Terminale S1-S3 · Leçon 8
Limites et continuité
Exercices corrigés
Prolongement par continuité
Exercice 2 — Prolongement par continuité
Soit $g(x) = \dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ pour $x \neq 0$. Déterminer le prolongement par continuité de $g$ en $0$.
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- Forme indéterminée
En $x=0$, $g$ prend la forme $\frac{0}{0}$ : il faut lever l'indétermination. - Quantité conjuguée
$$g(x) = \frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}.$$ - Limite et conclusion
$\lim_{x\to 0} g(x) = \dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2}$. Le prolongement par continuité est $\tilde g(0) = \dfrac{1}{2}$.
Asymptotes d'une fonction rationnelle
Exercice 2 — Asymptotes
Déterminer les asymptotes de $f(x)=\dfrac{x-2}{x+1}$.
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- Réécriture
$$f(x) = \frac{(x+1)-3}{x+1} = 1-\frac{3}{x+1}.$$ - Asymptote verticale
En $x=-1$ (le dénominateur s'annule) : asymptote $x=-1$. - Asymptote horizontale
Quand $x\to\pm\infty$, $\dfrac{3}{x+1}\to0$, donc $f(x)\to1$ : asymptote $y=1$.
Existence et encadrement d'une solution
Exercice 3 — Existence et encadrement d'une solution
Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;1[$, puis donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$.
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- Continuité et signe aux bornes
$f(x) = x^3+x-1$ est continue sur $[0;1]$ (polynôme). $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$. - Stricte monotonie
$f'(x) = 3x^2+1 > 0$ pour tout $x$ : $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$. - Conclusion (TVI + monotonie)
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, $f$ s'annule au moins une fois sur $]0;1[$ ; la stricte monotonie garantit l'unicité. Il existe donc un unique $\alpha \in ]0;1[$ tel que $f(\alpha)=0$. - Encadrement
$f(0{,}6) = 0{,}216+0{,}6-1 = -0{,}184 < 0$ et $f(0{,}7) = 0{,}343+0{,}7-1 = 0{,}043 > 0$. Donc $\alpha \in ]0{,}6\,;0{,}7[$.
Une application astucieuse du TVI
Exercice 4 — Une application astucieuse du TVI (corde horizontale)
Soit $f$ continue sur $[0;1]$ telle que $f(0) = f(1)$. Montrer qu'il existe $c \in [0\,; \tfrac12]$ tel que $f(c) = f\!\left(c+\tfrac12\right)$.
Point fixe de la fonction cosinus
Exercice 5 — Point fixe de la fonction cosinus
On considère $f(x) = \cos x - x$ sur $[0\,;\pi]$. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$, puis donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.
Prolongement puis image d'un intervalle
Exercice 6 — Prolongement puis image d'un intervalle
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x) = \dfrac{x^3-1}{x-1}$. Déterminer le prolongement par continuité $\tilde f$ de $f$ en $1$, puis calculer $\tilde f([-2\,;1])$.
Domaine et limites d'une composée avec racine
Exercice 5 — Domaine et limites
Soit $f(x)=\sqrt{3x-5}$. Déterminer le domaine de définition de $f$, puis calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to(5/3)^{+}} f(x)$.