. Calculer $\overline{z_2}$ et $|z_2|^2$.
2. Calculer $z_1 \times \overline{z_2}$.
3. En déduire $\dfrac{z_1}{z_2}$ sous forme algébrique $a + ib$.
4. Vérifier en calculant $\dfrac{z_1}{z_2} \times z_2$ et en retrouvant $z_1$.
Voir le corrigé
- Conjugué et module au carré :
$\overline{z_2} = 2 - 3i$ · $|z_2|^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$ - Produit $z_1 \times \overline{z_2}$ : $$z_1 \times \overline{z_2} = (5+i)(2-3i) = 10 - 15i + 2i - 3i^2$$ $$= 10 - 13i + 3 = 13 - 13i$$
- Quotient : $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \times \overline{z_2}}{|z_2|^2} = \frac{13 - 13i}{13} = \boxed{1 - i}$$
- Vérification : $$(1-i)(2+3i) = 2 + 3i - 2i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i = z_1 \checkmark$$
Forme trigonométrique — module et argument — type Bac
Exercice 5 — Forme trigonométrique — niveau Bac
On rappelle : $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$.
On donne $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_2 = \sqrt{3} - i$.
1. Calculer $|z_1|$ et $|z_2|$. En déduire $|z_1 z_2|$ et $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|$.
2. Déterminer $\arg(z_1)$ et $\arg(z_2)$ en utilisant les valeurs du cercle trigonométrique.
3. Écrire $z_1$ et $z_2$ sous forme trigonométrique.
4. En déduire $\arg(z_1 z_2)$ et $\arg\!\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)$. Vérifier en calculant $z_1 z_2$ algébriquement.
5. Placer $z_1$, $z_2$, $z_1 z_2$ et $\dfrac{z_1}{z_2}$ dans le plan de Gauss.
Géométrie dans le plan complexe — niveau Bac
Exercice 6 — Géométrie dans $\mathbb{C}$
$A(2)$, $B(2i)$, $C(-1+i)$. Calculer $\dfrac{b-a}{c-a}$, nature du triangle, parallélogramme $ABDC$, centre de gravité, ensemble $\left|\dfrac{z-a}{z-b}\right|=1$.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.