Suites numériques

Énoncé. a) La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=2u_n+3\). Calculer \(u_1\) à \(u_5\), puis étudier le sens de variation de la suite. b) On place 100 000 francs sur un compte qui rapporte 5 % par an, et l'on y ajoute 20 000 francs à la fin de chaque année. On note \(c_n\) le capital après \(n\) années. Écrire la relation de récurrence et calculer \(c_3\).

Solution : a) \(u_1=2\times 1+3=5\) ; \(u_2=2\times 5+3=13\) ; \(u_3=2\times 13+3=29\) ; \(u_4=2\times 29+3=61\) ; \(u_5=2\times 61+3=125\).

Pour tout \(n\), \(u_{n+1}-u_n=2u_n+3-u_n=u_n+3\). Or tous les termes sont positifs : le premier l'est, et chaque terme s'obtient à partir du précédent en le multipliant par 2 et en ajoutant 3. Donc \(u_{n+1}-u_n\gt 0\) : la suite est croissante.

b) Chaque année, le capital est multiplié par 1,05, puis augmenté de 20 000 : \(c_0=100\,000\) et \(c_{n+1}=1{,}05\,c_n+20\,000\). On calcule \(c_1=125\,000\), \(c_2=1{,}05\times 125\,000+20\,000=151\,250\), puis \(c_3=1{,}05\times 151\,250+20\,000=178\,812{,}5\). Après trois ans, le capital est de 178 812,5 francs.

Énoncé. La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=0{,}5\,u_n+2\). a) Calculer \(u_1\) à \(u_5\). b) Que suggère la construction en escalier de la figure ci-dessus ? c) Que devient la suite si l'on prend \(u_0=4\) ? et \(u_0=6\) ?

Solution : a) \(u_1=0{,}5\times 1+2=2{,}5\) ; \(u_2=0{,}5\times 2{,}5+2=3{,}25\) ; \(u_3=3{,}625\) ; \(u_4=3{,}8125\) ; \(u_5=3{,}90625\).

b) Les termes reportés sur l'axe des abscisses avancent vers la droite : la suite semble croissante. Les marches sont de plus en plus petites et les termes s'approchent de 4, abscisse du point d'intersection des deux droites, sans le dépasser. Le calcul du a) va dans le même sens. Ce sont des observations : le graphique ne constitue pas une démonstration.

c) L'équation \(f(x)=x\) s'écrit \(0{,}5x+2=x\), soit \(x=4\). Avec \(u_0=4\), on trouve \(u_1=0{,}5\times 4+2=4\), puis \(u_2=4\)… : la suite est constante. Avec \(u_0=6\), on obtient \(u_1=5\), \(u_2=4{,}5\), \(u_3=4{,}25\) : cette fois les termes diminuent en s'approchant de 4. Le premier terme change le comportement de la suite.

Énoncé. On reprend la suite définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=0{,}5\,u_n+2\). Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(v_n=u_n-4\). a) Montrer que la suite \((v_n)\) est géométrique. b) En déduire l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\), puis calculer \(u_{10}\).

Solution : a) Pour tout \(n\), \(v_{n+1}=u_{n+1}-4=0{,}5\,u_n+2-4=0{,}5\,u_n-2=0{,}5\,(u_n-4)=0{,}5\,v_n\). La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison 0,5 ; son premier terme est \(v_0=u_0-4=-3\).

b) On en déduit \(v_n=-3\times 0{,}5^{\,n}\), puis \(u_n=v_n+4\), c'est-à-dire

Vérification : pour \(n=1\), la formule donne \(4-1{,}5=2{,}5\), valeur trouvée à l'exemple 2. Enfin \(u_{10}=4-\dfrac{3}{1024}\approx 3{,}997\). On a obtenu \(u_{10}\) sans calculer les neuf termes qui le précèdent : c'est tout l'intérêt d'une formule explicite. Le nombre 4 retranché n'est pas choisi au hasard : c'est la solution de \(f(x)=x\).

Énoncé. Calculer \(\displaystyle S_1=\sum_{k=1}^{20}(3k+1)\), \(\displaystyle S_2=\sum_{k=0}^{9}2^k\), puis exprimer \(\displaystyle T_n=\sum_{k=0}^{n}\left(\frac12\right)^k\) en fonction de \(n\).

Solution : \(S_1\) est une somme de termes d'une suite arithmétique de raison 3 ; elle compte \(20-1+1=20\) termes, de 4 à 61. Donc \(S_1=20\times\dfrac{4+61}{2}=650\).

\(S_2=1+2+\dots+2^9=\dfrac{1-2^{10}}{1-2}=2^{10}-1=1023\). Enfin \(T_n=\dfrac{1-\left(\frac12\right)^{n+1}}{1-\frac12}=2\left(1-\left(\dfrac12\right)^{n+1}\right)\).

Énoncé. Étudier la convergence des suites définies pour \(n\ge 1\) par \(u_n=\dfrac{2n+1}{n+3}\), \(v_n=3-\left(\dfrac12\right)^n\), \(w_n=(-1)^n\), \(a_n=\dfrac{(-1)^n}{n}\) et \(T_n\) de l'exemple 1.

Solution : \(u_n=\dfrac{2n+6-5}{n+3}=2-\dfrac{5}{n+3}\), et \(\dfrac5{n+3}\) tend vers 0 : \((u_n)\) converge vers 2. Comme \(-1\lt\dfrac12\lt 1\), \(\left(\frac12\right)^n\) tend vers 0, donc \((v_n)\) converge vers 3, et \((T_n)\) converge vers 2.

\((w_n)\) vaut 1 pour \(n\) pair et \(-1\) pour \(n\) impair : elle ne se rapproche d'aucun nombre, elle diverge, bien qu'elle soit bornée. Enfin \(-\dfrac1n\le a_n\le\dfrac1n\), et les deux suites qui encadrent convergent vers 0 : \((a_n)\) converge vers 0.

Énoncé. a) Trouver les réels \(x\) tels que 2, \(x\), 18 soient en progression géométrique. b) Trouver trois nombres en progression arithmétique dont la somme vaut 15 et le produit 80.

Solution : a) La condition est \(x^2=2\times 18=36\), donc \(x=6\) ou \(x=-6\). Raisons : \(\dfrac62=\dfrac{18}6=3\) dans le premier cas, \(-3\) dans le second.

b) On écrit les nombres \(b-r\), \(b\), \(b+r\). Leur somme \(3b=15\) donne \(b=5\). Leur produit vaut \(5(5-r)(5+r)=5(25-r^2)=80\), soit \(r^2=9\) et \(r=3\) ou \(r=-3\). Les nombres sont 2, 5, 8 (ou 8, 5, 2 dans l'autre ordre). Contrôle : \(2+5+8=15\) et \(2\times5\times8=80\).