Terminale D

Bac D 2021 — 1er tour

Annale officielleDurée 4 hSur 20 points5 parties corrigées

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Dans ce sujet

1Exercice 1 — Équations différentielles4 pts · 4 questions corrigées
À revoir : Fonction Exponentielle, Équations Différentielles
2Exercice 2 — Suites4 pts · 4 questions corrigées
À revoir : Les Suites Numériques, Logarithme Népérien
3Problème — Partie A12 pts · 3 questions corrigées
À revoir : Les Fonctions Numériques
4Problème — Partie B4 questions corrigées
À revoir : Les Fonctions Numériques, Fonction Exponentielle
5Problème — Partie C1 question corrigée
À revoir : Calcul Intégral

Corrigé détaillé

La correction de la première question est en accès libre ; la suite est réservée aux abonnés.

Exercice 1 — Équations différentielles 4 pts

$(E): 2y'+y=0$ $(E'): 2y'+y=(x+2)e^{-x/2}$

1) Résolution de $(E): 2y'+y=0$

$2y'=-y$ → $\dfrac{y'}{y}=-\dfrac{1}{2}$ → $\ln|y|=-\dfrac{x}{2}+k$ → $y=Ce^{-x/2}$.

Solutions de $(E)$ : $y=Ce^{-\frac{x}{2}}$, $C\in\mathbb{R}$

2) Solution particulière $f(x)=(ax^2+bx)e^{-x/2}$ de $(E')$

3) $g$ solution de $(E')$ $\Leftrightarrow$ $g-f$ solution de $(E)$

4) Solution générale de $(E')$

Exercice 2 — Suites 4 pts

$u_1=\dfrac{1}{2}$, $u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_n^2$, $v_n=\ln\!\left(\dfrac{u_n}{3}\right)$

1) $u_n > 0$ pour tout $n\geq1$ — récurrence

2) $(v_n+\ln2)$ est géométrique de raison $2$

3) Expressions de $v_n$ et $u_n$

4) Somme $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n v_k$ et produit $P_n=\displaystyle\prod_{k=1}^n u_k$

Problème — Partie A 12 pts

$h(x)=e^x-2x-1$

1) Variations de $h$

2) Deux zéros : $x=0$ et $\alpha\in\,]1\,;\,2[$

3) Signe de $h(x)$

Problème — Partie B

$f(x)=(2x+3)e^{-x}+x-1$
Données : $e\approx2{,}72$ ; $\ln2\approx0{,}69$.

1) Limites de $f$

2) $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ — branche parabolique

3) $f'(x)=e^{-x}h(x)$ et variations de $f$

4) Asymptote $(\Delta):y=x-1$ et position de $(C)$

Problème — Partie C

Aire de $\mathbb{D}$ délimitée par $Oy$, $(\Delta):y=x-1$, $(C)$ et la droite $x=2$.