Première S2-S4-S5 · Leçon 2
Limites
Ce que dit le programme officiel (8 points)
- Approche intuitive : f admet pour limite le réel l en a si f(x) est aussi proche de l que l’on veut pour x suffisamment proche de a, x ≠ a
- Notations lim f(x) quand x tend vers a, lim f en a ; unicité de la limite (admise)
- Limite à droite, limite à gauche : notations ; théorème admis : si les limites à droite et à gauche en a sont égales, f a cette limite en a
- Extension de la notion de limite : limite finie à l’infini, limite infinie en un réel a, limite infinie à l’infini
- Asymptotes horizontales et verticales : les définir
- Opérations sur les limites : théorèmes sur la somme, le produit, le quotient, la racine carrée d’une fonction
- Calculer une limite, une limite à droite, une limite à gauche ; lever une forme indéterminée
- Limite : pas de théorie, explications à un niveau intuitif, illustrations graphiques
Source : Programme de mathématiques, Premières S2 et S4 (Sénégal), octobre 2006
Limites des fonctions de référence en l'infini et en un réel
En \(+\infty\) : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1x=0\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1{x^2}=0\). Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\) (fini), la droite d'équation \(y=\ell\) est asymptote horizontale à la courbe en \(+\infty\).
Soit \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\), définie sur \(\mathbb R\setminus\{1\}\). En écrivant \(2x+1=2(x-1)+3\), on obtient la forme utile :
\[ f(x)=2+\dfrac3{x-1}. \]Quand \(x\to+\infty\) ou \(x\to-\infty\), \(\dfrac3{x-1}\to0\), donc \(f(x)\to2\) : la droite \(y=2\) est asymptote horizontale à la courbe de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Si \(f\) est définie sur un intervalle contenant \(a\) sauf en \(a\), on étudie séparément la limite à gauche \(\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)\) et la limite à droite \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)\). Si l'une des deux est infinie, la droite \(x=a\) est asymptote verticale à la courbe de \(f\).
Toujours avec \(f(x)=2+\dfrac3{x-1}\) : quand \(x\to1^+\), \(x-1\to0^+\) (valeurs positives de plus en plus petites), donc \(\dfrac3{x-1}\to+\infty\) et \(f(x)\to+\infty\). Quand \(x\to1^-\), \(x-1\to0^-\), donc \(\dfrac3{x-1}\to-\infty\) et \(f(x)\to-\infty\). La droite \(x=1\) est asymptote verticale à la courbe de \(f\).
Les limites d'une somme, d'un produit par une constante, d'un produit, d'un inverse et d'un quotient de fonctions s'obtiennent en combinant les limites de chaque fonction (comme pour les suites), sauf dans les cas de formes indéterminées. Théorème de comparaison : si \(|f(x)-\ell|\leqslant u(x)\) au voisinage de \(a\) et si \(\displaystyle\lim_{x\to a}u(x)=0\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\).
Exemple. Pour \(x>0\), \(g(x)=\dfrac{x+\sin x}{x}=1+\dfrac{\sin x}{x}\). Comme \(|\sin x|\leqslant1\), on a \(\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\leqslant\dfrac1x\), et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1x=0\), donc par comparaison \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=1\).
Les formes \(\dfrac00\), \(\dfrac\infty\infty\), \(\infty-\infty\) et \(0\times\infty\) sont des formes indéterminées : les théorèmes d'opérations sur les limites ne s'appliquent pas directement, il faut d'abord transformer l'écriture (comme on l'a fait pour \(f\) en la réécrivant \(2+\frac3{x-1}\)) avant de conclure.
Figure — Courbe de \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\) et ses deux asymptotes
Asymptote verticale \(x=1\) et asymptote horizontale \(y=2\), toutes deux en pointillés.
Calcul de limites : à gauche et à droite, racine carrée, formes indéterminées
Calculer une limite, c'est dire vers quoi se rapprochent les valeurs \(f(x)\) quand \(x\) se rapproche d'un réel ou devient très grand. On ne fait pas de théorie : on utilise les limites des fonctions de référence, des règles admises sur les opérations, et quelques transformations d'écriture pour les cas où ces règles ne concluent pas.
Dire que \(f\) a pour limite le réel \(\ell\) en \(a\) signifie que \(f(x)\) est aussi proche de \(\ell\) qu'on le veut, pourvu que \(x\) soit assez proche de \(a\), avec \(x\neq a\). On note \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\). On admet que, si une limite existe, elle est unique.
Si l'on ne regarde que les \(x\) supérieurs à \(a\), on parle de limite à droite, notée \(\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)\) ou \(\displaystyle\lim_{x\to a,\ x\gt a}f(x)\) ; pour les \(x\) inférieurs à \(a\), de limite à gauche, notée \(\displaystyle\lim_{x\to a^-}f(x)\).
Théorème admis. Si la limite à droite et la limite à gauche en \(a\) existent et sont égales à \(\ell\), alors \(f\) a pour limite \(\ell\) en \(a\). Si elles sont différentes, \(f\) n'a pas de limite en \(a\).
La même idée vaut pour une limite infinie (\(f(x)\) dépasse tout nombre fixé) et pour une limite à l'infini. Si \(f\) a une limite infinie en \(a\), à droite ou à gauche, la droite d'équation \(x=a\) est asymptote verticale ; si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\) (ou en \(-\infty\)), la droite \(y=\ell\) est asymptote horizontale.
Dans ce qui suit, \(\ell\) et \(\ell'\) sont des réels et toutes les limites sont prises au même endroit (un réel, à droite, à gauche, ou l'infini).
- Somme. \(\ell+\ell'\) ; \(\ell+(+\infty)=+\infty\) ; \((+\infty)+(+\infty)=+\infty\). Le cas \((+\infty)+(-\infty)\) est une forme indéterminée.
- Produit. \(\ell\times\ell'\) ; \(\ell\times(\pm\infty)=\pm\infty\) avec la règle des signes si \(\ell\neq 0\). Le cas \(0\times\infty\) est indéterminé.
- Quotient. \(\dfrac{\ell}{\ell'}\) si \(\ell'\neq 0\) ; \(\dfrac{\ell}{\pm\infty}=0\) ; si le dénominateur tend vers 0 en gardant un signe constant et le numérateur vers \(\ell\neq 0\), le quotient tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\) selon les signes. Les cas \(\dfrac00\) et \(\dfrac{\infty}{\infty}\) sont indéterminés.
- Racine carrée. Si \(\lim u(x)=\ell\) avec \(\ell\ge 0\), alors \(\lim\sqrt{u(x)}=\sqrt{\ell}\) ; si \(\lim u(x)=+\infty\), alors \(\lim\sqrt{u(x)}=+\infty\).
Polynôme à l'infini. On met en facteur le terme de plus haut degré : la limite est celle de ce terme. Par exemple \(x^3-5x^2=x^3\left(1-\dfrac5x\right)\).
Fonction rationnelle à l'infini. On met en facteur le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur : la limite est celle du quotient de ces deux termes.
Forme \(\dfrac00\) en un réel \(a\). Pour un quotient de polynômes, \(a\) est racine des deux : on factorise par \(x-a\) et on simplifie. Avec une racine carrée, on multiplie par l'expression conjuguée : \((\sqrt A-B)(\sqrt A+B)=A-B^2\).
Limite à droite, à gauche. Quand le dénominateur tend vers 0, on étudie son signe de chaque côté de \(a\), à l'aide d'un tableau de signes si besoin.
Énoncé. a) Soit \(f(x)=\dfrac{x+2}{x-1}\). Calculer les limites de \(f\) à droite et à gauche en 1 et en \(\pm\infty\) ; interpréter. b) Soit \(g(x)=\dfrac{|x-1|}{x-1}\). La fonction \(g\) a-t-elle une limite en 1 ?
Solution : a) Le numérateur tend vers 3. Si \(x\gt 1\), \(x-1\gt 0\) et tend vers 0, donc \(\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty\) ; si \(x\lt 1\), \(x-1\lt 0\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)=-\infty\). La droite \(x=1\) est asymptote verticale. En \(\pm\infty\) : \(f(x)=\dfrac{x\left(1+\frac2x\right)}{x\left(1-\frac1x\right)}=\dfrac{1+\frac2x}{1-\frac1x}\), qui tend vers 1 : la droite \(y=1\) est asymptote horizontale.
b) Pour \(x\gt 1\), \(|x-1|=x-1\) et \(g(x)=1\) ; pour \(x\lt 1\), \(|x-1|=-(x-1)\) et \(g(x)=-1\). La limite à droite vaut 1, la limite à gauche vaut \(-1\) : elles sont différentes, donc \(g\) n'a pas de limite en 1.
Figure — Les deux asymptotes de f
La courbe de f(x) = (x + 2)/(x − 1), en bleu. À droite de 1, elle monte sans limite ; à gauche de 1, elle descend sans limite : la droite d'équation x = 1, en pointillés, est asymptote verticale. Aux deux extrémités, la courbe se rapproche de la droite d'équation y = 1, asymptote horizontale.
Énoncé. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2-x+1}{x^2+3}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(x^3-5x^2\right)\).
Solution : La première est de la forme \(\dfrac00\). Pour \(x\neq 2\), \(\dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\), qui tend vers 4. La limite vaut 4.
La deuxième est de la forme \(\dfrac{\infty}{\infty}\). Pour \(x\neq 0\) : \(\dfrac{2x^2-x+1}{x^2+3}=\dfrac{2-\frac1x+\frac1{x^2}}{1+\frac3{x^2}}\), qui tend vers \(\dfrac21=2\).
La troisième n'est pas une forme indéterminée : en \(-\infty\), \(x^3\) tend vers \(-\infty\) et \(-5x^2\) aussi, donc la somme tend vers \(-\infty\). On le retrouve en écrivant \(x^3\left(1-\dfrac5x\right)\) : le facteur entre parenthèses tend vers 1. (En \(+\infty\), au contraire, on aurait \(+\infty-\infty\), et seule la mise en facteur conclurait.)
Énoncé. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{4x+1}\), \(\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\).
Solution : \(4x+1\) tend vers \(+\infty\), donc \(\sqrt{4x+1}\) aussi.
La deuxième est de la forme \(\dfrac00\). On multiplie par le conjugué : pour \(x\ge -1\), \(x\neq 3\),
\[\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}=\frac{(x+1)-4}{(x-3)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+2},\]qui tend vers \(\dfrac{1}{\sqrt4+2}=\dfrac14\) par la règle de la racine carrée.
La troisième est de la forme \((+\infty)-(+\infty)\). De même, \(\sqrt{x^2+1}-x=\dfrac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\) ; le dénominateur tend vers \(+\infty\), donc la limite vaut 0.
Croire que \(\infty-\infty=0\). \((x+1)-x\) tend vers 1 et \(2x-x\) vers \(+\infty\), alors que dans les deux cas on a « \(+\infty\) moins \(+\infty\) » : c'est une forme indéterminée, il faut transformer l'écriture.
Croire que \(\dfrac00\) vaut 0 ou 1. \(\dfrac{x^2}{x}\) tend vers 0 en 0, mais \(\dfrac{x}{x^2}\) n'a pas de limite finie en 0 : la forme seule ne dit rien.
Oublier le signe du dénominateur. « \(\dfrac{3}{0}\) » ne donne pas de réponse : il faut savoir si le dénominateur tend vers 0 par valeurs positives ou négatives, d'où les limites à droite et à gauche.
Conclure trop vite à une limite en \(a\). Une limite à droite ne suffit pas : il faut que la limite à gauche existe et lui soit égale, comme le montre la fonction \(g\) de l'exemple 1.
Résumé
Si les limites à droite et à gauche en \(a\) sont égales à \(\ell\), la limite en \(a\) vaut \(\ell\) ; sinon il n'y a pas de limite en \(a\).
\(\infty-\infty\), \(0\times\infty\), \(\dfrac00\), \(\dfrac{\infty}{\infty}\) : on factorise, on simplifie ou on utilise le conjugué.
Si \(u\) tend vers \(\ell\ge 0\), \(\sqrt u\) tend vers \(\sqrt\ell\) ; si \(u\) tend vers \(+\infty\), \(\sqrt u\) aussi.
Limite infinie en \(a\) : asymptote \(x=a\). Limite \(\ell\) à l'infini : asymptote \(y=\ell\).
\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\) fini \(\Rightarrow y=\ell\) asymptote.
Limite à gauche ou à droite en \(a\) infinie \(\Rightarrow x=a\) asymptote.
\(\frac00\), \(\frac\infty\infty\), \(\infty-\infty\), \(0\times\infty\) : réécrire avant de conclure.
\(|f(x)-\ell|\leqslant u(x)\) et \(u\to0\) \(\Rightarrow f\to\ell\).
Sujet type devoir
Question 1. Soit \(h(x)=\dfrac{3x-2}{x+2}\). Déterminer les limites de \(h\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), puis en déduire une asymptote.
\(3x-2=3(x+2)-8\), donc \(h(x)=3-\dfrac8{x+2}\). Quand \(x\to\pm\infty\), \(\dfrac8{x+2}\to0\), donc \(h(x)\to3\). La droite \(y=3\) est asymptote horizontale à la courbe de \(h\).
Question 2. Déterminer les limites de \(h\) en \((-2)^-\) et en \((-2)^+\).
Quand \(x\to(-2)^+\), \(x+2\to0^+\), donc \(\dfrac8{x+2}\to+\infty\) et \(h(x)\to-\infty\). Quand \(x\to(-2)^-\), \(x+2\to0^-\), donc \(\dfrac8{x+2}\to-\infty\) et \(h(x)\to+\infty\). La droite \(x=-2\) est asymptote verticale.
Question 3. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2+\cos x}{x}\).
Pour tout \(x\), \(1\leqslant2+\cos x\leqslant3\), donc \(0\leqslant\left|\dfrac{2+\cos x}{x}\right|\leqslant\dfrac3x\) pour \(x>0\). Comme \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac3x=0\), le théorème de comparaison donne \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2+\cos x}{x}=0\).