Terminale S1-S3 · Leçon 10
Logarithme, exponentielle, puissances et croissances comparées
Exercices corrigés
Propriétés algébriques du logarithme népérien
Exercice 1 — Propriétés du logarithme
Simplifier chacune des expressions suivantes :
1. $A = \ln 6 + \ln 5 - \ln 30$
2. $B = 3\ln 2 - \ln 4 + \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)$
3. $C = \ln(e^3) + \ln\!\left(\dfrac{1}{e}\right)$
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- $A = \ln 6 + \ln 5 - \ln 30$ : $$A = \ln(6 \times 5) - \ln 30 = \ln 30 - \ln 30 = \boxed{0}$$
- $B = 3\ln 2 - \ln 4 + \ln\frac{1}{2}$ : $$B = \ln 8 - \ln 4 + \ln 2^{-1} = \ln\frac{8}{4} - \ln 2 = \ln 2 - \ln 2 = \boxed{0}$$
- $C = \ln(e^3) + \ln(e^{-1})$ : $$C = 3\ln e + (-1)\ln e = 3 - 1 = \boxed{2}$$
Équations et inéquations avec ln et exp
Exercice 2 — Équations et inéquations
1. $\ln(2x - 1) = \ln 5$
2. $e^{3x-1} = e^5$
3. $\ln(x+2) \geq \ln(3x - 4)$
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- $\ln(2x-1) = \ln 5$ : $\ln$ est injective → $2x-1=5$ → $\boxed{x=3}$. Vérif : $2(3)-1=5>0$ ✓
- $e^{3x-1} = e^5$ : $\exp$ est injective → $3x-1=5$ → $\boxed{x=2}$
- $\ln(x+2) \geq \ln(3x-4)$ : C.E. : $x > \dfrac{4}{3}$. $\ln$ croissante → $x+2 \geq 3x-4$ → $x \leq 3$. Solution : $\boxed{\dfrac{4}{3} < x \leq 3}$
Dérivées de fonctions exponentielles composées
Exercice 7 — Dérivées de fonctions exponentielles composées
En utilisant $(e^{u(x)})' = u'(x)\,e^{u(x)}$, calculer la dérivée de :
1. $f(x) = e^{3x+2}$
2. $g(x) = e^{x^2 - 1}$
3. $h(x) = e^{-x/2} + 2x$
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- $f(x) = e^{3x+2}$ : $u'=3$ → $\boxed{f'(x) = 3e^{3x+2}}$
- $g(x) = e^{x^2-1}$ : $u'=2x$ → $\boxed{g'(x) = 2x\,e^{x^2-1}}$
- $h(x) = e^{-x/2}+2x$ : $u'=-\frac{1}{2}$ → $\boxed{h'(x) = -\tfrac{1}{2}e^{-x/2}+2}$
Primitives de $\dfrac{1}{x}$ et de $\dfrac{u'}{u}$
Exercice 10 — Primitives de $\dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{u'}{u}$
On rappelle : $\displaystyle\int \frac{u'(x)}{u(x)}\,dx = \ln|u(x)| + C$.
1. $\displaystyle\int \frac{3}{x}\,dx$
2. $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 5}\,dx$
3. $\displaystyle\int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx$
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- $\displaystyle\int \frac{3}{x}\,dx$ : $\boxed{3\ln x + C}$ (sur $]0\,;+\infty[$)
- $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2+5}\,dx$ : Forme $\frac{u'}{u}$ avec $u=x^2+5$, $u'=2x$ → $\boxed{\ln(x^2+5)+C}$
- $\displaystyle\int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx$ : Poser $u=\ln x$, $du=\frac{dx}{x}$ → $\displaystyle\int_0^1 u\,du = \left[\frac{u^2}{2}\right]_0^1 = \boxed{\frac{1}{2}}$
Résolution d'une équation exponentielle
Exercice 2 — Résolution d'une équation exponentielle
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x-1} = e^3$.
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- Injectivité de l'exponentielle
$e^{2x-1}=e^3 \iff 2x-1=3$. - Résolution
$2x=4 \iff x=2$. - Résultat
$\mathbb{S} = \{2\}$.
Dérivée et variations de fonctions logarithmiques
Exercice 3 — Dérivée et variations
Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = x - 2\ln x$.
1. Calculer $f'(x)$ et résoudre $f'(x) = 0$.
2. Dresser le tableau de variations de $f$.
3. En déduire le minimum de $f$ et montrer que $f(x) \geq 2 - 2\ln 2$.
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- Dérivée : $$f'(x) = 1 - \frac{2}{x} = \frac{x-2}{x}$$ $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$.
- Tableau de variations :
Sur $]0\,;\,2[$ : $f'<0$ → décroissante · Sur $]2\,;\,+\infty[$ : $f'>0$ → croissante
Minimum en $x=2$. - Minimum :
$f(2) = 2 - 2\ln 2 \approx 0{,}614$
Donc $f(x) \geq 2 - 2\ln 2$ pour tout $x > 0$, avec égalité seulement en $x=2$.
Étude complète de $f(x) = xe^x$
Exercice 4 — Étude de $f(x) = xe^x$
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = xe^x$.
1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
2. Calculer $f'(x)$. Étudier son signe.
3. Dresser le tableau de variations complet.
4. Équation de la tangente en $x = 0$.
Équations et inéquations combinant $\ln$ et $\exp$
Exercice 8 — Équations et inéquations combinant $\ln$ et $\exp$
1. $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ (Poser $X = e^x$)
2. $\ln(x^2 - 3) = \ln(2x - 3)$
3. $e^x > 2x + 1$
4. $2\ln x - \ln(x+6) \leq \ln 3$
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- $e^{2x}-3e^x+2=0$ : $X=e^x$ → $X^2-3X+2=0$ → $(X-1)(X-2)=0$
$e^x=1→x=0$ · $e^x=2→x=\ln 2$ $\boxed{S=\{0\,;\,\ln 2\}}$ - $\ln(x^2-3)=\ln(2x-3)$ : C.E. : $x > \sqrt{3}$. $x^2-3=2x-3$ → $x(x-2)=0$ → $x=2$ ✓ $\boxed{S=\{2\}}$
- $e^x > 2x+1$ : $f(x)=e^x-2x-1 \geq 0$ avec égalité en $x=0$ uniquement → $\boxed{x \in \mathbb{R}\setminus\{0\}}$
- $2\ln x - \ln(x+6) \leq \ln 3$ : $\ln\frac{x^2}{x+6} \leq \ln 3$ → $x^2 \leq 3x+18$ → $(x-6)(x+3)\leq 0$ → $\boxed{0 < x \leq 6}$
Étude de $f(x) = x^2 \ln x$ — variations et intégration
Exercice 11 — Étude de $f(x) = x^2\ln x$
Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = x^2\ln x$.
1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$. (Admettre que $x^2\ln x \to 0$.)
2. Calculer $f'(x)$ avec $(uv)' = u'v+uv'$.
3. Dresser le tableau de variations. Préciser le minimum.
4. Calculer $\displaystyle\int_1^e x^2\ln x\,dx$ par intégration par parties.
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- Limite : $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x^2\ln x = 0$ (admis). On prolonge $f$ par $f(0)=0$.
- Dérivée : $u=x^2$, $v=\ln x$ → $u'=2x$, $v'=\frac{1}{x}$ $$f'(x) = 2x\ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = x(2\ln x+1)$$
- Variations :
$f'(x)=0 \Leftrightarrow \ln x = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$
Minimum : $f\!\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = \frac{1}{e}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{2e}$ - Intégration par parties : $u=\ln x$, $v'=x^2$ → $v=\frac{x^3}{3}$ $$\int_1^e x^2\ln x\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\ln x\right]_1^e - \frac{1}{3}\int_1^e x^2\,dx = \frac{e^3}{3} - \frac{e^3-1}{9} = \boxed{\frac{2e^3+1}{9}}$$
Inéquation, optimisation et interprétation — niveau Bac
Exercice 6 — Optimisation — niveau Bac
Un agriculteur dispose de 120 mètres de clôture pour délimiter un terrain rectangulaire dont un côté est longé par un mur (pas besoin de clôture de ce côté).
On note $x$ la longueur du côté perpendiculaire au mur ($0 < x < 60$).
1. Exprimer la longueur du côté parallèle au mur en fonction de $x$.
2. Exprimer l'aire $A(x)$ du terrain en fonction de $x$.
3. Étudier les variations de $A$ sur $]0\,;\,60[$. Trouver la valeur de $x$ qui maximise l'aire.
4. Calculer l'aire maximale et les dimensions optimales.
5. Pour quelles valeurs de $x$ l'aire est-elle supérieure à $1\,600\ \text{m}^2$ ?
Croissance exponentielle — modélisation — type Bac
Exercice 5 — Modélisation et croissance exponentielle
La population d'une ville du Burkina Faso était de 80 000 habitants en 2010. On modélise son évolution par $P(t) = 80\,000 \times e^{kt}$, où $t$ est le nombre d'années depuis 2010. En 2020, la population était de 100 000 habitants.
1. Déterminer $k$ (valeur approchée à $10^{-4}$ près). ($\ln(1{,}25) \approx 0{,}2231$)
2. Calculer $P'(t)$ et interpréter son signe.
3. En quelle année la population dépassera-t-elle 150 000 habitants ?
4. Montrer que la population double en un temps $T$ constant. Calculer $T$.
5. Calculer la population moyenne sur $[0\,;\,10]$.
Étude de $f(x) = (x-1)e^x + \ln x$ — niveau Bac
Exercice 6 — Étude complète mêlant $\ln$ et $\exp$ — niveau Bac
Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = (x-1)e^x + \ln x$.
1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
2. Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = xe^x + \dfrac{1}{x}$.
3. Montrer que $f'(x) > 0$ pour tout $x > 0$. Variations de $f$.
4. Montrer que $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$. L'encadrer.
5. Dresser le tableau de signes de $f$.
Étude paramétrique et inégalités classiques — niveau Bac
Exercice 9 — Étude paramétrique et inégalités
Pour tout $a > 0$, on définit $f_a(x) = \ln x - ax + 1$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
1. Calculer $f_a'(x)$ et trouver $x_a = \text{argmax}\ f_a$.
2. Montrer que le maximum de $f_a$ est $M(a) = 1 - \ln a$.
3. Pour $a=1$, montrer que $\ln x \leq x-1$ pour tout $x > 0$.
4. En déduire $e^t \geq t+1$ pour tout $t \in \mathbb{R}$.
5. Encadrer $\ln 2$ à $0{,}1$ près.
Comparaisons de croissance — $\ln$ face à $\exp$ — niveau Bac
Exercice 12 — Comparaisons de croissance
Partie A — Soit $f(x) = \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
1. Calculer $f'(x)$. Variations de $f$.
2. Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0$.
3. En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x}$.
Partie B — Soit $g(x) = x^2 e^{-x}$.
4. Calculer $g'(x)$ et dresser le tableau de variations.
5. Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^2 e^{-x} = 0$.
Décroissance radioactive et demi-vie — niveau Bac
Exercice 13 — Décroissance radioactive et demi-vie
$Q(t) = 200\,e^{-\lambda t}$ grammes, avec demi-vie $T_{1/2} = 30$ ans.
1. Montrer que $\lambda = \dfrac{\ln 2}{30}$. Valeur approchée à $10^{-4}$.
2. Calculer $Q(60)$ et $Q(90)$.
3. Calculer $Q'(t)$. Interpréter.
4. Au bout de combien d'années reste-t-il moins de 10 g ?
5. Calculer la quantité moyenne $\bar{Q}$ sur $[0\,;\,30]$.
Inéquation exponentielle par changement de variable
Exercice 5 — Inéquation exponentielle par changement de variable
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{2x} - 3e^x + 2 \le 0$.
Étude complète : $f(x)=xe^{-x}$
Exercice 6 — Étude complète : $f(x)=xe^{-x}$
Étudier les variations de $f(x) = xe^{-x}$ sur $[0\,;+\infty[$ et déterminer sa limite en $+\infty$. En déduire un encadrement de $f(x)$ sur cet intervalle.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.