Dénombrement

Dans un lycée, 120 élèves font des maths renforcées, 80 font de la physique renforcée, et 35 font les deux. Combien suivent au moins l'une des deux options ?

Dans une classe de \(30\) élèves, \(18\) pratiquent le football (\(F\)), \(12\) pratiquent le basketball (\(B\)), et \(6\) pratiquent les deux. Combien pratiquent au moins un des deux sports ? Combien n'en pratiquent aucun ?

Élèves ne pratiquant aucun des deux sports : \(30-\text{card}(F\cup B)=30-24=6\).

Énoncé. Une cantine propose 2 entrées (salade, soupe), 3 plats (poulet, poisson, riz) et 2 desserts (fruit, gâteau). Un menu comporte une entrée, un plat et un dessert. a) Combien de menus différents peut-on composer ? b) Combien contiennent du poisson ? c) On interdit d'associer la soupe et le riz : combien de menus reste-t-il ?

Solution : a) L'arbre a trois niveaux : 2 branches pour l'entrée, puis 3 pour le plat, puis 2 pour le dessert. Il est régulier : \(2\times 3\times 2=12\) menus.

b) Le plat est imposé : il reste \(2\times 1\times 2=4\) menus.

c) Les menus interdits sont ceux qui passent par « soupe » puis « riz » : il y en a 2 (un par dessert). Il reste \(12-2=10\) menus. L'arbre n'est plus régulier : après « soupe », il n'y a que 2 plats possibles, alors qu'il y en a 3 après « salade ». On peut aussi compter \(1\times 3\times 2+1\times 2\times 2=6+4=10\).

Énoncé. On lance un dé rouge et un dé vert, numérotés de 1 à 6, et l'on note la somme des deux numéros. a) Combien y a-t-il de résultats possibles ? b) Combien donnent une somme égale à 8 ? une somme au moins égale à 10 ? c) Quelle somme est obtenue le plus souvent ?

Solution : a) Un résultat est un couple (numéro rouge ; numéro vert). On dresse le tableau des sommes : 6 lignes et 6 colonnes, donc \(6\times 6=36\) résultats.

b) La somme 8 apparaît dans 5 cases : \((2\,;6)\), \((3\,;5)\), \((4\,;4)\), \((5\,;3)\), \((6\,;2)\). Les sommes 10, 11 et 12 occupent \(3+2+1=6\) cases.

c) La somme 7 occupe toute une diagonale du tableau : 6 cases. C'est la somme la plus fréquente.

Énoncé. Deux joueurs, A et B, s'affrontent. Le premier qui gagne deux manches remporte le match, et l'on arrête alors de jouer. Combien de déroulements différents le match peut-il avoir ? Dans combien de cas A est-il vainqueur ?

Solution : On note à chaque manche le nom du gagnant. Après « A puis A » ou « B puis B », le match s'arrête : ces branches ne se prolongent pas. Après « A puis B » ou « B puis A », une troisième manche est nécessaire. L'arbre est irrégulier ; on le dessine en entier (figure ci-dessous) et l'on compte ses extrémités : AA, ABA, ABB, BAA, BAB, BB, soit 6 déroulements.

Le joueur A gagne dans 3 cas : AA, ABA et BAA. Le produit \(2\times 2\times 2=8\) serait faux ici : il compterait des manches jouées après la fin du match.

Énoncé. Dans une classe de 30 élèves, 18 pratiquent le football. La classe compte 12 filles, dont 5 pratiquent le football. Combien de garçons ne pratiquent pas le football ?

Solution : On dresse un tableau à deux critères et l'on y place d'abord les quatre nombres de l'énoncé : 30, 18, 12 et 5. Les autres s'obtiennent par soustraction.

Garçons : \(30-12=18\). Garçons qui pratiquent le football : \(18-5=13\). Filles qui ne le pratiquent pas : \(12-5=7\). Garçons qui ne le pratiquent pas : \(18-13=5\). Contrôle par la colonne : \(7+5=12=30-18\). Cinq garçons ne pratiquent pas le football.

Produit cartésien. Un menu propose \(4\) entrées et \(3\) plats. Nombre de menus (entrée, plat) possibles : \(4\times3=12\).

Parties. Un ensemble \(E\) à \(5\) éléments possède \(2^5=32\) parties (dont \(\varnothing\) et \(E\) lui-même).

\(p\)-uplets. Un digicode comporte \(4\) chiffres, chacun choisi parmi \(\{0,1,\dots,9\}\), avec répétitions autorisées : nombre de codes possibles \(=10^4=10\,000\).

Énoncé. Un cadenas s'ouvre avec un code de 4 chiffres (de 0 à 9). Combien de codes existe-t-il a) en tout ; b) formés de chiffres tous différents ; c) formés de chiffres différents et ne commençant pas par 0 ?

Solution : a) l'ordre compte et les répétitions sont permises : \(10^4=10\,000\) codes. b) chiffres distincts : \(A_{10}^4=10\times9\times8\times7=5\,040\) codes.

c) on commence par le premier chiffre, le plus contraint : 9 choix (de 1 à 9) ; puis 9 choix pour le deuxième (le 0 est revenu, le premier chiffre est exclu), puis 8, puis 7. Total : \(9\times9\times8\times7=4\,536\) codes. On en déduit aussi qu'il y a \(10\,000-5\,040=4\,960\) codes avec au moins deux chiffres égaux.

Énoncé. On appelle anagramme du mot MATHS tout mot formé avec ses cinq lettres, chacune utilisée une fois. Combien y a-t-il d'anagrammes ? Combien commencent par M ? Combien ont les lettres A et T côte à côte ?

Solution : les cinq lettres sont distinctes : une anagramme est une permutation des 5 lettres, il y en a \(5!=120\). Si la première lettre est M, il reste à ranger les 4 autres : \(4!=24\) anagrammes.

Pour A et T côte à côte, on colle les deux lettres en un bloc : on range 4 objets (le bloc, M, H, S), soit \(4!=24\) façons, puis on choisit l'ordre dans le bloc (AT ou TA), soit 2 façons. Total : \(24\times2=48\) anagrammes.

Énoncé. Un club de 12 membres élit un président, un trésorier et un secrétaire, trois personnes différentes. Combien de bureaux sont possibles ? Combien comptent Awa, l'une des membres ?

Solution : les rôles sont distincts, donc l'ordre compte, et une personne n'occupe qu'un poste : \(A_{12}^3=12\times11\times10=1\,320\) bureaux.

Si Awa est dans le bureau : on choisit son poste (3 choix), puis les deux autres postes parmi les 11 autres membres, \(A_{11}^2=110\) façons. Total : \(3\times110=330\). Contrôle par le contraire : sans Awa, il y a \(A_{11}^3=990\) bureaux, et \(1\,320-990=330\).

Énoncé. On range sur une étagère 3 livres de mathématiques et 2 livres de physique, tous différents, de sorte que les livres d'une même matière soient côte à côte. Combien de rangements sont possibles ?

Solution : on procède par étapes. On choisit l'ordre des deux matières (mathématiques puis physique, ou l'inverse) : 2 façons. On range les 3 livres de mathématiques entre eux : \(3!=6\) façons ; puis les 2 livres de physique : \(2!=2\) façons. Total : \(2\times6\times2=24\) rangements, sur les \(5!=120\) rangements possibles sans contrainte.

Énoncé. Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes, toutes discernables. On tire 3 boules. Combien y a-t-il de tirages possibles a) simultanément, b) successivement sans remise, c) successivement avec remise ?

Solution : L'urne contient 8 boules. a) Parties à 3 éléments : \(C_8^3=\dfrac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\). b) Arrangements : \(A_8^3=8\times7\times6=336\). c) 3-listes : \(8^3=512\).

On vérifie le lien entre a) et b) : \(336=56\times 3!\), chaque groupe de 3 boules pouvant sortir dans \(3!=6\) ordres.

Énoncé. Avec l'urne de l'exemple 1, dénombrer les tirages de 3 boules contenant exactement 2 rouges, dans chacun des trois modes. Puis dénombrer les tirages simultanés contenant au moins une verte.

Solution : Simultané : on choisit 2 rouges parmi 5 et 1 verte parmi 3 : \(C_5^2\times C_3^1=10\times3=30\).

Successif sans remise : on choisit d'abord la place de la verte (3 choix) ; on remplit les deux autres places, dans l'ordre, par 2 rouges distinctes (\(A_5^2\) choix), puis la place de la verte par l'une des 3 vertes :\(3\times A_5^2\times 3=3\times20\times3=180\). (C'est aussi \(30\times 3!\).)

Successif avec remise : 3 choix de la place de la verte, puis \(5\times5\) pour les rouges et 3 pour la verte : \(3\times25\times3=225\).

Au moins une verte (simultané) : il y a \(C_5^3=10\) tirages sans verte, donc \(56-10=46\) tirages avec au moins une verte.

Énoncé. a) Combien de codes de 4 chiffres (de 0 à 9) peut-on former ? Et si les chiffres doivent être distincts ? b) Dans une classe de 12 élèves, combien de façons de choisir 3 délégués ? Et de choisir un président, un secrétaire et un trésorier ?

Solution : a) Un code est une suite ordonnée de 4 chiffres pris parmi 10, avec répétition possible : c'est une 4-liste, \(10^4=10\,000\) codes. Avec des chiffres distincts, c'est un arrangement : \(A_{10}^4=10\times9\times8\times7=5040\).

b) Trois délégués sans rôle : l'ordre ne compte pas, c'est une combinaison, \(C_{12}^3=220\). Avec trois rôles différents, l'ordre compte (le premier choisi est président, etc.) : c'est un arrangement, \(A_{12}^3=12\times11\times10=1320\).