Terminale S1-S3 · Leçon 9
Dérivation
Exercices corrigés
Dérivée d'une fonction composée
Exercice 1 — Dérivée d'une fonction composée
Calculer la dérivée de $f(x) = (2x+1)^5$.
Voir le corrigé
- Reconnaître la forme $u^n$
$f = u^5$ avec $u(x)=2x+1$, donc $u'(x)=2$. - Formule de dérivation composée
$$f'(x) = 5\,u'(x)\,u(x)^4 = 5\times2\times(2x+1)^4.$$ - Résultat
$f'(x) = 10(2x+1)^4$.
Encadrement par l'IAF
Exercice 4 — Encadrement par l'inégalité des accroissements finis
En utilisant l'IAF appliquée à $f(x)=\sqrt{x}$ sur $[121\,;122]$, donner un encadrement de $\sqrt{122}$.
Voir le corrigé
- Dérivée et monotonie
$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, strictement décroissante sur $]0;+\infty[$. - Encadrement de $f'$ sur $]121;122[$
Puisque $]121;122[ \subset ]121;144[$ et $f'$ est décroissante : $f'(144) < f'(c) < f'(121)$, soit $\dfrac{1}{24} < f'(c) < \dfrac{1}{22}$. - Inégalité des accroissements finis
$$\frac{1}{24} < \sqrt{122}-11 < \frac{1}{22}.$$ - Résultat
$11+\dfrac{1}{24} < \sqrt{122} < 11+\dfrac{1}{22}$, soit $\sqrt{122} \in\ ]11{,}0417\,;11{,}0455[$ environ.
Majoration à l'aide de l'IAF
Exercice 5 — Majoration à l'aide de l'IAF
Soit $f$ dérivable sur $[0\,;+\infty[$ telle que $f'(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$ pour tout $x\ge0$, et $f(0)=0$. Montrer que pour tout $x \ge 0$, $f(x) \le x$.
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