Première S2-S4-S5 · Leçon 1
Généralités sur les fonctions numériques d’une variable réelle
Ce que dit le programme officiel (8 points)
- Fonctions associées à une fonction f : x ↦ f(x − a) ; x ↦ f(x) + b ; x ↦ |f(x)| ; x ↦ f(|x|) ; x ↦ f(x − a) + b
- Application à la représentation graphique des fonctions polynômes du second degré et de quelques fonctions homographiques
- Construire, à partir de la représentation graphique d’une fonction, celles des fonctions qui lui sont associées (utiliser des transformations)
- Déterminer graphiquement l’image ou l’image réciproque d’un intervalle
- Éléments de symétrie de la courbe représentative d’une fonction : changement de repère ou formules f(a + x) + f(a − x) = 2b et f(a + x) = f(a − x) ou f(2a − x) = f(x)
- Démontrer qu’un point est centre de symétrie, qu’une droite est axe de symétrie de la représentation graphique d’une fonction
- Représentation graphique de la réciproque d’une bijection : la construire
- Limite : aucune théorie ; exemples simples seulement, toute recherche systématique est exclue
Source : Programme de mathématiques, Premières S2 et S4 (Sénégal), octobre 2006
Fonctions associées : changement d'origine, d'échelle, |f|
À partir de la courbe d'une fonction \(f\), on obtient graphiquement, sans nouveau calcul de dérivée :
• la courbe de \(f^+\) (partie positive, \(f^+(x)=f(x)\) si \(f(x)\geqslant0\),
sinon \(0\)) en effaçant les portions où \(f\) est négative ;
• la courbe de \(|f|\) en repliant vers le haut, par symétrie d'axe \((Ox)\), les
portions où \(f\) est négative ;
• la courbe de \(x\mapsto f(x+a)\) par translation horizontale de la courbe de
\(f\).
Exemple. Pour \(f(x)=x^2-1\) (nulle en \(-1\) et \(1\), négative entre les deux) : \(f^+\) coïncide avec \(f\) hors de \([-1;1]\) et vaut \(0\) sur \([-1;1]\) ; \(|f|\) coïncide avec \(f\) hors de \([-1;1]\) et vaut \(1-x^2\) (symétrique par rapport à \((Ox)\)) sur \([-1;1]\) ; la courbe de \(x\mapsto f(x+2)=(x+2)^2-1\) est celle de \(f\) décalée de \(2\) vers la gauche.
Fonctions associées x ↦ f(x − a) + b, |f(x)|, f(|x|) ; centre et axe de symétrie d’une courbe
Connaître la courbe d'une fonction \(f\) permet de tracer, presque sans calcul, celles de plusieurs fonctions qui lui sont associées : on déplace la courbe, on la retourne en partie, ou on en recopie une moitié. Ces transformations font aussi apparaître des éléments de symétrie (un centre, un axe) qui réduisent l'étude d'une fonction de moitié.
Le plan est muni d'un repère orthogonal \((O\,;\vec i,\vec j)\). On note \(\mathcal C_f\) la courbe de \(f\), et \(a\), \(b\) deux réels.
- \(x\mapsto f(x-a)+b\) : sa courbe est l'image de \(\mathcal C_f\) par la translation de vecteur \(a\vec i+b\vec j\). En particulier \(x\mapsto f(x-a)\) : translation horizontale de \(a\) ; \(x\mapsto f(x)+b\) : translation verticale de \(b\).
- \(x\mapsto |f(x)|\) : on garde les parties de \(\mathcal C_f\) situées au-dessus de l'axe des abscisses, et on remplace celles situées en dessous par leurs symétriques par rapport à cet axe.
- \(x\mapsto f(|x|)\) : pour \(x\ge 0\), c'est \(f(x)\) ; on garde la partie de \(\mathcal C_f\) située dans le demi-plan \(x\ge 0\), puis on la complète par sa symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Cette fonction est paire.
Justification de la première règle : le point \(M(x\,;y)\) est sur la courbe de \(x\mapsto f(x-a)+b\) si et seulement si \(y-b=f(x-a)\), c'est-à-dire si le point \(M_0(x-a\,;y-b)\) est sur \(\mathcal C_f\). Or \(M\) est l'image de \(M_0\) par la translation de vecteur \(a\vec i+b\vec j\).
Soit \(f\) une fonction d'ensemble de définition \(D\).
Centre. Le point \(\Omega(a\,;b)\) est centre de symétrie de \(\mathcal C_f\) si et seulement si, pour tout réel \(x\) tel que \(a+x\in D\), on a aussi \(a-x\in D\) et
\[f(a+x)+f(a-x)=2b.\]Axe. La droite d'équation \(x=a\) est axe de symétrie de \(\mathcal C_f\) si et seulement si, pour tout réel \(x\) tel que \(a+x\in D\), on a aussi \(a-x\in D\) et
\[f(a+x)=f(a-x),\]ce qui s'écrit aussi : pour tout \(x\) de \(D\), \(2a-x\in D\) et \(f(2a-x)=f(x)\).
Changement de repère. Dans le repère \((\Omega\,;\vec i,\vec j)\), les coordonnées deviennent \(X=x-a\) et \(Y=y-b\). La courbe a pour équation \(Y=g(X)\) avec \(g(X)=f(a+X)-b\). Le point \(\Omega\) est centre de symétrie si \(g\) est impaire ; la droite \(x=a\) est axe de symétrie si \(f(a+X)\) est une fonction paire de \(X\). Ce sont les deux formules précédentes, lues autrement.
Tracer. On écrit la fonction sous la forme \(f(x-a)+b\) à partir d'une fonction de référence (carré, inverse, racine carrée). Pour un trinôme, la forme canonique \(\alpha(x-p)^2+q\) donne la translation de vecteur \(p\vec i+q\vec j\) appliquée à la courbe de \(x\mapsto\alpha x^2\). Pour une fonction homographique, on écrit \(\dfrac{\alpha x+\beta}{x-p}=q+\dfrac{k}{x-p}\).
Démontrer qu'un point \(\Omega(a\,;b)\) est centre de symétrie. On vérifie d'abord que \(D\) est symétrique par rapport à \(a\), puis on calcule \(f(a+x)+f(a-x)\) et on trouve \(2b\).
Démontrer que la droite \(x=a\) est axe de symétrie. On vérifie que \(D\) est symétrique par rapport à \(a\), puis on calcule \(f(a+x)\) et \(f(a-x)\), ou bien \(f(2a-x)\), et on compare.
Les valeurs de \(a\) et \(b\) se devinent souvent sur la courbe ou sur l'expression ; la démonstration se fait ensuite par le calcul.
Énoncé. Soit \(g(x)=x^2-4x+3\). Écrire \(g(x)\) sous forme canonique, en déduire la construction de sa courbe à partir de la parabole d'équation \(y=x^2\), puis démontrer que la droite d'équation \(x=2\) est un axe de symétrie.
Solution : \(x^2-4x+3=(x-2)^2-4+3=(x-2)^2-1\). Donc \(g(x)=f(x-2)-1\) avec \(f(x)=x^2\) : la courbe de \(g\) est l'image de la parabole \(y=x^2\) par la translation de vecteur \(2\vec i-\vec j\). Son sommet est le point \(S(2\,;-1)\), image de \(O\).
L'ensemble de définition est \(\mathbb R\), symétrique par rapport à 2. Pour tout réel \(x\) : \(g(2+x)=x^2-1\) et \(g(2-x)=(-x)^2-1=x^2-1\). Donc \(g(2+x)=g(2-x)\) : la droite \(x=2\) est axe de symétrie. Contrôle : \(g(1)=g(3)=0\) et \(g(0)=g(4)=3\).
Énoncé. Soit \(h(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\), définie sur \(\mathbb R\setminus\{1\}\). Écrire \(h(x)\) sous la forme \(q+\dfrac{k}{x-1}\), en déduire la construction de sa courbe, puis démontrer que \(\Omega(1\,;2)\) est centre de symétrie.
Solution : \(2x+1=2(x-1)+3\), donc \(h(x)=2+\dfrac{3}{x-1}\). Avec \(u(x)=\dfrac3x\), on a \(h(x)=u(x-1)+2\) : la courbe de \(h\) est l'image de l'hyperbole \(y=\dfrac3x\) par la translation de vecteur \(\vec i+2\vec j\). Ses asymptotes sont les droites \(x=1\) et \(y=2\).
L'ensemble \(\mathbb R\setminus\{1\}\) est symétrique par rapport à 1 : si \(1+x\neq 1\), alors \(1-x\neq 1\). Pour \(x\neq 0\) :
\[h(1+x)+h(1-x)=2+\frac3x+2+\frac{3}{-x}=4=2\times 2.\]Donc \(\Omega(1\,;2)\) est centre de symétrie. Contrôle : \(h(2)=5\) et \(h(0)=-1\), et \(5+(-1)=4\).
Figure — L'hyperbole de h et son centre de symétrie
La courbe de la fonction h de l'exemple 2, en bleu, et ses asymptotes, les droites d'équations x = 1 et y = 2, en pointillés. Le point Ω(1 ; 2), en or, est le milieu du segment qui joint les points de la courbe d'abscisses 0 et 2, et aussi de celui qui joint les points d'abscisses −2 et 4.
Énoncé. Soit \(f(x)=x^2-2x-3\). Étudier le signe de \(f(x)\), puis expliquer comment tracer les courbes de \(x\mapsto|f(x)|\) et de \(x\mapsto f(|x|)\). Calculer \(|f(1)|\), \(f(|-2|)\) et résoudre \(f(|x|)=0\).
Solution : \(f(x)=(x-1)^2-4=(x+1)(x-3)\). Le trinôme est négatif entre ses racines \(-1\) et 3, positif ailleurs.
Courbe de \(|f|\) : on garde la parabole pour \(x\le -1\) et pour \(x\ge 3\), et on remplace l'arc situé sous l'axe des abscisses, pour \(-1\lt x\lt 3\), par son symétrique par rapport à cet axe. Le sommet \((1\,;-4)\) devient le point \((1\,;4)\) : \(|f(1)|=4\).
Courbe de \(x\mapsto f(|x|)\) : pour \(x\ge 0\), c'est la parabole ; pour \(x\lt 0\), on prend la symétrique de cette moitié par rapport à l'axe des ordonnées. Ainsi \(f(|-2|)=f(2)=-3\). L'équation \(f(|x|)=0\) équivaut à \(|x|=-1\) ou \(|x|=3\) ; la première est impossible, donc les solutions sont \(-3\) et 3 (et non \(-1\)).
Figure — Courbes de f et de |f|
En bleu, la parabole de f(x) = x² − 2x − 3. En or, la courbe de |f| : elle coïncide avec la parabole hors de l'intervalle de −1 à 3 ; entre −1 et 3, l'arc situé sous l'axe des abscisses, en pointillés, est remplacé par son symétrique par rapport à cet axe, de sommet (1 ; 4).
Se tromper de sens. La courbe de \(x\mapsto f(x-2)\) est celle de \(f\) décalée de 2 vers la droite (et non vers la gauche) : la valeur que \(f\) prend en 0 est prise par \(x\mapsto f(x-2)\) en 2.
Confondre \(|f(x)|\) et \(f(|x|)\). La première retourne ce qui est sous l'axe des abscisses ; la seconde recopie la moitié droite par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. Dans l'exemple 3, \(|f(1)|=4\) mais \(f(|1|)=-4\).
Écrire \(f(a+x)+f(a-x)=b\). Le milieu des points d'ordonnées \(f(a+x)\) et \(f(a-x)\) a pour ordonnée la moitié de leur somme : c'est cette moitié qui vaut \(b\), donc la somme vaut \(2b\).
Oublier l'ensemble de définition. Avant tout calcul, il faut vérifier que \(D\) est symétrique par rapport à \(a\) : sinon il n'y a ni centre ni axe d'abscisse \(a\), même si la formule semble marcher sur quelques valeurs.
Parité et périodicité
Rappel de SecondeSoit \(f\) définie sur un ensemble \(D_f\) symétrique par rapport à \(0\) (\(x \in D_f \implies -x \in D_f\)). \(f\) est paire si \(f(-x)=f(x)\) pour tout \(x \in D_f\) ; sa courbe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. \(f\) est impaire si \(f(-x)=-f(x)\) ; sa courbe est symétrique par rapport à l'origine \(O\).
\(f\) est périodique de période \(T>0\) si \(f(x+T)=f(x)\) pour tout \(x \in D_f\) : le motif de la courbe se répète tous les \(T\).
On vérifie d'abord que \(D_f\) est symétrique par rapport à \(0\), puis on calcule \(f(-x)\) et on compare à \(f(x)\) et \(-f(x)\).
Exemple. \(f(x)=x^2-3\) : \(D_f=\mathbb{R}\) (symétrique). \(f(-x)=(-x)^2-3=x^2-3=f(x)\) : \(f\) est paire.
\(g(x)=x^3\) : \(g(-x)=(-x)^3=-x^3=-g(x)\) : \(g\) est impaire.
\(h(x)=x^2+x\) : \(h(-x)=x^2-x\), qui n'est égal ni à \(h(x)\) ni à \(-h(x)\) en général : \(h\) n'est ni paire ni impaire.
Utilité pratique. Si l'on sait qu'une fonction est paire, il suffit d'étudier son comportement sur \([0;+\infty[\), puis de compléter la courbe par symétrie — on divise le travail par deux.
Périodicité. Les fonctions cosinus et sinus (étudiées plus loin dans ce cours) sont périodiques de période \(2\pi\).
Figure interactive — Symétrie paire / impaire
Une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; une fonction impaire, symétrique par rapport à l'origine.
Fonctions réciproques et symétrie des courbes
Quand une fonction associe à chaque nombre de départ un unique nombre d’arrivée, on peut parfois remonter le chemin : à partir de l’image, retrouver l’antécédent. C’est précisément le rôle de la fonction réciproque. Cette notion est très utile pour résoudre des équations du type \(f(x)=y\), et elle possède une traduction graphique remarquable : la courbe de la réciproque s’obtient par symétrie par rapport à la droite d’équation \(y=x\) dans un repère orthonormé.
Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles. Une application \(f\) de \(E\) vers \(F\), notée \(f : E \to F\), associe à tout élément \(x\) de \(E\) un unique élément de \(F\), noté \(f(x)\). L’ensemble \(E\) est l’ensemble de départ et \(F\) l’ensemble d’arrivée.
L’application \(f\) est injective si deux éléments différents de \(E\) ont toujours des images différentes. Cela s’écrit : si \(f(x_1)=f(x_2)\), alors \(x_1=x_2\). Autrement dit, un même élément de \(F\) n’a jamais deux antécédents distincts.
L’application \(f\) est surjective si tout élément de \(F\) possède au moins un antécédent dans \(E\). Cela signifie que l’ensemble d’arrivée est entièrement atteint par l’application.
L’application \(f\) est bijective si elle est à la fois injective et surjective. Dans ce cas, chaque élément de \(F\) possède un unique antécédent dans \(E\).
Si \(f : E \to F\) est bijective, on définit sa fonction réciproque ou application réciproque, notée \(f^{-1} : F \to E\), par la règle suivante : pour tout \(y\) de \(F\), \(f^{-1}(y)\) est l’unique élément \(x\) de \(E\) tel que \(f(x)=y\). Le symbole \(f^{-1}\) ne désigne donc pas ici l’inverse multiplicatif, mais la fonction qui « défait » l’action de \(f\).
Dire que \(f^{-1}(y)=x\), c’est exactement dire que \(f(x)=y\). Les rôles de la variable de départ et de l’image sont échangés.
Si \(f : E \to F\) est bijective, alors sa réciproque \(f^{-1} : F \to E\) existe et elle est elle-même bijective. De plus, pour tout \(x\in E\) et pour tout \(y\in F\), on a les deux relations essentielles :
\[f^{-1}(f(x))=x \quad \text{et} \quad f(f^{-1}(y))=y.\]
La première égalité signifie que si tu pars d’un élément \(x\), puis que tu appliques \(f\), puis la réciproque \(f^{-1}\), tu retrouves exactement \(x\). La seconde signifie qu’en partant d’un élément \(y\) de l’ensemble d’arrivée, puis en appliquant la réciproque, puis la fonction initiale, on retrouve \(y\).
Ces deux égalités justifient l’idée que \(f\) et \(f^{-1}\) s’annulent l’une l’autre pour l’enchaînement des calculs. Elles montrent aussi que les ensembles de définition et d’arrivée sont échangés : si \(f : E \to F\), alors \(f^{-1} : F \to E\).
Une conséquence importante est la suivante : pour qu’une fonction admette une réciproque sur un ensemble donné, il faut qu’elle soit bijective sur cet ensemble. Par exemple, la fonction \(x\mapsto x^2\) n’est pas bijective sur \(\mathbb{R}\), car \(1\) et \(-1\) ont la même image. En revanche, si on la considère sur \([0,+\infty[\), elle devient bijective de \([0,+\infty[\) vers \([0,+\infty[\), et sa réciproque est la fonction racine carrée \(x\mapsto \sqrt{x}\).
Supposons que \(f\) soit une bijection d’un ensemble \(E\) vers un ensemble \(F\), et que sa représentation graphique soit tracée dans un repère orthonormé. Alors la courbe représentative de \(f^{-1}\) est l’image de la courbe représentative de \(f\) par la symétrie d’axe la droite d’équation \(y=x\).
L’idée est simple. Si un point \(M(a,b)\) appartient à la courbe de \(f\), cela signifie que \(b=f(a)\). Comme \(f^{-1}(b)=a\), le point \(N(b,a)\) appartient à la courbe de \(f^{-1}\). Or les points \((a,b)\) et \((b,a)\) sont symétriques par rapport à la droite \(y=x\). On obtient donc toute la courbe de \(f^{-1}\) en échangeant l’abscisse et l’ordonnée de chaque point de la courbe de \(f\).
Cette propriété permet de contrôler graphiquement un résultat algébrique. Si tu trouves une expression pour \(f^{-1}\), tu peux vérifier qu’elle est cohérente en observant si sa courbe semble bien symétrique de celle de \(f\) par rapport à \(y=x\).
Attention : cette symétrie n’a de sens que pour une fonction qui admet réellement une réciproque sur l’ensemble étudié. Si la fonction n’est pas bijective, la « courbe symétrique » obtenue en échangeant les coordonnées peut ne pas représenter une fonction.
Pour déterminer la réciproque d’une fonction bijective, tu peux suivre les étapes suivantes :
- Vérifie d’abord que la fonction est bijective sur l’ensemble considéré. En pratique, il faut s’assurer que chaque image correspond à un unique antécédent et que toutes les valeurs de l’ensemble d’arrivée sont atteintes.
- Écris \(y=f(x)\). Cette égalité traduit la relation entre le nombre de départ \(x\) et son image \(y\).
- Résous cette égalité pour exprimer \(x\) en fonction de \(y\). Il faut isoler \(x\) avec des transformations algébriques correctes.
- Remplace ensuite la lettre \(y\) par \(x\). L’expression obtenue est celle de \(f^{-1}(x)\). Ce changement de lettre est normal : la variable d’une fonction est une lettre muette.
- Vérifie ton résultat à l’aide des compositions : calcule \(f(f^{-1}(x))\) et \(f^{-1}(f(x))\) sur les ensembles adaptés. Tu dois retrouver \(x\).
Pour exploiter la représentation graphique : 1) repère quelques points de la courbe de \(f\) ; 2) échange leurs coordonnées ; 3) place les nouveaux points ; 4) la courbe obtenue est celle de \(f^{-1}\), symétrique de la première par rapport à \(y=x\).
Énoncé : Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x)=2x-3\). Montrer que \(f\) est bijective, puis déterminer \(f^{-1}\). Vérifier le résultat par composition.
Solution : La fonction \(f(x)=2x-3\) est une fonction affine de coefficient directeur \(2\), non nul. Quand \(x\) varie, les images varient sans répétition : la fonction est injective. De plus, pour tout réel \(y\), on peut chercher un réel \(x\) tel que \(2x-3=y\), donc la fonction atteint toute valeur réelle : elle est surjective. Elle est donc bijective.
Pour déterminer la réciproque, on pose \(y=2x-3\). On résout cette égalité en \(x\) :
\[y=2x-3\]
\[y+3=2x\]
\[x=\frac{y+3}{2}.\]
On remplace ensuite \(y\) par \(x\). On obtient :
\[f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}.\]
Vérification par composition :
\[f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=2\times \frac{x+3}{2}-3=x+3-3=x.\]
Et aussi :
\[f^{-1}(f(x))=\frac{(2x-3)+3}{2}=\frac{2x}{2}=x.\]
Le résultat est donc correct. Graphiquement, la droite de \(f^{-1}\) est la symétrique de la droite de \(f\) par rapport à \(y=x\). Par exemple, comme le point \((1,-1)\) appartient à la courbe de \(f\) car \(f(1)=2\times1-3=-1\), le point \((-1,1)\) appartient à la courbe de \(f^{-1}\).
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Voir les offresUne erreur très fréquente consiste à croire que toute fonction possède une réciproque. C’est faux. Pour qu’une réciproque existe comme fonction, il faut que la fonction de départ soit bijective sur l’ensemble étudié. Par exemple, la fonction \(f(x)=x^2\) sur \(\mathbb{R}\) n’est pas injective, car \(f(2)=4\) et \(f(-2)=4\). Le nombre \(4\) a donc deux antécédents. On ne peut pas définir une fonction réciproque sur tout \(\mathbb{R}\), car il faudrait décider si l’image réciproque de \(4\) vaut \(2\) ou \(-2\).
Un autre piège est d’écrire sans précaution \(\sqrt{x^2}=x\) pour tout réel \(x\). En réalité, on a
\[\sqrt{x^2}=|x|.\]
Contre-exemple : si \(x=-3\), alors \(\sqrt{x^2}=\sqrt{9}=3\), qui n’est pas égal à \(-3\). Cette confusion conduit à de fausses vérifications de réciproque.
Enfin, il ne faut pas confondre \(f^{-1}(x)\) et \(\dfrac{1}{f(x)}\). Par exemple, si \(f(x)=2x-3\), alors \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{2}\), tandis que \(\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{1}{2x-3}\). Ce sont deux expressions totalement différentes.
Quand tu connais quelques points simples de la courbe d’une bijection, pense immédiatement à permuter les coordonnées. Si \((a,b)\) est sur la courbe de \(f\), alors \((b,a)\) est sur celle de \(f^{-1}\). C’est souvent le moyen le plus rapide pour tracer l’allure de la courbe réciproque sans refaire toute l’étude.
Tu peux aussi garder en mémoire ce réflexe algébrique : « image puis réciproque, ou réciproque puis image, redonne le nombre de départ ». Autrement dit, dès que tu trouves une expression de \(f^{-1}\), vérifie systématiquement les deux compositions. Cette habitude évite la plupart des erreurs de signe, de domaine ou de résolution.
Restriction, prolongement, image directe et image réciproque ; fonctions majorées, minorées, bornées
Une fonction n'est pas seulement une formule : elle est donnée avec son ensemble de départ. En changeant cet ensemble, on obtient une restriction ou un prolongement, qui peut avoir d'autres propriétés. On apprend aussi à décrire l'ensemble des valeurs prises par une fonction sur une partie, et l'ensemble des nombres qui ont leur image dans une partie donnée, puis à dire si ces valeurs restent sous un plafond ou au-dessus d'un plancher.
Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(D\).
Image directe. Si \(A\) est une partie de \(D\), l'image directe de \(A\) par \(f\) est l'ensemble des images des éléments de \(A\) :
\[f(A)=\{f(x)\ :\ x\in A\}.\]Image réciproque. Si \(B\) est une partie de \(\mathbb R\), l'image réciproque de \(B\) par \(f\) est l'ensemble des éléments de \(D\) dont l'image appartient à \(B\) :
\[f^{-1}(B)=\{x\in D\ :\ f(x)\in B\}.\]La notation \(f^{-1}(B)\) a un sens pour toute fonction, même si \(f\) n'admet pas de réciproque. L'image réciproque d'un ensemble à un seul élément \(\{k\}\) est l'ensemble des antécédents de \(k\) ; elle peut être vide.
Lecture graphique. Pour \(f(A)\) : on regarde la partie de la courbe située au-dessus de \(A\) (sur l'axe des abscisses) et on lit les ordonnées de ses points. Pour \(f^{-1}(B)\) : on trace la bande horizontale formée par les ordonnées de \(B\), on repère la partie de la courbe qui s'y trouve et on lit les abscisses de ses points.
Soit \(f\) une fonction définie sur \(D\), et \(I\) une partie de \(D\). La restriction de \(f\) à \(I\) est la fonction définie sur \(I\) seulement, qui à \(x\) associe \(f(x)\). On la note parfois \(f_{|I}\).
Soit \(g\) une fonction définie sur \(D\), et \(E\) un ensemble qui contient \(D\). Une fonction \(G\) définie sur \(E\) est un prolongement de \(g\) à \(E\) si \(G(x)=g(x)\) pour tout \(x\) de \(D\). Autrement dit, \(g\) est la restriction de \(G\) à \(D\).
Une fonction a une seule restriction à un ensemble donné, mais en général une infinité de prolongements : on peut choisir librement les valeurs hors de \(D\). On cherche souvent un prolongement qui a une propriété voulue (une formule simple, la parité, la continuité).
Restreindre une fonction peut changer ses propriétés : la fonction carré, définie sur \(\mathbb R\), n'est pas injective, puisque \((-2)^2=2^2\) ; sa restriction à \([0\,;+\infty[\) est strictement croissante, donc injective, et c'est une bijection de \([0\,;+\infty[\) sur \([0\,;+\infty[\), de réciproque la fonction racine carrée.
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
- \(f\) est majorée sur \(I\) s'il existe un réel \(M\) tel que \(f(x)\le M\) pour tout \(x\) de \(I\). Le nombre \(M\) est un majorant de \(f\) sur \(I\).
- \(f\) est minorée sur \(I\) s'il existe un réel \(m\) tel que \(f(x)\ge m\) pour tout \(x\) de \(I\). Le nombre \(m\) est un minorant.
- \(f\) est bornée sur \(I\) si elle est à la fois majorée et minorée sur \(I\).
On a l'équivalence : \(f\) est bornée sur \(I\) si et seulement s'il existe un réel \(K\) tel que \(|f(x)|\le K\) pour tout \(x\) de \(I\).
Un majorant n'est pas unique : tout nombre plus grand qu'un majorant en est un aussi. Si un majorant est atteint, c'est-à-dire s'il est égal à \(f(x_0)\) pour un \(x_0\) de \(I\), c'est le maximum de \(f\) sur \(I\). Graphiquement, \(f\) est majorée par \(M\) lorsque sa courbe est entièrement sous la droite d'équation \(y=M\).
Image directe d'un intervalle. On s'appuie sur le sens de variation sur l'intervalle, ou sur la courbe : on cherche la plus petite et la plus grande valeur prise. Attention, les bornes de \(f(A)\) ne sont pas toujours les images des bornes de \(A\).
Image réciproque. On résout l'inéquation ou l'équation correspondante : \(f^{-1}([a\,;b])\) est l'ensemble des solutions de \(a\le f(x)\le b\) dans \(D\). Graphiquement, on lit les abscisses des points de la courbe situés dans la bande \(a\le y\le b\).
Montrer que \(f\) est majorée par \(M\). On étudie le signe de \(M-f(x)\) pour tout \(x\) de \(I\), souvent en le mettant sous la forme d'un carré, d'un quotient de nombres positifs ou d'une somme de termes positifs. Le majorant doit être un nombre, qui ne dépend pas de \(x\).
Montrer que \(f\) n'est pas majorée. Pour tout réel \(M\), on exhibe un \(x\) de \(I\) tel que \(f(x)\gt M\).
Énoncé. Soit \(f(x)=x^2\) sur \(\mathbb R\). Déterminer \(f([-1\,;2])\), \(f([1\,;3])\), puis \(f^{-1}([1\,;4])\), \(f^{-1}(\{9\})\) et \(f^{-1}([-3\,;-1])\).
Solution : Sur \([-1\,;2]\), la fonction décroît de 1 à 0 sur \([-1\,;0]\), puis croît de 0 à 4 sur \([0\,;2]\). Donc \(f([-1\,;2])=[0\,;4]\) (et non \([1\,;4]\)). Sur \([1\,;3]\), elle est croissante : \(f([1\,;3])=[f(1)\,;f(3)]=[1\,;9]\).
\(f^{-1}([1\,;4])\) est l'ensemble des réels \(x\) tels que \(1\le x^2\le 4\), c'est-à-dire \(1\le|x|\le 2\) :
\[f^{-1}([1\,;4])=[-2\,;-1]\cup[1\,;2].\]\(f^{-1}(\{9\})=\{-3\,;3\}\) : le nombre 9 a deux antécédents. Enfin, un carré n'est jamais négatif : \(f^{-1}([-3\,;-1])=\varnothing\).
Figure — Lecture de l'image réciproque de [1 ; 4]
La courbe de la fonction carré. En bleu sur l'axe des ordonnées, l'intervalle [1 ; 4] ; les deux droites en pointillés limitent la bande correspondante. Les points de la courbe situés dans cette bande, tracés en or, ont pour abscisses les points des deux segments en or de l'axe des abscisses : c'est l'image réciproque [−2 ; −1] ∪ [1 ; 2].
Énoncé. a) Soit \(g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\), définie sur \(\mathbb R\setminus\{1\}\). Trouver un prolongement de \(g\) à \(\mathbb R\) donné par une formule simple. b) Soit \(r(x)=\sqrt x\) sur \([0\,;+\infty[\). Déterminer le prolongement pair de \(r\) à \(\mathbb R\).
Solution : a) Pour \(x\neq 1\) : \(g(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\). La fonction \(h\) définie sur \(\mathbb R\) par \(h(x)=x+1\) prolonge donc \(g\) ; elle prend en 1 la valeur 2. Ce prolongement n'est pas le seul possible : la fonction égale à \(x+1\) pour \(x\neq 1\) et à 5 en 1 en est un autre : sa courbe est la droite d'équation \(y=x+1\) privée du point \((1\,;2)\), à laquelle s'ajoute le point isolé \((1\,;5)\).
b) Un prolongement pair \(R\) doit vérifier \(R(x)=\sqrt x\) pour \(x\ge 0\) et \(R(-x)=R(x)\). Pour \(x\lt 0\), on a \(-x\gt 0\), donc \(R(x)=R(-x)=\sqrt{-x}\). Les deux cas s'écrivent ensemble \(R(x)=\sqrt{|x|}\). Par exemple \(R(-4)=2\).
Inversement, la fonction carré a pour restriction à \([0\,;+\infty[\) une bijection de \([0\,;+\infty[\) sur \([0\,;+\infty[\) : c'est en se restreignant ainsi que l'on définit sa réciproque, la fonction racine carrée.
Énoncé. Étudier sur \(\mathbb R\) : a) \(u(x)=\dfrac{3}{x^2+1}\) ; b) \(w(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\) ; c) \(f(x)=x^2\).
Solution : a) Pour tout réel \(x\), \(x^2+1\ge 1\), donc \(0\lt\dfrac{3}{x^2+1}\le 3\). La fonction \(u\) est bornée ; 3 est son maximum, atteint en 0. Le minorant 0 n'est jamais atteint : \(u\) n'a pas de minimum.
b) Pour tout réel \(x\), \(x^2+1-2|x|=(|x|-1)^2\ge 0\), donc \(|x|\le\dfrac{x^2+1}{2}\), puis \(|w(x)|=\dfrac{|x|}{x^2+1}\le\dfrac12\). La fonction \(w\) est bornée par \(\dfrac12\) ; ce majorant est atteint, car \(w(1)=\dfrac12\), et \(w(-1)=-\dfrac12\).
c) \(x^2\ge 0\) : \(f\) est minorée par 0. Elle n'est pas majorée sur \(\mathbb R\) : pour tout réel positif \(M\), le nombre \(x=\sqrt M+1\) vérifie \(x^2\gt M\). En revanche, sa restriction à \([-2\,;1]\) est bornée : sur cet intervalle, \(0\le x^2\le 4\).
Prendre un majorant qui dépend de \(x\). Écrire \(x-1\lt x\) ne montre pas que \(x\mapsto x-1\) est majorée : un majorant est un nombre fixe, le même pour tous les \(x\) de l'intervalle.
Calculer l'image directe avec les seules bornes. \(f([-1\,;2])\) n'est pas l'intervalle d'extrémités \(f(-1)=1\) et \(f(2)=4\) : c'est \([0\,;4]\), car la fonction carré n'est pas monotone sur \([-1\,;2]\).
Oublier une partie de l'image réciproque. \(x^2\in[1\,;4]\) ne donne pas seulement \([1\,;2]\) : les réels de \([-2\,;-1]\) conviennent aussi. Sur le graphique, il faut regarder toute la bande horizontale.
Croire que la notation \(f^{-1}(B)\) suppose une réciproque. L'image réciproque existe pour toute fonction. La fonction carré n'a pas de réciproque sur \(\mathbb R\), et pourtant \(f^{-1}([1\,;4])\) est parfaitement défini.
Taux de variation ; fonctions x ↦ k/x et fonctions homographiques
Rappel de SecondeDire qu'une fonction est croissante, c'est dire que ses images sont rangées dans le même ordre que les nombres de départ. Pour le démontrer, on compare la variation des images à la variation de la variable : leur quotient s'appelle le taux de variation. Son signe donne le sens de variation. On l'applique ici aux fonctions de référence, puis aux fonctions dont la courbe est une hyperbole.
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\), et \(a\), \(b\) deux réels distincts de \(I\). Le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est le nombre
\[T(a,b)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\]C'est le coefficient directeur de la droite qui passe par les points de la courbe d'abscisses \(a\) et \(b\). Il ne change pas si l'on échange \(a\) et \(b\).
Théorème. Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
- Si \(T(a,b)\gt 0\) pour tous réels distincts \(a\) et \(b\) de \(I\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
- Si \(T(a,b)\lt 0\) pour tous réels distincts \(a\) et \(b\) de \(I\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
- Si \(T(a,b)=0\) pour tous réels distincts \(a\) et \(b\) de \(I\), alors \(f\) est constante sur \(I\).
En effet, si le taux est positif, \(f(b)-f(a)\) et \(b-a\) ont le même signe : \(a\lt b\) entraîne \(f(a)\lt f(b)\).
Pour deux réels distincts \(a\) et \(b\) de l'ensemble de définition :
| Fonction | Taux de variation entre a et b |
|---|---|
| \(x\mapsto mx+p\) | \(m\) |
| \(x\mapsto x^2\) | \(a+b\) |
| \(x\mapsto x^3\) | \(a^2+ab+b^2\) |
| \(x\mapsto\dfrac1x\) (\(a\) et \(b\) de même signe) | \(-\dfrac{1}{ab}\) |
| \(x\mapsto\sqrt x\) | \(\dfrac{1}{\sqrt a+\sqrt b}\) |
Par exemple, pour la fonction carré : \(\dfrac{b^2-a^2}{b-a}=\dfrac{(b-a)(b+a)}{b-a}=a+b\). Ce taux est négatif si \(a\) et \(b\) sont négatifs, positif s'ils sont positifs : la fonction carré est décroissante sur \(]-\infty\,;0]\) et croissante sur \([0\,;+\infty[\). Pour la fonction inverse : \(\dfrac{\frac1b-\frac1a}{b-a}=\dfrac{a-b}{ab(b-a)}=-\dfrac{1}{ab}\).
Si l'on multiplie une fonction par un réel \(k\), son taux de variation est multiplié par \(k\) ; si on lui ajoute une constante, il ne change pas.
Fonction \(x\mapsto\dfrac kx\) (\(k\neq 0\)). Elle est définie pour \(x\neq 0\) et impaire : sa courbe, une hyperbole, est symétrique par rapport à l'origine. Son taux de variation entre deux réels de même signe est \(-\dfrac{k}{ab}\), du signe de \(-k\). Donc :
- si \(k\gt 0\), la fonction est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\) ;
- si \(k\lt 0\), elle est strictement croissante sur chacun de ces deux intervalles.
Quand \(x\) devient très grand, \(\dfrac kx\) devient très proche de 0 : la courbe se rapproche de l'axe des abscisses sans l'atteindre. Quand \(x\) est très proche de 0, \(\dfrac kx\) devient très grand en valeur absolue : la courbe se rapproche de l'axe des ordonnées. On dit que les deux axes sont des asymptotes de la courbe.
Fonctions homographiques. Une fonction telle que \(x\mapsto\dfrac{ax+b}{cx}\), ou plus généralement \(x\mapsto\dfrac{ax+b}{cx+d}\) (avec \(c\neq 0\) et \(ad-bc\neq 0\)), se ramène à la précédente : on l'écrit sous la forme \(\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}\). Dans le repère d'origine \(\Omega(\alpha\,;\beta)\), sa courbe a pour équation \(Y=\dfrac kX\) : c'est une hyperbole de centre \(\Omega\), dont les asymptotes sont les droites d'équations \(x=\alpha\) et \(y=\beta\), parallèles aux axes.
Avec le taux de variation. On prend deux réels distincts \(a\) et \(b\) dans l'intervalle étudié, on calcule \(f(b)-f(a)\), on factorise par \(b-a\) puis on simplifie. On étudie enfin le signe du taux, en utilisant ce que l'on sait de \(a\) et \(b\) (par exemple « tous deux supérieurs à 2 »).
Avec un changement de repère, pour une fonction homographique. On écrit \(f(x)=\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}\) (par une division ou en faisant apparaître le dénominateur au numérateur). On pose \(X=x-\alpha\) et \(Y=y-\beta\) : la courbe devient \(Y=\dfrac kX\). On en déduit le sens de variation sur chacun des intervalles \(]-\infty\,;\alpha[\) et \(]\alpha\,;+\infty[\), les asymptotes et le centre de symétrie.
Pour tracer. On place les deux asymptotes en pointillés, quelques points de chaque côté, puis deux branches qui se rapprochent des asymptotes sans les couper.
Énoncé. Étudier, à l'aide du taux de variation, le sens de variation de \(f(x)=x^2-4x\) sur \(]-\infty\,;2]\) et sur \([2\,;+\infty[\).
Solution : Pour \(a\neq b\) : \(f(b)-f(a)=b^2-a^2-4(b-a)=(b-a)(b+a)-4(b-a)=(b-a)(a+b-4)\). Le taux de variation vaut donc \(T(a,b)=a+b-4\).
Si \(a\) et \(b\) sont deux réels distincts de \([2\,;+\infty[\), alors \(a+b\gt 4\) (l'un au moins est strictement supérieur à 2), donc \(T(a,b)\gt 0\) : \(f\) est strictement croissante sur \([2\,;+\infty[\).
Si \(a\) et \(b\) sont deux réels distincts de \(]-\infty\,;2]\), alors \(a+b\lt 4\), donc \(T(a,b)\lt 0\) : \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;2]\). La fonction admet un minimum en 2, égal à \(f(2)=-4\).
Énoncé. Soit \(g(x)=\dfrac{2x+3}{x}\), définie pour \(x\neq 0\). Étudier son sens de variation et décrire sa courbe.
Solution : \(g(x)=\dfrac{2x}{x}+\dfrac3x=2+\dfrac3x\). Ajouter la constante 2 ne change pas le taux de variation : pour \(a\) et \(b\) distincts et de même signe, \(T(a,b)=-\dfrac{3}{ab}\), qui est strictement négatif. Donc \(g\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\).
Dans le repère d'origine \(\Omega(0\,;2)\), on a \(X=x\) et \(Y=y-2\), et la courbe a pour équation \(Y=\dfrac3X\) : c'est une hyperbole de centre \(\Omega\). Ses asymptotes sont l'axe des ordonnées et la droite d'équation \(y=2\).
Quelques points : \(g(1)=5\), \(g(3)=3\), \(g(-1)=-1\), \(g(-3)=1\). La courbe coupe l'axe des abscisses lorsque \(2x+3=0\), c'est-à-dire en \(x=-1{,}5\).
Énoncé. Soit \(h(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\), définie pour \(x\neq 1\). a) Écrire \(h(x)\) sous la forme \(\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}\). b) En déduire le sens de variation de \(h\), les asymptotes et le centre de symétrie de sa courbe.
Solution : a) \(2x+1=2(x-1)+3\), donc \(h(x)=\dfrac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\dfrac{3}{x-1}\) : \(\alpha=1\), \(\beta=2\), \(k=3\).
b) On prend pour nouvelle origine \(\Omega(1\,;2)\) : \(X=x-1\), \(Y=y-2\). L'égalité \(y=2+\dfrac{3}{x-1}\) devient \(Y=\dfrac3X\). Comme \(k=3\) est positif, \(Y\) décroît quand \(X\) croît, sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\). En revenant à \(x\) : \(h\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;1[\) et sur \(]1\,;+\infty[\).
La courbe est une hyperbole de centre \(\Omega(1\,;2)\), d'asymptotes les droites d'équations \(x=1\) et \(y=2\). Points utiles : \(h(2)=5\), \(h(4)=3\), \(h(0)=-1\), \(h(-2)=1\) ; elle coupe l'axe des abscisses en \(x=-0{,}5\).
Figure — L'hyperbole de l'exemple 3
En bleu marine, les deux branches de la courbe de la fonction h. En pointillés or, ses deux asymptotes, d'équations x = 1 et y = 2 : la courbe s'en rapproche sans les couper. Elles se croisent au point Ω(1 ; 2), centre de symétrie de la courbe et origine du nouveau repère. Les points marqués sont ceux calculés dans l'exemple.
Dire « décroissante sur \(\mathbb R\) privé de 1 ». La fonction \(h\) de l'exemple 3 est décroissante sur chacun des deux intervalles, mais pas sur leur réunion : \(0\lt 2\) et pourtant \(h(0)=-1\lt h(2)=5\). Le sens de variation se donne intervalle par intervalle.
Conclure sur un seul couple. Calculer le taux entre deux valeurs particulières ne prouve rien : son signe doit être établi pour tous les couples de réels distincts de l'intervalle.
Oublier que \(a\) et \(b\) doivent être de même signe pour la fonction inverse. La formule \(-\dfrac{1}{ab}\) ne sert que sur \(]-\infty\,;0[\) ou sur \(]0\,;+\infty[\), qui sont les deux intervalles où la fonction est définie.
Faire couper une asymptote par la courbe. \(h(x)=2\) n'a pas de solution, car \(\dfrac{3}{x-1}\) n'est jamais nul ; et \(h\) n'est pas définie en 1. La courbe ne rencontre aucune de ses deux asymptotes.
Résumé
La courbe de \(x\mapsto f(x-a)+b\) est l'image de celle de \(f\) par la translation de vecteur \(a\vec i+b\vec j\).
\(|f(x)|\) : on retourne ce qui est sous l'axe des abscisses. \(f(|x|)\) : on recopie la partie \(x\ge 0\) par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
\(\Omega(a\,;b)\) est centre de symétrie si \(D\) est symétrique par rapport à \(a\) et \(f(a+x)+f(a-x)=2b\).
La droite \(x=a\) est axe de symétrie si \(D\) est symétrique par rapport à \(a\) et \(f(a+x)=f(a-x)\), soit \(f(2a-x)=f(x)\).
\(f(A)\) : l'ensemble des images des éléments de \(A\) ; on lit des ordonnées.
\(f^{-1}(B)\) : les \(x\) dont l'image est dans \(B\) ; on lit des abscisses dans une bande.
Même formule, ensemble de départ plus petit ; prolongement : mêmes valeurs sur l'ensemble de départ, valeurs ajoutées ailleurs.
\(f\) est bornée sur \(I\) s'il existe un nombre \(K\) tel que \(|f(x)|\le K\) pour tout \(x\) de \(I\).
\(T(a,b)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\) pour \(a\neq b\).
Taux toujours positif sur \(I\) : croissante ; toujours négatif : décroissante.
\(k\gt 0\) : décroissante sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\) ; \(k\lt 0\) : croissante.
\(\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}\) : hyperbole de centre \((\alpha\,;\beta)\), asymptotes \(x=\alpha\) et \(y=\beta\).