Terminale S1-S3 · Leçon 18
Coniques
Exercices corrigés
Parabole — foyer, directrice et équation réduite
Exercice 4 — Construire une parabole à partir de son foyer
On cherche la parabole de sommet $O$, d'axe focal $(Ox)$, dont le foyer est $F(2\,;0)$.
1. Déterminer le paramètre $p$.
2. Donner l'équation réduite de la parabole.
3. Donner l'équation de la directrice.
4. Le point $M(2\,;4)$ appartient-il à cette parabole ?
Voir le corrigé
- Paramètre p
Le foyer d'une parabole $y^2=2px$ de sommet $O$ est $F\left(\dfrac{p}{2}\,;0\right)$. Ici $\dfrac{p}{2}=2$, donc $p=4$. - Équation réduite
$$y^2 = 2px = 8x.$$ - Directrice
La directrice a pour équation $x=-\dfrac{p}{2} = -2$. - Appartenance de M
Pour $M(2\,;4)$ : $y^2=4^2=16$ et $8x=8\times2=16$. Les deux valeurs coïncident, donc $M$ appartient bien à la parabole.
Ellipse — équation réduite à partir des foyers
Exercice 5 — Construire une ellipse à partir de ses foyers
On cherche l'ellipse de foyers $F(3\,;0)$ et $F'(-3\,;0)$, telle que pour tout point $M$ de l'ellipse, $MF+MF'=10$.
1. Donner les valeurs de $c$ et de $a$.
2. Calculer $b^2$.
3. Donner l'équation réduite de l'ellipse.
4. Calculer l'excentricité $e$.
Voir le corrigé
- c et a
La distance entre les foyers vaut $2c=6$, donc $c=3$. La somme $MF+MF'=2a=10$, donc $a=5$. - Calcul de b²
$$b^2 = a^2-c^2 = 25-9 = 16.$$ - Équation réduite
$$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1.$$ - Excentricité
$$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6.$$
Hyperbole — éléments caractéristiques et asymptotes
Exercice 6 — Étudier une hyperbole
Soit l'hyperbole d'équation réduite $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$.
1. Donner les valeurs de $a$ et $b$.
2. Calculer $c$.
3. Donner les foyers et l'excentricité.
4. Donner les équations des asymptotes.