Première S2-S4-S5 · Leçon 3
Continuité
Ce que dit le programme officiel (7 points)
- Continuité en un point : f est continue en a si f(a) existe, si f a une limite en a et si cette limite vaut f(a) ; illustration graphique
- Continuité à droite, continuité à gauche
- Continuité sur un intervalle : définition ; opérations sur les fonctions continues sur un intervalle
- Fonctions continues usuelles (admis) : polynômes, fonctions rationnelles, racines carrées, fonctions homographiques sont continues sur leur ensemble de définition
- Théorème admis : l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle
- Théorème admis : si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors f est une bijection de I sur f(I)
- Démontrer qu’une fonction est continue en un point, à droite, à gauche, sur un intervalle ; reconnaître graphiquement une fonction continue (lien avec le tracé continu de la courbe)
Source : Programme de mathématiques, Premières S2 et S4 (Sénégal), octobre 2006
Continuité en un point et sur un intervalle, types de discontinuité
Intuitivement, une fonction est continue sur un intervalle si l'on peut tracer sa courbe sur cet intervalle sans lever le crayon. Cette image est utile, mais elle ne suffit pas pour démontrer : on définit la continuité à l'aide des limites. La continuité sert ensuite à justifier l'existence de solutions d'équations et à étudier des fonctions définies « par morceaux », c'est-à-dire par des formules différentes selon les valeurs de \(x\).
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(x_0\) un réel de \(I\).
- \(f\) est continue en \(x_0\) lorsque \(f\) admet une limite en \(x_0\) et que cette limite est égale à \(f(x_0)\) : \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\).
- Lorsque \(x_0\) n'est pas une borne de \(I\), cela revient à dire que la limite à gauche et la limite à droite en \(x_0\) existent et sont toutes deux égales à \(f(x_0)\) : \(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)\).
- \(f\) est continue sur l'intervalle \(I\) lorsqu'elle est continue en chaque point de \(I\).
Sinon, on dit que \(f\) est discontinue en \(x_0\). On ne parle de continuité qu'en un point où la fonction est définie.
- Les fonctions polynômes sont continues sur \(\mathbb{R}\).
- Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition. Par exemple, \(x\mapsto\dfrac1x\) est continue sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\) ; elle n'est pas définie en \(0\), donc la question de la continuité en \(0\) ne se pose pas.
- La fonction \(x\mapsto\sqrt x\) est continue sur \([0\,;+\infty[\), et les fonctions \(x\mapsto\cos x\) et \(x\mapsto\sin x\) sont continues sur \(\mathbb{R}\).
- La somme, le produit et le quotient (quand le dénominateur ne s'annule pas) de fonctions continues sont continus.
Conséquence pratique : pour une fonction définie par une seule formule polynôme ou rationnelle, la continuité est acquise sur chaque intervalle où elle est définie. Le travail porte sur les points de « raccord » d'une fonction définie par morceaux.
Types de discontinuité. En un point \(x_0\) où \(f\) est définie, une discontinuité peut se produire de deux façons principales :
- discontinuité par saut : les limites à gauche et à droite existent mais sont différentes (exemple 2 ci-dessous) ;
- valeur isolée : les limites à gauche et à droite sont égales, mais différentes de \(f(x_0)\) (voir le piège).
Il arrive aussi qu'une limite à gauche ou à droite soit infinie : la fonction n'a alors pas de limite finie en \(x_0\) et ne peut pas y être continue.
Soit \(f\) définie par \(f(x)=u(x)\) si \(x\lt x_0\) et \(f(x)=v(x)\) si \(x\ge x_0\), avec \(u\) et \(v\) continues.
- Calcule \(f(x_0)\) avec la formule qui contient \(x_0\) : ici \(f(x_0)=v(x_0)\).
- Calcule la limite à gauche : \(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}u(x)=u(x_0)\), car \(u\) est continue.
- Calcule la limite à droite : \(\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=v(x_0)\).
- Conclus : \(f\) est continue en \(x_0\) si et seulement si ces trois nombres sont égaux.
Si un paramètre intervient dans une formule, écris l'égalité des limites et résous l'équation obtenue pour trouver la valeur qui rend \(f\) continue.
Énoncé : Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x+1\) si \(x\lt 1\) et \(f(x)=3-x\) si \(x\ge1\). Étudie la continuité de \(f\) en \(1\), puis sur \(\mathbb{R}\).
Solution : On a \(f(1)=3-1=2\). Limite à gauche : \(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2\). Limite à droite : \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to1}(3-x)=2\). Les trois valeurs sont égales, donc \(f\) est continue en \(1\).
Sur \(]-\infty\,;1[\) et sur \(]1\,;+\infty[\), \(f\) est définie par un polynôme, donc elle est continue. Avec la continuité en \(1\), \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) : sa courbe est formée de deux demi-droites qui se rejoignent au point \((1\,;2)\).
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Voir les offresDiscontinuité par saut de \(g\) en \(2\)
Le point plein \((2\,;4)\) appartient à la courbe ; le point vide \((2\,;3)\) n'en fait pas partie. Il faut lever le crayon en \(x=2\) : \(g\) n'est pas continue en \(2\).
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Voir les offresUne fonction peut avoir des limites à gauche et à droite égales sans être continue. Soit \(k\) définie par \(k(x)=x+1\) si \(x\neq1\) et \(k(1)=5\). On a \(\lim\limits_{x\to1^-}k(x)=\lim\limits_{x\to1^+}k(x)=2\), mais \(k(1)=5\neq2\) : \(k\) n'est pas continue en \(1\). Sa courbe est la droite \(y=x+1\) privée du point \((1\,;2)\), plus un point isolé \((1\,;5)\). Il faut toujours comparer les limites à la valeur \(f(x_0)\).
Autre erreur fréquente : dire que \(x\mapsto\dfrac1x\) est « discontinue en \(0\) ». Elle n'est pas définie en \(0\) ; elle est continue sur chacun des intervalles où elle est définie.
À un point de raccord \(x_0\), écris toujours trois lignes : la valeur \(f(x_0)\), la limite à gauche, la limite à droite. Conclus ensuite en une phrase. Cette présentation montre au correcteur que tu as vérifié les trois conditions, et elle évite de confondre la formule valable à gauche et celle valable à droite.
Théorème des valeurs intermédiaires
La courbe d'une fonction continue sur un intervalle se trace sans lever le crayon. Si elle part d'un point situé sous une droite horizontale et arrive à un point situé au-dessus, elle coupe forcément cette droite. Cette idée simple porte un nom : le théorème des valeurs intermédiaires. Il permet d'affirmer qu'une équation a une solution, même quand on ne sait pas la calculer.
Soit \(f\) une fonction et \(I\) un intervalle contenu dans son ensemble de définition. L'image de \(I\) par \(f\), notée \(f(I)\), est l'ensemble de tous les nombres \(f(x)\) lorsque \(x\) décrit \(I\).
Théorème (admis). L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Cas d'un intervalle fermé borné (admis). Si \(f\) est continue sur \([a\,;b]\), alors \(f\) possède sur \([a\,;b]\) un minimum \(m\) et un maximum \(M\), et
\[f([a\,;b])=[m\,;M].\]Attention : \(m\) et \(M\) ne sont pas toujours \(f(a)\) et \(f(b)\). Pour la fonction carré sur \([-1\,;2]\), on a \(f(-1)=1\) et \(f(2)=4\), mais l'image est \([0\,;4]\), car le minimum 0 est atteint en 0.
Cas d'une fonction monotone. Si \(f\) est continue et croissante sur \([a\,;b]\), alors \(f([a\,;b])=[f(a)\,;f(b)]\). Si elle est continue et décroissante sur \([a\,;b]\), alors \(f([a\,;b])=[f(b)\,;f(a)]\).
Théorème. Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \([a\,;b]\). Pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c\) de \([a\,;b]\) tel que \(f(c)=k\).
Autrement dit, l'équation \(f(x)=k\) a au moins une solution dans \([a\,;b]\) : la fonction ne peut pas passer de \(f(a)\) à \(f(b)\) sans prendre toutes les valeurs intermédiaires. C'est une conséquence du théorème précédent : \(f([a\,;b])\) est un intervalle qui contient \(f(a)\) et \(f(b)\), donc tous les nombres compris entre eux.
Forme générale. Si \(f\) est continue sur \([a\,;b]\), de minimum \(m\) et de maximum \(M\), alors tout réel \(k\) de \([m\,;M]\) admet au moins un antécédent par \(f\) dans \([a\,;b]\).
Cas particulier très utilisé. Si \(f\) est continue sur \([a\,;b]\) et si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes contraires, c'est-à-dire \(f(a)\times f(b)\lt 0\), alors l'équation \(f(x)=0\) a au moins une solution dans \(]a\,;b[\).
Unicité. Si, de plus, \(f\) est strictement monotone sur \([a\,;b]\), la solution est unique : une fonction strictement croissante (ou strictement décroissante) ne prend jamais deux fois la même valeur.
Pour l'existence. On écrit l'équation sous la forme \(f(x)=k\) (souvent \(f(x)=0\), en regroupant tout dans un seul membre). Puis on rédige trois points :
- la fonction \(f\) est continue sur \([a\,;b]\) (somme, produit ou composée de fonctions continues) ;
- on calcule \(f(a)\) et \(f(b)\) ;
- \(k\) est compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\).
On conclut par le théorème des valeurs intermédiaires. Si l'on connaît le minimum \(m\) et le maximum \(M\) de \(f\) sur \([a\,;b]\), il suffit de vérifier que \(k\) appartient à \([m\,;M]\).
Pour l'unicité. On montre que \(f\) est strictement monotone sur \([a\,;b]\), par exemple parce qu'elle est la somme de deux fonctions strictement croissantes.
Pour encadrer la solution. On calcule l'image du milieu de l'intervalle : selon son signe, la solution est dans la moitié gauche ou dans la moitié droite. On recommence dans cette moitié. On peut aussi balayer l'intervalle avec la calculatrice, avec un pas de 0,1 puis de 0,01, et repérer le changement de signe.
Énoncé. Soit \(f(x)=x^3+x-1\). a) Montrer que l'équation \(f(x)=0\) a une solution unique \(\alpha\) dans \([0\,;1]\). b) Donner un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude 0,01.
Solution : a) \(f\) est une fonction polynôme, donc elle est continue sur \([0\,;1]\). On calcule \(f(0)=-1\) et \(f(1)=1\). Le nombre 0 est compris entre \(-1\) et \(1\) : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(f(x)=0\) a au moins une solution dans \([0\,;1]\).
Les fonctions \(x\mapsto x^3\) et \(x\mapsto x-1\) sont strictement croissantes sur \([0\,;1]\) ; leur somme \(f\) l'est aussi. La solution est donc unique. On la note \(\alpha\).
b) \(f(0{,}5)=-0{,}375\) est négatif et \(f(1)\) est positif : \(\alpha\) est dans \(]0{,}5\,;1[\). Puis \(f(0{,}75)\approx 0{,}172\) est positif : \(\alpha\) est dans \(]0{,}5\,;0{,}75[\). En balayant avec un pas de 0,01, on trouve \(f(0{,}68)\approx -0{,}006\) et \(f(0{,}69)\approx 0{,}019\). Ces deux images sont de signes contraires, donc
\[0{,}68\lt\alpha\lt 0{,}69.\]Figure — La courbe de l'exemple 1 coupe l'axe des abscisses
En bleu marine, la courbe de la fonction f de l'exemple 1 sur l'intervalle [0 ; 1]. Elle part du point A(0 ; −1), situé sous l'axe des abscisses, et arrive au point B(1 ; 1), situé au-dessus. Comme elle se trace sans lever le crayon, elle coupe l'axe : le point marqué en or a pour abscisse la solution α, comprise entre 0,68 et 0,69.
Énoncé. Soit \(g(x)=x^2-2x\) sur \([0\,;3]\). a) Déterminer l'image de \([0\,;3]\) par \(g\). b) Les réels 2, \(-0{,}5\) et 4 ont-ils un antécédent par \(g\) dans \([0\,;3]\) ?
Solution : a) \(g(x)=(x-1)^2-1\). La fonction \(g\) est donc décroissante sur \([0\,;1]\) et croissante sur \([1\,;3]\) : son minimum sur \([0\,;3]\) est \(g(1)=-1\). Comme \(g(0)=0\) et \(g(3)=3\), son maximum est 3. La fonction \(g\) est continue sur \([0\,;3]\), donc \(g([0\,;3])=[-1\,;3]\).
b) Le réel 2 appartient à \([-1\,;3]\) : il a au moins un antécédent dans \([0\,;3]\). On peut ici le calculer : \((x-1)^2=3\) donne \(x=1+\sqrt3\approx 2{,}73\) (l'autre valeur, \(1-\sqrt3\), est négative).
Le réel \(-0{,}5\) appartient aussi à \([-1\,;3]\) : il a au moins un antécédent. En fait il en a deux, car \((x-1)^2=0{,}5\) donne \(x=1-\dfrac{\sqrt2}{2}\approx 0{,}29\) et \(x=1+\dfrac{\sqrt2}{2}\approx 1{,}71\), tous deux dans \([0\,;3]\). Le théorème dit « au moins un », pas « un seul ».
Le réel 4 n'appartient pas à \([-1\,;3]\) : il n'a aucun antécédent dans \([0\,;3]\). (L'équation \(g(x)=4\) a bien une solution positive, \(1+\sqrt5\approx 3{,}24\), mais elle est hors de l'intervalle.)
Énoncé. Montrer que l'équation \(\cos x=x\) a une solution unique \(\beta\) dans \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\), puis encadrer \(\beta\) à 0,01 près.
Solution : On pose \(h(x)=\cos x-x\). L'équation s'écrit \(h(x)=0\). La fonction \(h\) est la différence de deux fonctions continues, donc elle est continue sur \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\). On calcule \(h(0)=1\) et \(h\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{\pi}{2}\) : ces deux nombres sont de signes contraires. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(h(x)=0\) a au moins une solution dans cet intervalle.
Sur \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\), la fonction cosinus est strictement décroissante, et la fonction \(x\mapsto -x\) aussi. Leur somme \(h\) est strictement décroissante : la solution est unique.
À la calculatrice, en radians : \(h(0{,}73)\approx 0{,}015\) et \(h(0{,}74)\approx -0{,}002\). Donc \(0{,}73\lt\beta\lt 0{,}74\).
Oublier la continuité. La fonction partie entière vaut 0 en 0 et 1 en 1, mais elle ne prend jamais la valeur 0,5 : elle n'est pas continue en 1. De même, la fonction inverse vaut \(-1\) en \(-1\) et \(1\) en \(1\) sans jamais s'annuler : elle n'est pas définie en 0, donc pas continue sur \([-1\,;1]\). Il faut toujours écrire que \(f\) est continue sur l'intervalle.
Conclure « une seule solution » sans monotonie. Pour \(f(x)=x^3-x\), on a \(f(-2)=-6\) et \(f(2)=6\) : le théorème donne au moins une solution de \(f(x)=0\) dans \([-2\,;2]\). Il y en a trois : \(-1\), 0 et 1. L'unicité demande que la fonction soit strictement monotone.
Croire que des images de même signe interdisent une solution. Pour \(f(x)=x^2-1\) sur \([-2\,;2]\), \(f(-2)=3\) et \(f(2)=3\) sont positifs, et pourtant l'équation \(f(x)=0\) a deux solutions, \(-1\) et 1. Quand \(f(a)\) et \(f(b)\) ont le même signe, le théorème ne dit rien.
Confondre l'image de \([a\,;b]\) avec l'intervalle d'extrémités \(f(a)\) et \(f(b)\). Ce n'est vrai que si la fonction est monotone. Dans l'exemple 2, \(g(0)=0\) et \(g(3)=3\), mais l'image est \([-1\,;3]\).
Théorème de la bijection monotone
Si \(f\) est dérivable sur \([a;b]\) (\(a<b\)) et si \(f'\) est strictement positive (ou strictement négative) sur \([a;b]\), alors \(f\) réalise une bijection de \([a;b]\) sur l'intervalle d'extrémités \(f(a)\) et \(f(b)\). Pour tout \(\lambda\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x)=\lambda\) admet alors une unique solution dans \([a;b]\). Énoncé analogue pour \(f\) décroissante.
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Voir les offresFigure — Bijection de \([2;4]\) sur \([3;5]\)
Les pointillés font correspondre chaque \(x\in[2;4]\) à un unique \(f(x)\in[3;5]\), et réciproquement.
Résumé
Si \(f\) est continue sur \([a\,;b]\), alors \(f([a\,;b])=[m\,;M]\), avec \(m\) le minimum et \(M\) le maximum.
\(f\) continue sur \([a\,;b]\), \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\) : il existe \(c\) dans \([a\,;b]\) tel que \(f(c)=k\).
\(f\) continue et \(f(a)\times f(b)\lt 0\) : l'équation \(f(x)=0\) a au moins une solution dans \(]a\,;b[\).
Si \(f\) est de plus strictement monotone, la solution est unique.