Terminale S1-S3 · Leçon 17
Courbes paramétrées
Exercices corrigés
Représentation paramétrique d'un cercle — tangente
Exercice 1 — Cercle de rayon 2
On considère la courbe $(\mathcal{C})$ paramétrée par :
$$\begin{cases}x(t)=2\cos t\\y(t)=2\sin t\end{cases},\quad t\in[0\,;\,2\pi]$$1. Reconnaître la courbe. Tracer.
2. Calculer $x'(t)$, $y'(t)$. En quel point la tangente est-elle horizontale ? Verticale ?
3. Équation de la tangente en $t=\dfrac{\pi}{4}$.
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- $x^2+y^2=4\cos^2t+4\sin^2t=4$ → cercle de centre O, rayon $r=2$.
- $x'(t)=-2\sin t$, $y'(t)=2\cos t$.
Tangente horizontale ($y'=0$) : $t=\dfrac{\pi}{2}$ et $t=\dfrac{3\pi}{2}$ → points $(0,2)$ et $(0,-2)$.
Tangente verticale ($x'=0$) : $t=0$ et $t=\pi$ → points $(2,0)$ et $(-2,0)$. - En $t=\tfrac{\pi}{4}$ : $M=(\sqrt{2},\sqrt{2})$, pente $\dfrac{y'}{x'}=\dfrac{2\cos(\pi/4)}{-2\sin(\pi/4)}=-1$.
Tangente : $y-\sqrt{2}=-(x-\sqrt{2})$ → $\boxed{y=-x+2\sqrt{2}}$
Élimination du paramètre — parabole
Exercice 2 — Élimination et parabole
$$\begin{cases}x(t)=t^2\\y(t)=2t\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}$$1. Éliminer $t$ et reconnaître la courbe.
2. Calcul de $\dfrac{dy}{dx}$. Tangente en $t=1$.
3. Points de rebroussement éventuels.
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- $t=\dfrac{y}{2}$ → $x=\dfrac{y^2}{4}$ → $\boxed{y^2=4x}$ : parabole de sommet O, axe $Ox$.
- $x'=2t$, $y'=2$ → $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{2t}=\dfrac{1}{t}$.
En $t=1$ : $M=(1,2)$, pente $=1$ → tangente $\boxed{y=x+1}$. - En $t=0$ : $x'=0$ et $y'=2\ne0$ → tangente verticale, pas de rebroussement. La courbe est régulière.
Étude complète — ellipse
Exercice 3 — Étude d'une ellipse
$$\begin{cases}x(t)=3\cos t\\y(t)=2\sin t\end{cases},\quad t\in[0\,;\,2\pi]$$1. Éliminer $t$ : reconnaître la courbe. Demi-axes.
2. Symétries. Points d'intersection avec les axes.
3. Tangentes horizontales et verticales. Tableau de variation.
4. Tracer l'ellipse et indiquer les foyers $F_1$, $F_2$ ($c=\sqrt{a^2-b^2}$).
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- $\cos t=\dfrac{x}{3}$, $\sin t=\dfrac{y}{2}$ → $\boxed{\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1}$ : ellipse, $a=3$, $b=2$.
- Symétrie par rapport aux deux axes. Points : $(\pm3,0)$ et $(0,\pm2)$.
- $x'=-3\sin t$, $y'=2\cos t$.
H ($y'=0$) : $t=\frac{\pi}{2}$, $t=\frac{3\pi}{2}$ → $(0,\pm2)$.
V ($x'=0$) : $t=0$, $t=\pi$ → $(\pm3,0)$. - $c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}\approx2{,}24$ → foyers $F_1(-\sqrt{5},0)$ et $F_2(\sqrt{5},0)$.
Cycloïde — courbe remarquable
Exercice 4 — Cycloïde
Un cercle de rayon $r=1$ roule sans glisser sur l'axe $Ox$. Un point du cercle trace une cycloïde :
$$\begin{cases}x(t)=t-\sin t\\y(t)=1-\cos t\end{cases},\quad t\in[0\,;\,4\pi]$$1. Points de rebroussement (chercher $x'=y'=0$).
2. Tangente en $t=\pi$. 3. Longueur d'un arc ($L=\int_0^{2\pi}\sqrt{x'^2+y'^2}\,dt$).
4. Aire sous un arc ($A=\int_0^{2\pi}y(t)\,x'(t)\,dt$).
Spirale d'Archimède — coordonnées polaires
Exercice 5 — Spirale d'Archimède
En coordonnées polaires : $\rho=\theta$ ($\theta\geq0$), ce qui donne en paramétrique :
$$\begin{cases}x(\theta)=\theta\cos\theta\\y(\theta)=\theta\sin\theta\end{cases}$$1. Tracer pour $\theta\in[0\,;\,4\pi]$. 2. Tangente en $\theta=\dfrac{\pi}{2}$. 3. Longueur pour $\theta\in[0\,;\,2\pi]$. 4. Aire du premier tour.
Astroïde et rose polaire — niveau Bac
Exercice 6 — Astroïde et rose à 4 pétales
Partie A — Astroïde ($a=2$) :
$$\begin{cases}x=2\cos^3t\\y=2\sin^3t\end{cases}$$1. Points de rebroussement. 2. Longueur totale ($L=6a$). 3. Aire intérieure ($A=\frac{3\pi a^2}{8}$).
Partie B — Rose polaire : $\rho=\cos(2\theta)$, $\theta\in[0\,;\,2\pi]$.
4. Tracer et compter les pétales. 5. Aire d'un pétale.