Première S2-S4-S5 · Leçon 16
Compléments de géométrie dans l’espace
Ce que dit le programme officiel (5 points)
- Plan médiateur : connaître et utiliser la notion
- Section plane d’un solide : sphère, prisme, pyramide ; déterminer et représenter la section d’un cube, d’un pavé droit, d’un prisme droit (plan parallèle à la base pour les prismes ; méridien et parallèle pour les surfaces de révolution)
- Calculer le rayon du cercle intersection d’une sphère et d’un plan sécant
- Exemples de calcul de distance, d’angle, d’aire et de volume dans les configurations usuelles de l’espace ; perspective cavalière
- Produit vectoriel : définition à l’aide des coordonnées ; propriétés ; déterminer ses coordonnées et l’utiliser (applications en sciences physiques, calcul d’aires et de volumes)
Source : Programme de mathématiques, Premières S2 et S4 (Sénégal), octobre 2006
Sections planes de solides et de polyèdres
Couper un solide par un plan, c'est comme trancher un pain de savon : la surface de coupe est un polygone. Pour le dessiner sans maquette, on n'a besoin que de deux règles de géométrie dans l'espace, appliquées face par face. Le dessin en perspective ne conserve pas les angles ni les longueurs : on raisonne sur le solide, puis on dessine.
Règle 1. Si deux points du plan de coupe \(P\) appartiennent à une même face, le segment qui les joint est la trace de \(P\) sur cette face : c'est un côté de la section.
Règle 2. Si un plan coupe deux plans parallèles, les deux droites d'intersection sont parallèles. Dans un cube ou un pavé, les faces opposées sont parallèles : les côtés de la section situés sur deux faces opposées sont parallèles.
Conséquences. La section d'un cube ou d'un pavé par un plan parallèle à une face est un polygone superposable à cette face (un carré pour le cube). La section d'un tétraèdre par un plan parallèle à une face est un triangle dont les côtés sont parallèles à ceux de cette face. La section d'un polyèdre a au plus autant de côtés que le polyèdre a de faces (6 pour un cube : triangle, quadrilatère, pentagone ou hexagone).
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Voir les offresFigure — Section du cube \(ABCDEFGH\) par le plan \((IJK)\)
\(I\), \(J\), \(K\) milieux de \([AB]\), \([BC]\), \([BF]\) : la section \(IJK\) est un triangle équilatéral.
1. Placer les points donnés sur les arêtes et repérer, pour chaque paire de points, s'ils sont sur une même face (règle 1).
2. Compléter avec les faces parallèles : quand on connaît un côté sur une face, on trace sur la face opposée la parallèle passant par un point connu du plan (règle 2). Le point où elle rencontre une arête est un nouveau sommet de la section.
3. Fermer le polygone en revenant au point de départ, puis le hachurer ; les arêtes cachées du solide restent en pointillés.
4. Identifier sa nature (triangle, rectangle, trapèze…) en justifiant le parallélisme ou l'égalité des côtés, puis calculer longueurs et aire dans les faces, avec le théorème de Pythagore.
Énoncé. \(ABCDEFGH\) est un cube d'arête 4 cm. \(M\) est le point de \([AE]\) tel que \(AM=\dfrac43\) cm. Déterminer la section du cube par le plan passant par \(M\) et parallèle à la face \(ABCD\).
Solution : ce plan coupe les quatre arêtes verticales \([AE]\), \([BF]\), \([CG]\), \([DH]\), perpendiculaires à la face \(ABCD\), en \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\), tous à la hauteur \(\dfrac43\) cm. Sur la face \(ABFE\), \([MN]\) est parallèle à \([AB]\) (règle 2 : le plan de la face \(ABFE\) coupe les deux plans parallèles \((ABC)\) et le plan de coupe), et \(MN=AB=4\) cm car \(ABNM\) est un rectangle ; de même pour les autres côtés.
La section \(MNPQ\) est un carré de côté 4 cm, superposable à la face \(ABCD\) : la position de \(M\) sur l'arête n'a aucune influence.
Énoncé. Dans le même cube, déterminer la section par le plan \((ACG)\) et calculer son aire.
Solution : \(A\) et \(C\) sont sur la face \(ABCD\) : \([AC]\) est un côté. \(C\) et \(G\) sont sur la face \(BCGF\) : \([CG]\) est un côté. Sur la face du haut, parallèle à \(ABCD\), la trace passe par \(G\) et est parallèle à \((AC)\) : c'est la diagonale \((GE)\), car \(ACGE\) a ses côtés \([AE]\) et \([CG]\) parallèles et égaux. La section est le quadrilatère \(ACGE\).
L'arête \([AE]\) est perpendiculaire à la face \(ABCD\), donc à la droite \((AC)\) : \(ACGE\) est un rectangle. Ses côtés mesurent \(AE=4\) cm et \(AC=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2\) cm (Pythagore dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(B\)). Aire : \(4\times4\sqrt2=16\sqrt2\approx 22{,}6\) cm².
Énoncé. Dans le même cube, \(I\) et \(J\) sont les milieux de \([AB]\) et \([BC]\). Construire la section du cube par le plan \((IJG)\), donner sa nature et calculer son aire.
Solution : \(I\) et \(J\) sont sur la face \(ABCD\) : \([IJ]\) est un côté. \(J\) et \(G\) sont sur la face \(BCGF\) : \([JG]\) est un côté. La face \(EFGH\) est parallèle à \(ABCD\) : la trace du plan sur elle est la parallèle à \((IJ)\) passant par \(G\). Or, dans le triangle \(ABC\), \((IJ)\) est parallèle à \((AC)\) (droite des milieux), et \((AC)\) est parallèle à \((EG)\) : cette trace est la droite \((GE)\). Le point \(E\) est donc dans le plan, et \([EI]\) est le côté situé sur la face \(ABFE\). La section est le quadrilatère \(IJGE\).
Nature : \((IJ)\) et \((EG)\) sont parallèles, et \(IJ=\dfrac12AC=2\sqrt2\) cm alors que \(EG=4\sqrt2\) cm : c'est un trapèze. Ses autres côtés : \(EI=\sqrt{AE^2+AI^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt5\) cm et, de même, \(JG=2\sqrt5\) cm : le trapèze est isocèle.
Aire : la hauteur \(h\) vérifie \(h^2=EI^2-\left(\dfrac{EG-IJ}2\right)^2=20-2=18\), donc \(h=3\sqrt2\) cm, et l'aire vaut \(\dfrac{(2\sqrt2+4\sqrt2)\times3\sqrt2}{2}=18\) cm².
Figure — La section IJGE de l'exemple 3
Le cube ABCDEFGH est dessiné en perspective cavalière ; les arêtes cachées, issues de D, sont en pointillés. La section par le plan (IJG), coloriée en bleu, est le trapèze IJGE : son côté [IJ], sur la face du bas, est parallèle à son côté [EG], sur la face du haut.
Énoncé. \(SABC\) est un tétraèdre et \(I\) le milieu de l'arête \([SA]\). Déterminer la section de \(SABC\) par le plan passant par \(I\) et parallèle à la face \(ABC\).
Solution : le plan de coupe et la face \(ABC\) sont parallèles. La face \(SAB\) les coupe selon deux droites parallèles : la trace sur \(SAB\) est la parallèle à \((AB)\) passant par \(I\). Dans le triangle \(SAB\), elle coupe \([SB]\) en son milieu \(J\) (théorème des milieux). De même, sur la face \(SAC\), on obtient le milieu \(K\) de \([SC]\).
La section est le triangle \(IJK\). Ses côtés sont parallèles à ceux de \(ABC\) et deux fois plus courts : \(IJ=\dfrac{AB}2\), \(JK=\dfrac{BC}2\), \(KI=\dfrac{CA}2\). C'est une réduction du triangle \(ABC\) de rapport \(\dfrac12\).
Joindre deux points qui ne sont pas sur une même face. Dans l'exemple 3, le segment \([IG]\) traverse l'intérieur du cube : ce n'est pas un côté de la section. On ne trace un côté que dans une face.
Oublier la règle des faces parallèles. Sans elle, on croit souvent que la section de l'exemple 3 est le triangle \(IJG\). C'est la parallèle tracée sur la face du haut qui fait apparaître le quatrième sommet \(E\).
Se fier au dessin. En perspective cavalière, un carré peut paraître un parallélogramme et un angle droit un angle aigu : la nature de la section se démontre avec les propriétés du solide, jamais en mesurant sur la figure.
Solides usuels et perspective cavalière
Rappel de SecondeRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresFigure — Parallélépipède rectangle en perspective cavalière
Les arêtes visibles sont en trait plein, les arêtes cachées en pointillés — la convention standard de la perspective cavalière.
Droites orthogonales. Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles menées par un même point sont perpendiculaires. Deux droites perpendiculaires sont deux droites orthogonales et sécantes. Dans un cube \(ABCDEFGH\) (face du bas \(ABCD\), face du haut \(EFGH\), arêtes verticales \([AE]\), \([BF]\), \([CG]\) et \([DH]\)), les droites \((AB)\) et \((FG)\) sont orthogonales sans être sécantes : la parallèle à \((FG)\) passant par \(B\) est \((BC)\), qui est perpendiculaire à \((AB)\).
Droite perpendiculaire à un plan. Une droite \(d\) est perpendiculaire à un plan \(P\) lorsqu'elle est orthogonale à toutes les droites de \(P\).
Critère (admis). Il suffit que \(d\) soit orthogonale à deux droites sécantes de \(P\) pour être perpendiculaire à \(P\). Elle est alors orthogonale à toutes les droites de \(P\).
Plans perpendiculaires. Deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite perpendiculaire à l'autre.
Sur le cube. La droite \((AE)\) est perpendiculaire à \((AB)\) et à \((AD)\), deux droites sécantes du plan \((ABC)\) : elle est donc perpendiculaire au plan \((ABC)\). Le plan \((ABF)\) contient \((AE)\) : il est perpendiculaire au plan \((ABC)\).
Deux propriétés utiles. Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles. Si deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.
Figure — Deux droites orthogonales qui ne se coupent pas
En bleu, la droite \((AB)\) ; en or, les droites parallèles \((FG)\) et \((BC)\). La droite \((BC)\) passe par \(B\) et elle est perpendiculaire à \((AB)\) : l'angle droit, marqué en \(B\), n'apparaît pas droit sur le dessin. Les droites \((AB)\) et \((FG)\) sont donc orthogonales, sans avoir de point commun.
Démontrer qu'une droite \(d\) est perpendiculaire à un plan \(P\).
- Repère dans \(P\) deux droites sécantes, par exemple deux côtés d'une face ou les deux diagonales d'un carré.
- Montre que \(d\) est orthogonale à la première, puis à la seconde. Pour chacune, utilise une figure plane connue (carré, rectangle, triangle rectangle) ou une perpendicularité déjà démontrée.
- Conclus avec le critère : \(d\) est perpendiculaire à \(P\).
Démontrer que deux droites \(d\) et \(d'\) sont orthogonales. Cherche un plan \(P\) qui contient \(d'\) et auquel \(d\) est perpendiculaire. Comme \(d\) est alors orthogonale à toutes les droites de \(P\), elle est orthogonale à \(d'\). Cette méthode marche même quand les deux droites ne se coupent pas.
Démontrer que deux plans sont perpendiculaires. Trouve dans l'un des deux plans une droite perpendiculaire à l'autre.
Un solide dessiné sur une feuille est représenté en perspective cavalière. Le dessin respecte certaines propriétés de l'objet réel, mais pas toutes.
Conservé. L'alignement des points ; le parallélisme (deux droites parallèles dans l'espace sont dessinées parallèles) ; les milieux, et plus généralement les rapports de longueurs sur une même droite ou sur des droites parallèles ; la forme exacte de toute figure située dans un plan vu de face.
Non conservé. Les angles, en particulier les angles droits : une face carrée vue de côté est dessinée comme un parallélogramme. Les longueurs sur les fuyantes, qui sont réduites. La perpendicularité en général.
Conséquences pour raisonner. Deux droites qui se croisent sur le dessin ne sont pas forcément sécantes dans l'espace. Deux droites qui paraissent perpendiculaires ne le sont pas forcément, et un angle droit réel n'apparaît pas toujours droit. On ne lit donc jamais une intersection ou un angle sur le dessin : on les justifie avec les règles du cours.
Énoncé. \(ABCDEFGH\) est un cube : \(ABCD\) est la face du bas, \(EFGH\) la face du haut, et les arêtes verticales sont \([AE]\), \([BF]\), \([CG]\) et \([DH]\). Démontre que la droite \((BD)\) est perpendiculaire au plan \((ACE)\), puis que les droites \((BD)\) et \((EC)\) sont orthogonales.
Solution. On cherche deux droites sécantes du plan \((ACE)\) orthogonales à \((BD)\).
Première droite : \(ABCD\) est un carré, ses diagonales sont perpendiculaires, donc \((BD)\) est perpendiculaire à \((AC)\).
Seconde droite : \((AE)\) est perpendiculaire au plan \((ABC)\), donc orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à \((BD)\).
Les droites \((AC)\) et \((AE)\) sont sécantes en \(A\) et contenues dans le plan \((ACE)\). La droite \((BD)\) est orthogonale à ces deux droites : elle est donc perpendiculaire au plan \((ACE)\).
La droite \((EC)\) est contenue dans le plan \((ACE)\). Or une droite perpendiculaire à un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan. Donc \((BD)\) et \((EC)\) sont orthogonales. Elles ne sont pas sécantes : sur un dessin, rien ne laissait deviner cet angle droit.
Figure — La droite (BD) et le plan (ACE)
En couleur, le plan \((ACE)\), qui contient aussi le point \(G\). En bleu, la droite \((BD)\), perpendiculaire à ce plan. En or, la droite \((EC)\), contenue dans le plan : elle est orthogonale à \((BD)\), et pourtant les deux droites ne se coupent pas.
Énoncé. \(ABCDEFGH\) est un cube : \(ABCD\) est la face du bas, \(EFGH\) la face du haut, et les arêtes verticales sont \([AE]\), \([BF]\), \([CG]\) et \([DH]\). Le cube est dessiné en perspective cavalière, la face \(ABFE\) étant vue de face. Sur le dessin : a) l'angle \(\widehat{ABC}\) n'apparaît pas droit ; b) le segment \([BC]\) est plus court que le segment \([AB]\) ; c) le milieu de \([BC]\) est placé au milieu du segment dessiné ; d) les droites \((EG)\) et \((BD)\) se croisent. Dis, pour chaque observation, ce qui est vrai dans la réalité.
Solution. a) La face \(ABCD\) est un carré, donc l'angle \(\widehat{ABC}\) est droit dans la réalité. Cette face est vue de côté : elle est dessinée comme un parallélogramme et l'angle droit n'est pas conservé.
b) Toutes les arêtes d'un cube ont la même longueur, donc \(BC=AB\). L'arête \([BC]\) est une fuyante : sa longueur est réduite sur le dessin.
c) C'est exact : les milieux sont conservés, même sur une fuyante. On peut donc placer un milieu directement sur le dessin.
d) Les droites \((EG)\) et \((BD)\) ne sont pas sécantes : \((EG)\) est dans le plan \((EFG)\), \((BD)\) dans le plan \((ABC)\), et ces deux plans sont strictement parallèles, donc n'ont aucun point commun. Elles ne sont pas parallèles non plus, car \((EG)\) est parallèle à \((AC)\), qui coupe \((BD)\). Elles sont non coplanaires. Elles sont même orthogonales, puisque \((AC)\) est perpendiculaire à \((BD)\) (diagonales du carré).
« Orthogonale à une droite du plan, donc perpendiculaire au plan. » Faux : il faut deux droites, et elles doivent être sécantes. Dans le cube, \((BC)\) est orthogonale à \((AB)\) et à \((HG)\), deux droites parallèles du plan \((ABG)\), et pourtant elle n'est pas perpendiculaire à ce plan.
Confondre orthogonales et perpendiculaires. Deux droites perpendiculaires se coupent. Deux droites orthogonales ne se coupent pas forcément : \((AB)\) et \((FG)\) sont orthogonales et non coplanaires.
Mesurer sur le dessin. On ne mesure ni un angle ni une longueur sur une fuyante. Un angle droit se démontre, il ne se lit pas.
Croire qu'un croisement sur la feuille est un point d'intersection. Vérifie toujours que les deux droites sont dans un même plan.
Sphère : équation, sections planes, plan tangent
La sphère de centre \(O\) et de rayon \(R\) est l'ensemble des points de l'espace situés à distance \(R\) de \(O\). Soit \(P\) un plan et \(d\) la distance de \(O\) à \(P\) :
• si \(d<R\), \(P\) coupe la sphère selon un cercle de
rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\) (plan sécant) ;
• si \(d=R\), \(P\) coupe la sphère en un unique point \(T\)
(plan tangent en \(T\), orthogonal au rayon \(OT\)) ;
• si \(d>R\), \(P\) ne rencontre pas la sphère (plan
extérieur).
Sphère de centre \(O\) et de rayon \(R=5\). Un plan \(P\) est situé à distance \(d=3\) de \(O\) : \(P\) est sécant, et coupe la sphère selon un cercle de rayon \(r=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\).
Figure interactive — Coupe d'une sphère de rayon 5 par un plan à distance \(d\)
Faites glisser \(d\) : sécant si \(d<5\), tangent si \(d=5\), extérieur si \(d>5\).
Produit vectoriel
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre : il sert à tester l'orthogonalité. Mais dans l'espace, on a souvent besoin de fabriquer un vecteur orthogonal à deux vecteurs donnés, par exemple pour obtenir un vecteur normal à un plan. Le produit vectoriel répond à ce besoin : à deux vecteurs, il associe un troisième vecteur, perpendiculaire aux deux premiers.
Soit \(\vec u\) et \(\vec v\) deux vecteurs de l'espace. Leur produit vectoriel est le vecteur noté \(\vec u\wedge\vec v\) (on lit « \(u\) vectoriel \(v\) »), défini ainsi.
- Si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires (en particulier si l'un d'eux est nul), alors \(\vec u\wedge\vec v=\vec 0\).
- Sinon, \(\vec u\wedge\vec v\) est le vecteur \(\vec w\) caractérisé par trois conditions : sa direction, il est orthogonal à \(\vec u\) et à \(\vec v\) ; son sens, les vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\), pris dans cet ordre, sont disposés comme le pouce, l'index et le majeur de la main droite ; sa norme, \(\|\vec w\|=\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\sin\theta\), où \(\theta\) est l'angle géométrique formé par \(\vec u\) et \(\vec v\).
Lecture de la norme. Le nombre \(\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\sin\theta\) est l'aire du parallélogramme construit sur \(\vec u\) et \(\vec v\). La norme du produit vectoriel est donc cette aire.
Attention à la nature du résultat. \(\vec u\cdot\vec v\) est un nombre ; \(\vec u\wedge\vec v\) est un vecteur. Le produit vectoriel n'existe que dans l'espace.
Figure — Le produit vectoriel est perpendiculaire au parallélogramme
Les vecteurs u (en bleu marine) et v (en bleu) sont dessinés dans un plan vu en perspective ; le parallélogramme construit sur eux est coloré. Le vecteur u ∧ v (en or) est perpendiculaire à ce plan, orienté vers le haut selon la règle de la main droite, et sa longueur est égale à l'aire du parallélogramme. Le vecteur v ∧ u, en pointillés, est son opposé.
Coordonnées. L'espace est muni d'un repère orthonormé direct \((O\,;\vec i,\vec j,\vec k)\). Si \(\vec u\) a pour coordonnées \((x\,;y\,;z)\) et \(\vec v\) pour coordonnées \((x'\,;y'\,;z')\), alors
\[\vec u\wedge\vec v\ \begin{pmatrix}yz'-zy'\\zx'-xz'\\xy'-yx'\end{pmatrix}.\]Règles de calcul. Pour tous vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\) et tout réel \(a\) :
- \(\vec v\wedge\vec u=-\,\vec u\wedge\vec v\) : changer l'ordre change le signe ;
- \(\vec u\wedge\vec u=\vec 0\) ;
- \((a\,\vec u)\wedge\vec v=a\,(\vec u\wedge\vec v)\) et \(\vec u\wedge(\vec v+\vec w)=\vec u\wedge\vec v+\vec u\wedge\vec w\) ;
- \(\vec i\wedge\vec j=\vec k\), \(\vec j\wedge\vec k=\vec i\), \(\vec k\wedge\vec i=\vec j\).
Deux conséquences utiles. Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est nul. Si \(A\), \(B\), \(C\) sont trois points non alignés, le vecteur \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est orthogonal à \(\overrightarrow{AB}\) et à \(\overrightarrow{AC}\) : c'est un vecteur normal au plan \((ABC)\).
1. Disposer les coordonnées en colonnes, celles de \(\vec u\) à gauche, celles de \(\vec v\) à droite, puis recopier les deux premières lignes sous la troisième.
2. Calculer trois « produits en croix ». La première coordonnée s'obtient avec les lignes 2 et 3, la deuxième avec les lignes 3 et 4 (c'est-à-dire 3 et 1), la troisième avec les lignes 4 et 5 (c'est-à-dire 1 et 2). Chaque fois : produit de la diagonale descendante moins produit de la diagonale montante.
3. Contrôler. Le vecteur obtenu doit être orthogonal à \(\vec u\) et à \(\vec v\) : on vérifie que les deux produits scalaires sont nuls. Ce contrôle détecte presque toutes les erreurs de signe.
Vecteur normal au plan \((ABC)\). On calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et de \(\overrightarrow{AC}\), puis \(\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\). Si \(\vec n\) est nul, les points sont alignés et ne définissent pas un plan. Sinon \(\vec n\) est normal au plan ; tout vecteur \(a\,\vec n\) avec \(a\neq 0\) l'est aussi, ce qui permet de simplifier les coordonnées.
Figure — La disposition du calcul pour u(1 ; 2 ; 3) et v(4 ; 5 ; 6)
Les coordonnées de u et de v sont écrites en colonnes ; les deux premières lignes sont recopiées en bas, en gris. Chaque croix donne une coordonnée : la croix bleu marine (lignes 2 et 3) donne 2 × 6 − 3 × 5 = −3, la croix bleue (lignes 3 et 4) donne 3 × 4 − 1 × 6 = 6, la croix verte (lignes 4 et 5) donne 1 × 5 − 2 × 4 = −3.
Énoncé. Dans un repère orthonormé direct, on donne \(\vec u(1\,;2\,;3)\) et \(\vec v(4\,;5\,;6)\). Calculer \(\vec u\wedge\vec v\), contrôler le résultat, puis donner \(\vec v\wedge\vec u\).
Solution : Première coordonnée : \(2\times 6-3\times 5=-3\). Deuxième : \(3\times 4-1\times 6=6\). Troisième : \(1\times 5-2\times 4=-3\). Donc \(\vec u\wedge\vec v\) a pour coordonnées \((-3\,;6\,;-3)\).
Contrôle : \((-3)\times 1+6\times 2+(-3)\times 3=-3+12-9=0\) et \((-3)\times 4+6\times 5+(-3)\times 6=-12+30-18=0\). Le vecteur trouvé est bien orthogonal à \(\vec u\) et à \(\vec v\).
Enfin \(\vec v\wedge\vec u=-\,\vec u\wedge\vec v\) a pour coordonnées \((3\,;-6\,;3)\).
Énoncé. Dans un repère orthonormé direct, on donne \(A(1\,;0\,;0)\), \(B(0\,;2\,;0)\) et \(C(0\,;0\,;3)\). a) Déterminer un vecteur normal au plan \((ABC)\). b) En déduire l'aire du triangle \(ABC\).
Solution : a) \(\overrightarrow{AB}(-1\,;2\,;0)\) et \(\overrightarrow{AC}(-1\,;0\,;3)\). On calcule \(\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) : première coordonnée \(2\times 3-0\times 0=6\) ; deuxième \(0\times(-1)-(-1)\times 3=3\) ; troisième \((-1)\times 0-2\times(-1)=2\). Donc \(\vec n(6\,;3\,;2)\).
Contrôle : \(\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=-6+6+0=0\) et \(\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=-6+0+6=0\). Le vecteur \(\vec n\) n'est pas nul : les points \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés et \(\vec n(6\,;3\,;2)\) est un vecteur normal au plan \((ABC)\).
b) La norme de \(\vec n\) est l'aire du parallélogramme construit sur \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ; le triangle \(ABC\) en est la moitié. Or \(\|\vec n\|=\sqrt{36+9+4}=\sqrt{49}=7\). L'aire du triangle \(ABC\) est \(\dfrac72\), soit 3,5 unités d'aire.
Énoncé. a) Les points \(D(1\,;1\,;1)\), \(E(3\,;0\,;4)\) et \(F(-3\,;3\,;-5)\) sont-ils alignés ? b) On donne \(\vec u(1\,;0\,;0)\) et \(\vec v(1\,;1\,;0)\). Calculer \(\vec u\wedge\vec v\) et retrouver sa norme avec la définition.
Solution : a) \(\overrightarrow{DE}(2\,;-1\,;3)\) et \(\overrightarrow{DF}(-4\,;2\,;-6)\). Leur produit vectoriel a pour coordonnées \(\big((-1)\times(-6)-3\times 2\,;\ 3\times(-4)-2\times(-6)\,;\ 2\times 2-(-1)\times(-4)\big)=(0\,;0\,;0)\). Il est nul : les vecteurs sont colinéaires (d'ailleurs \(\overrightarrow{DF}=-2\,\overrightarrow{DE}\)) et les points \(D\), \(E\), \(F\) sont alignés.
b) Première coordonnée : \(0\times 0-0\times 1=0\) ; deuxième : \(0\times 1-1\times 0=0\) ; troisième : \(1\times 1-0\times 1=1\). Donc \(\vec u\wedge\vec v=\vec k\), de norme 1. Avec la définition : \(\|\vec u\|=1\), \(\|\vec v\|=\sqrt2\), et l'angle entre \(\vec u\) et \(\vec v\) mesure \(\dfrac{\pi}{4}\) ; on retrouve \(1\times\sqrt2\times\sin\dfrac{\pi}{4}=\sqrt2\times\dfrac{\sqrt2}{2}=1\). Les deux vecteurs sont dans le plan \((O\,;\vec i,\vec j)\) et leur produit vectoriel est porté par \(\vec k\), perpendiculaire à ce plan.
Échanger les deux vecteurs. \(\vec v\wedge\vec u\) est l'opposé de \(\vec u\wedge\vec v\). Pour un vecteur normal, cela ne change rien (l'opposé d'un vecteur normal est normal), mais le résultat demandé n'est pas le même.
Se tromper dans la deuxième coordonnée. Elle vaut \(zx'-xz'\), et non \(xz'-zx'\). Pour \(\vec u(1\,;0\,;2)\) et \(\vec v(0\,;1\,;1)\), le bon résultat est \((-2\,;-1\,;1)\) ; avec l'erreur de signe on écrirait \((-2\,;1\,;1)\), qui n'est pas orthogonal à \(\vec v\). Le contrôle par le produit scalaire rattrape cette erreur.
Confondre avec le produit scalaire. Le produit scalaire est nul lorsque les vecteurs sont orthogonaux ; le produit vectoriel est nul lorsqu'ils sont colinéaires. Ce sont deux situations opposées.
Utiliser la formule dans un repère quelconque. La formule en coordonnées suppose un repère orthonormé direct.
Surfaces de niveau dans l'espace
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Voir les offresUne surface de niveau est l'ensemble des points \(M\) vérifiant une condition donnée. Trois exemples classiques, pour \(\vec u\) vecteur non nul donné et \(a,b,c\) réels donnés :
• \(\overrightarrow{AM}\cdot\vec u=a\) : un plan orthogonal à
\(\vec u\) ;
• \(MA^2+MB^2=b\) : une sphère de centre le milieu de
\([AB]\) (à condition que \(b\) soit assez grand) ;
• \(MA^2-MB^2=c\) : un plan orthogonal à \((AB)\).
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Voir les offresPlan médiateur ; distances, aires et volumes dans l’espace ; section d’une sphère par un plan
Dans l'espace, on retrouve les outils du plan : la médiatrice devient le plan médiateur, le cercle devient la sphère, et les calculs de longueurs, d'aires et de volumes se font dans des solides usuels (cube, pavé, pyramide). Ce cours rassemble ces outils et montre comment un volume peut servir à calculer une distance.
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts de l'espace, et \(I\) le milieu de \([AB]\). Le plan médiateur de \([AB]\) est l'ensemble des points \(M\) de l'espace tels que \(MA=MB\).
C'est le plan passant par \(I\) et orthogonal à la droite \((AB)\) : en effet \(MA^2-MB^2=(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB})\cdot(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})=\overrightarrow{BA}\cdot 2\overrightarrow{MI}\), qui est nul si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{IM}=0\).
Dans un repère orthonormé, \(\overrightarrow{AB}\) est donc un vecteur normal au plan médiateur, et une équation s'obtient en écrivant \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{IM}=0\). L'ensemble des points équidistants de trois points non alignés \(A\), \(B\), \(C\) est l'intersection des plans médiateurs de \([AB]\) et \([AC]\) : une droite orthogonale au plan \((ABC)\), qui passe par le centre du cercle circonscrit au triangle.
Soit \(\mathcal S\) la sphère de centre \(\Omega\) et de rayon \(R\), \(\mathcal P\) un plan, \(H\) le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \(\mathcal P\) et \(d=\Omega H\) la distance de \(\Omega\) à \(\mathcal P\).
- Si \(d\gt R\), le plan ne coupe pas la sphère.
- Si \(d=R\), le plan est tangent à la sphère en \(H\).
- Si \(d\lt R\), l'intersection est le cercle de centre \(H\) et de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\) (théorème de Pythagore dans le triangle \(\Omega HM\), rectangle en \(H\), pour \(M\) sur la section).
Vocabulaire. Sur une sphère munie d'un axe (comme la Terre avec l'axe des pôles), les parallèles sont les cercles de section par les plans perpendiculaires à l'axe ; le plus grand est l'équateur. Les méridiens sont les demi-cercles qui joignent les deux pôles : ce sont des moitiés des sections par les plans qui contiennent l'axe, cercles de rayon \(R\).
Longueurs. On cherche un triangle rectangle (Pythagore) ou on pose un repère orthonormé adapté (origine en un sommet, axes le long des arêtes) et on utilise \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\).
Angles. \(\cos\widehat{BAC}=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}\).
Volumes. Prisme et pavé : aire de la base \(\times\) hauteur. Pyramide et cône : \(\dfrac13\times\) aire de la base \(\times\) hauteur. Boule : \(\dfrac43\pi R^3\) ; sphère : aire \(4\pi R^2\).
Distance d'un point à un plan par les volumes. Un tétraèdre a le même volume quelle que soit la face choisie pour base : si on connaît son volume \(V\) et l'aire \(S\) d'une face, la distance du sommet opposé au plan de cette face vaut \(h=\dfrac{3V}{S}\).
Énoncé. Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne \(A(1\,;2\,;-1)\) et \(B(3\,;0\,;3)\). Déterminer une équation du plan médiateur de \([AB]\), puis vérifier que \(C(3\,;0\,;0)\) en fait partie.
Solution : Le milieu de \([AB]\) est \(I(2\,;1\,;1)\) et \(\overrightarrow{AB}(2\,;-2\,;4)\). Le point \(M(x\,;y\,;z)\) est dans le plan médiateur si et seulement si \(2(x-2)-2(y-1)+4(z-1)=0\), soit \(2x-2y+4z-6=0\), ou encore
\[x-y+2z-3=0.\]Pour \(C\) : \(3-0+0-3=0\). Contrôle direct : \(CA^2=4+4+1=9\) et \(CB^2=0+0+9=9\), donc \(CA=CB=3\).
Énoncé. \(\mathcal S\) est la sphère de centre \(\Omega(1\,;-1\,;2)\) et de rayon 3, \(\mathcal P\) le plan d'équation \(x+2y+2z+3=0\). Montrer que \(\mathcal P\) coupe \(\mathcal S\) selon un cercle dont on donnera le centre et le rayon.
Solution : Distance de \(\Omega\) à \(\mathcal P\) : \(d=\dfrac{|1-2+4+3|}{\sqrt{1+4+4}}=\dfrac63=2\). Comme \(2\lt 3\), la section est un cercle de rayon \(r=\sqrt{9-4}=\sqrt5\).
Son centre \(H\) est le projeté de \(\Omega\) sur \(\mathcal P\) : \(H=\Omega+t\,\vec n\) avec \(\vec n(1\,;2\,;2)\). En reportant dans l'équation : \((1+t)+2(-1+2t)+2(2+2t)+3=0\), soit \(6+9t=0\) et \(t=-\dfrac23\). Donc \(H\left(\dfrac13\,;-\dfrac73\,;\dfrac23\right)\), et l'on vérifie que \(\Omega H=\dfrac23\times 3=2\).
Énoncé. \(ABCDEFGH\) est un cube d'arête 6 (\(ABCD\) et \(EFGH\) sont deux faces opposées, \((AE)\) une arête). Calculer la longueur de la diagonale \([AG]\), le volume du tétraèdre \(ABDE\), l'aire du triangle \(BDE\), puis la distance de \(A\) au plan \((BDE)\).
Solution : \(AC=6\sqrt2\) (diagonale d'un carré), puis, dans le triangle \(ACG\) rectangle en \(C\), \(AG=\sqrt{72+36}=6\sqrt3\).
Le tétraèdre \(ABDE\) a pour base le triangle \(ABD\) (aire \(\dfrac{6\times6}2=18\)) et pour hauteur \(AE=6\) : \(V=\dfrac13\times18\times6=36\).
Le triangle \(BDE\) a trois côtés égaux à \(6\sqrt2\) (diagonales de faces) : il est équilatéral, d'aire \(\dfrac{\sqrt3}{4}\times(6\sqrt2)^2=18\sqrt3\). La distance de \(A\) au plan \((BDE)\) vaut donc \(h=\dfrac{3V}{S}=\dfrac{108}{18\sqrt3}=\dfrac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3\), soit le tiers de la diagonale \(AG\).
Figure — Le cube et le triangle BDE
Le cube ABCDEFGH d'arête 6 en perspective cavalière (arêtes cachées en pointillés). Le triangle BDE, en or, est équilatéral : ses côtés sont des diagonales de faces. La diagonale [AG], en bleu, est perpendiculaire au plan (BDE) et le coupe au tiers de sa longueur à partir de A.
Oublier le facteur \(\dfrac13\) dans le volume d'une pyramide ou d'un tétraèdre : le tétraèdre \(ABDE\) n'occupe que \(\dfrac{36}{216}=\dfrac16\) du cube.
Prendre le rayon de la sphère pour celui de la section. Le cercle de section a pour rayon \(\sqrt{R^2-d^2}\), plus petit que \(R\) sauf si le plan passe par le centre.
Confondre plan médiateur et plan passant par \(A\) et \(B\). Le plan médiateur passe par le milieu \(I\) et a pour vecteur normal \(\overrightarrow{AB}\) ; il ne contient ni \(A\) ni \(B\).
Résumé
\(\vec u\wedge\vec v\) est un vecteur orthogonal à \(\vec u\) et à \(\vec v\), de norme \(\|\vec u\|\,\|\vec v\|\sin\theta\), orienté par la règle de la main droite.
\((yz'-zy'\,;\ zx'-xz'\,;\ xy'-yx')\) dans un repère orthonormé direct.
\(\vec v\wedge\vec u=-\,\vec u\wedge\vec v\) et \(\vec u\wedge\vec u=\vec 0\).
Produit vectoriel nul si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.
\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est normal au plan \((ABC)\) ; sa norme est le double de l'aire du triangle \(ABC\).
Points équidistants de \(A\) et \(B\) : plan passant par le milieu, de vecteur normal \(\overrightarrow{AB}\).
Si \(d\lt R\), section : cercle de centre \(H\), projeté du centre, et de rayon \(\sqrt{R^2-d^2}\).
Pyramide : \(\dfrac13\times\) base \(\times\) hauteur ; distance à un plan : \(h=\dfrac{3V}{S}\).
Leurs parallèles menées par un même point sont perpendiculaires. Elles peuvent ne pas se couper.
Il suffit qu'elle soit orthogonale à deux droites sécantes du plan. Elle est alors orthogonale à toutes les droites du plan.
L'un des deux plans contient une droite perpendiculaire à l'autre plan.
L'alignement, le parallélisme, les milieux, et les figures situées dans un plan vu de face.
Les angles droits, les longueurs sur les fuyantes : on démontre, on ne mesure pas.
Orthogonale à deux droites sécantes du plan ⟹ orthogonale au plan entier.
\(d<R\) : cercle de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).
\(d=R\) : un seul point, plan orthogonal au rayon en ce point.
\(d>R\) : aucune intersection.
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Question 1. Sphère de centre \(O\) et de rayon \(R=13\). Un plan \(P_1\) est à distance \(d_1=5\) de \(O\). Quelle est la nature de la section ? Donner son rayon.
\(d_1=5<13=R\) : plan sécant. Rayon \(r=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\).
Question 2. Un plan \(P_2\) est à distance \(d_2=13\) de \(O\). Quelle est la nature de la section ?
\(d_2=13=R\) : plan tangent à la sphère en un unique point.
Question 3. Un plan \(P_3\) est à distance \(d_3=15\) de \(O\). Quelle est la nature de la section ?
\(d_3=15>13=R\) : plan extérieur à la sphère, aucune intersection.
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