Terminale S1-S3 · Leçon 5
Divisibilité, division euclidienne, congruences, numération
Exercices corrigés
Division euclidienne d'un entier négatif
Exercice 1 — Division euclidienne
Effectuer la division euclidienne de $-52$ par $7$.
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- Recherche du quotient
On cherche $q$ tel que $7q$ soit juste en-dessous de $-52$ : $7\times(-8) = -56$. - Calcul du reste
$r = -52-(-56) = 4$, et bien $0\le4<7$. - Résultat
$-52 = 7\times(-8)+4$ : quotient $q=-8$, reste $r=4$.
Reste d'une puissance par congruence
Exercice 2 — Reste d'une puissance
Déterminer le reste de la division de $2^{20}$ par $7$.
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- Repérer un cycle
$2^3 = 8 \equiv 1\ [7]$. - Décomposition de l'exposant
$2^{20} = 2^{18}\times2^2 = (2^3)^6\times4 \equiv 1^6\times4\ [7]$. - Résultat
$2^{20} \equiv 4\ [7]$ : le reste est $4$.
Divisibilité par congruence
Exercice 6 — Divisibilité par congruence
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $3^{2n+1}+2^{n+2}$ est divisible par $7$.
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