Trigonométrie

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) En écrivant $105°=45°+60°$, la valeur exacte de $\cos(105°)$ est :
a) $\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$   b) $\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}$   c) $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$   d) $\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}$

2) Sachant $\sin a=\dfrac45$ avec $a\in\left[0;\dfrac\pi2\right]$, la valeur de $\cos(2a)$ est :
a) $\dfrac{7}{25}$   b) $-\dfrac{7}{25}$   c) $\dfrac{9}{25}$   d) $-\dfrac{9}{25}$

3) La forme linéarisée de $\cos^2x$ est :
a) $\dfrac{1+\cos(2x)}{2}$   b) $\dfrac{1-\cos(2x)}{2}$   c) $1+\cos(2x)$   d) $\dfrac{\cos(2x)}{2}$

4) Pour écrire $\cos x+\sqrt3\sin x$ sous la forme $R\cos(x-\varphi)$, la valeur de $R$ est :
a) $2$   b) $\sqrt3$   c) $4$   d) $1$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) L'ensemble des solutions réelles de $\cos(x)=\cos\!\left(\dfrac\pi5\right)$ est :
a) $x=\dfrac\pi5+2k\pi$ uniquement, $k\in\mathbb Z$   b) $x=\dfrac\pi5+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi5+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$   c) $x=\dfrac\pi5+k\pi$, $k\in\mathbb Z$   d) $x=\dfrac{2\pi}5+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$

2) Dans un triangle $ABC$ (notations usuelles $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$), la loi des cosinus s'écrit :
a) $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A$   b) $a^2=b^2+c^2+2bc\cos\widehat A$   c) $a^2=b^2-c^2-2bc\cos\widehat A$   d) $a=b+c-2bc\cos\widehat A$

3) Un triangle a pour côtés $b=6$, $c=8$ et un angle $\widehat A=90°$ entre eux. Par la loi des cosinus, le troisième côté $a$ vaut :
a) $10$   b) $14$   c) $2$   d) $100$

4) L'aire d'un triangle avec $b=4$, $c=6$ et $\widehat A=30°$ vaut :
a) $6$   b) $12$   c) $24$   d) $3$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un ingénieur de la SONABEL étudie la tension instantanée d'une ligne électrique alimentant un quartier. Cette tension, en volts, est modélisée par $u(t)=100\cos(t)+100\sqrt3\sin(t)$, où $t$ est un temps exprimé en radians.

Pour dimensionner correctement les protections électriques du réseau, l'ingénieur a besoin de connaître la tension maximale atteinte par la ligne au cours du temps.

Consigne : Écrire $u(t)$ sous la forme $R\cos(t-\varphi)$ avec $R>0$ et $\varphi\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, en déduire la tension maximale atteinte par la ligne, et donner la plus petite valeur positive de $t$ pour laquelle ce maximum est atteint.

Problème — On pose $f(x)=\cos^2x-\sin^2x+2\sin x\cos x$ pour $x\in\mathbb R$.

Partie A. 1) Montrer, à l'aide des formules de duplication, que $f(x)=\cos(2x)+\sin(2x)$. 2) Écrire $\cos(2x)+\sin(2x)$ sous la forme $R\cos(2x-\varphi)$ avec $R>0$ et $\varphi\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$. 3) En déduire les valeurs maximale et minimale de $f$ sur $\mathbb R$, ainsi qu'une valeur de $x$ pour laquelle le maximum est atteint.

Partie B. Résoudre dans $[0;2\pi[$ l'équation $f(x)=1$.

Problème.

Partie A. Résoudre dans $[0;2\pi[$ l'équation $2\cos(x)-\sqrt3=0$.

Partie B. Un triangle $ABC$ vérifie $AB=c=10$, $AC=b=14$, et l'angle $\widehat{BAC}=A$ tel que $\cos A=\dfrac12$ (déduit d'une mesure de terrain, et cohérent avec l'une des solutions trouvées en Partie A ramenée en degrés). 1) Donner la valeur exacte de l'angle $\widehat A$ en degrés. 2) Calculer $BC=a$. 3) En déduire l'aire du triangle $ABC$ (on donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée au dixième).