Équations Différentielles

Exercice 1 — $y'=2y$

1. Vérifier $y=Ce^{2x}$ est solution.  2. Solution avec $y(0)=3$.  3. Toutes les solutions de $y'=-y$.

Exercice 2 — $y'+2y=6$

1. Équation homogène $(H)$  2. Solution particulière constante  3. Solution générale  4. Solution avec $y(0)=1$, limite en $+\infty$

Exercice 3 — Variables séparables

A. Résoudre $y'=xy$, $y(0)=2$.

B. Refroidissement de Newton : $T'=-0{,}1(T-20)$, $T(0)=80$°C. Trouver $T(t)$ et $T(10)$.

Exercice 4 — Équation caractéristique

1. $y''-5y'+6y=0$ ($\Delta>0$)  2. $y''-4y'+4y=0$ ($\Delta=0$)  3. $y''-2y'+5y=0$ ($\Delta<0$)

Exercice 5 — $y''-3y'+2y=4e^{3x}$

1. Résoudre $(H)$  2. $y_p=Ae^{3x}$  3. Solution générale  4. $y(0)=0$, $y'(0)=1$

Exercice 6 — Cauchy et circuit RC

A. $\begin{cases}y'-y=e^x\\y(0)=1\end{cases}$ — chercher $y_p=axe^x$

B. $RC\,u'+u=12$, $R=1000\,\Omega$, $C=10^{-3}\,\text{F}$, $u(0)=0$. Résoudre, calculer $u(1)$, quand $u>11$ V ?

On considère l'équation différentielle \((E)\) : \(y'+2y=0\), où \(y\) est une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\). Le plan est muni d'un repère orthonormé.

1) Résous l'équation \((E)\).

2) On note \(f\) la solution de \((E)\) dont la courbe admet, au point d'abscisse 0, une tangente passant par le point \(A(1\,;-3)\). Démontre que \(f(x)=3e^{-2x}\) et donne une équation de cette tangente.

3) Étudie le sens de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\), puis détermine sa limite en \(+\infty\) et interprète graphiquement cette limite.

4) Résous l'équation \(f(x)=\dfrac{3}{4}\). On note \(\alpha\) sa solution.

5) Sans chercher de primitive à partir de l'expression de \(f\), démontre à l'aide de l'équation \((E)\) que \(\displaystyle\int_0^{\alpha}f(x)\,dx=\dfrac{f(0)-f(\alpha)}{2}\). Calcule cette intégrale et interprète le résultat comme une aire.

À l'instant \(t=0\), une infirmière injecte 120 milligrammes d'un médicament à un patient. On note \(q(t)\) la quantité de médicament, en milligrammes, présente dans le sang à l'instant \(t\), exprimé en heures. L'organisme élimine le médicament à une vitesse proportionnelle à la quantité présente : la fonction \(q\) vérifie \(q'=-\lambda q\) sur \([0\,;+\infty[\), où \(\lambda\) est un réel strictement positif.

1) Exprime \(q(t)\) en fonction de \(t\) et de \(\lambda\), en justifiant que cette fonction est la seule possible.

2) Un dosage montre qu'il reste 30 milligrammes au bout de 4 heures. Démontre que \(\lambda=\dfrac{\ln 2}{2}\).

3) Démontre qu'il existe une durée \(T\), que tu calculeras, telle que \(q(t+T)=\dfrac{1}{2}q(t)\) pour tout instant \(t\). Que représente cette durée ?

4) À partir de quel instant la quantité présente est-elle inférieure à \(7{,}5\) milligrammes ?

5) En réalité, l'infirmière renouvelle l'injection de 120 milligrammes toutes les 4 heures. On note \(u_n\) la quantité présente juste après la \(n\)-ième injection, de sorte que \(u_1=120\). Justifie que \(u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+120\) pour tout entier \(n\geq 1\), puis calcule \(u_2\) et \(u_3\).

6) On pose \(v_n=u_n-160\). Démontre que la suite \((v_n)\) est géométrique, exprime \(u_n\) en fonction de \(n\) et détermine la limite de \((u_n)\). La quantité présente ne doit jamais dépasser 170 milligrammes : cette consigne est-elle respectée ?

Un bassin d'irrigation, d'une capacité de 80 mètres cubes, contient 10 mètres cubes d'eau à l'instant \(t=0\). Une pompe y déverse 12 mètres cubes par heure. En même temps, l'eau s'écoule vers les parcelles par une vanne dont le débit, en mètres cubes par heure, est égal au cinquième du volume présent. On note \(V(t)\) le volume d'eau, en mètres cubes, à l'instant \(t\), exprimé en heures. La fonction \(V\) vérifie donc sur \([0\,;+\infty[\) l'équation \((E)\) : \(V'=-\dfrac{1}{5}V+12\).

1) Détermine la fonction constante qui est solution de \((E)\). On note \(c\) sa valeur.

2) On pose \(z=V-c\). Démontre que \(V\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(z\) est solution de l'équation \(z'=-\dfrac{1}{5}z\).

3) Résous l'équation \(z'=-\dfrac{1}{5}z\), puis démontre que \(V(t)=60-50e^{-\frac{t}{5}}\).

4) Étudie le sens de variation de \(V\) et sa limite en \(+\infty\). Interprète ces résultats : le bassin risque-t-il de déborder ?

5) Au bout de combien de temps le bassin contient-il 35 mètres cubes ? Donne la valeur exacte, puis une valeur approchée en heures et minutes.

Un objet suspendu à un ressort oscille verticalement, sans frottement. On note \(x(t)\) son écart, en centimètres, par rapport à sa position d'équilibre à l'instant \(t\), exprimé en secondes ; sa vitesse est \(x'(t)\). La fonction \(x\) vérifie l'équation différentielle \((E)\) : \(x''+4x=0\). On admet que les solutions de \((E)\) sont exactement les fonctions \(t\mapsto A\cos(2t)+B\sin(2t)\), où \(A\) et \(B\) sont des réels. À l'instant 0, l'objet se trouve à 3 centimètres de sa position d'équilibre et sa vitesse est de 6 centimètres par seconde : \(x(0)=3\) et \(x'(0)=6\).

1) Vérifie par le calcul que toute fonction \(t\mapsto A\cos(2t)+B\sin(2t)\) est bien solution de \((E)\).

2) Détermine l'expression de \(x(t)\).

3) Démontre que, pour tout réel \(t\), \(x(t)=3\sqrt{2}\cos\left(2t-\dfrac{\pi}{4}\right)\). Déduis-en l'écart maximal de l'objet par rapport à sa position d'équilibre et la période des oscillations.

4) Détermine le premier instant \(t\gt 0\) où l'objet passe par sa position d'équilibre, et calcule sa vitesse à cet instant.

5) On pose \(W(t)=\left(x'(t)\right)^2+4\left(x(t)\right)^2\). Démontre, à l'aide de l'équation \((E)\), que la fonction \(W\) est constante, calcule sa valeur et retrouve ainsi l'écart maximal obtenu à la question 3.