Première S2-S4-S5 · Leçon 12
Produit scalaire dans le plan et dans l’espace
Ce que dit le programme officiel (9 points)
- Rappel des propriétés du produit scalaire vues en Seconde
- Dans le plan : distance d’un point à une droite
- Lignes de niveau (a, b, k réels) : U · OM = k ; MA · MB = k ; a·MA² + b·MB² = k ; les déterminer
- Dans l’espace : bases orthogonales, bases orthonormales, repère orthonormal
- Distance de deux points, norme d’un vecteur de l’espace
- Traduction analytique de l’orthogonalité de deux vecteurs ; justifier que deux vecteurs de l’espace sont orthogonaux
- Déterminer une équation cartésienne de la sphère
- Travaux dirigés : puissance d’un point par rapport à un cercle ; cocyclicité de quatre points ; équation d’une tangente à un cercle défini par une équation cartésienne ; intersection de deux cercles
- Travaux dirigés : équations cartésiennes d’un plan ; systèmes d’équations cartésiennes d’une droite ; distance d’un point à un plan
Source : Programme de mathématiques, Premières S2 et S4 (Sénégal), octobre 2006
Produit scalaire en repère orthonormé
Rappel de SecondeDans un repère orthonormé, si \(\vec u(x;y)\) et \(\vec v(x';y')\) :
\[ \vec u \cdot \vec v = xx' + yy', \qquad \|\vec u\| = \sqrt{x^2+y^2}. \]Pour deux points \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\), la distance \(AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).
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Rappel de SecondeLe produit scalaire sait dire si deux vecteurs sont orthogonaux. Cette seule propriété suffit pour décrire une droite autrement que par sa direction : par un vecteur qui lui est perpendiculaire. On obtient alors, presque sans calcul, l'équation d'une médiatrice ou d'une hauteur, et une formule qui donne directement la distance d'un point à une droite. Dans tout ce cours, le plan est muni d'un repère orthonormé.
La norme du vecteur \(\vec u\), notée \(\|\vec u\|\), est la longueur de ce vecteur : si \(\vec u=\overrightarrow{AB}\), alors \(\|\vec u\|=AB\). Elle est liée au produit scalaire par \(\|\vec u\|^2=\vec u\cdot\vec u\), et, si \(\vec u\) a pour coordonnées \((x\,;y)\), \(\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}\).
Propriétés. Pour tous vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\) et tout réel \(\lambda\) :
- \(\|\vec u\|=0\) si et seulement si \(\vec u=\vec 0\) ;
- \(\|\lambda\vec u\|=|\lambda|\,\|\vec u\|\) ;
- inégalité de Schwarz : \(|\vec u\cdot\vec v|\leq\|\vec u\|\,\|\vec v\|\) ;
- inégalité triangulaire : \(\|\vec u+\vec v\|\leq\|\vec u\|+\|\vec v\|\).
Démonstrations. Si les deux vecteurs sont non nuls, \(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v)\) et un cosinus est compris entre \(-1\) et \(1\) : c'est l'inégalité de Schwarz. Ensuite \(\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2\leq\|\vec u\|^2+2\,\|\vec u\|\,\|\vec v\|+\|\vec v\|^2=\big(\|\vec u\|+\|\vec v\|\big)^2\) ; deux nombres positifs étant rangés comme leurs carrés, on obtient l'inégalité triangulaire.
Un vecteur normal à une droite \((D)\) est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de \((D)\).
Propriété 1. La droite passant par le point \(A(x_A\,;y_A)\) et de vecteur normal \(\vec n(a\,;b)\) est l'ensemble des points \(M(x\,;y)\) tels que \(\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0\). Elle a pour équation
\[a(x-x_A)+b(y-y_A)=0.\]Propriété 2. Réciproquement, toute droite d'équation \(ax+by+c=0\) (avec \(a\) et \(b\) non tous deux nuls) admet \(\vec n(a\,;b)\) pour vecteur normal. Le vecteur \(\vec u(-b\,;a)\) en est un vecteur directeur, et l'on a bien \(\vec n\cdot\vec u=-ab+ba=0\).
Cas de la médiatrice. La médiatrice d'un segment \([AB]\) est la droite qui passe par le milieu \(I\) de \([AB]\) et qui admet \(\overrightarrow{AB}\) pour vecteur normal : c'est l'ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{IM}\cdot\overrightarrow{AB}=0\).
La distance d'un point \(A\) à une droite \((D)\) est la longueur \(AH\), où \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur \((D)\) ; c'est la plus courte distance de \(A\) à un point de \((D)\).
Théorème. Si \((D)\) a pour équation \(ax+by+c=0\) et si \(A\) a pour coordonnées \((\alpha\,;\beta)\), alors
\[d\big(A,(D)\big)=\frac{|a\alpha+b\beta+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]Démonstration. Le vecteur \(\overrightarrow{AH}\) est colinéaire à \(\vec n(a\,;b)\) : il existe un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{AH}=k\,\vec n\), donc \(H(\alpha+ka\,;\beta+kb)\). Comme \(H\) est sur \((D)\) : \(a(\alpha+ka)+b(\beta+kb)+c=0\), d'où \(k=-\dfrac{a\alpha+b\beta+c}{a^2+b^2}\). Enfin \(AH=|k|\,\|\vec n\|=|k|\sqrt{a^2+b^2}\), ce qui donne la formule.
La démonstration fournit aussi les coordonnées du projeté \(H\), grâce à la valeur de \(k\).
Écrire l'équation d'une droite connaissant un point \(A\) et un vecteur normal \(\vec n(a\,;b)\). On écrit \(a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\) et l'on développe. Ou bien on écrit \(ax+by+c=0\) et l'on trouve \(c\) en remplaçant \(x\) et \(y\) par les coordonnées de \(A\).
Trouver une médiatrice, une hauteur, une perpendiculaire. On cherche un point (le milieu, un sommet) et un vecteur normal : c'est un vecteur directeur de la droite à laquelle on doit être perpendiculaire.
Calculer une distance. On met d'abord l'équation sous la forme \(ax+by+c=0\) (tout dans le même membre), puis on applique la formule sans oublier la valeur absolue.
Trouver le projeté orthogonal. On calcule \(k=-\dfrac{a\alpha+b\beta+c}{a^2+b^2}\), puis \(H(\alpha+ka\,;\beta+kb)\), et l'on vérifie que \(H\) est sur la droite.
Énoncé. a) Donner une équation de la droite \((D)\) passant par \(A(2\,;-1)\) et de vecteur normal \(\vec n(3\,;4)\). b) Calculer la distance du point \(B(7\,;4)\) à \((D)\). c) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) de \(B\) sur \((D)\).
Solution : a) \(3(x-2)+4(y+1)=0\), soit \(3x+4y-2=0\).
b) \(d\big(B,(D)\big)=\dfrac{|3\times 7+4\times 4-2|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{|35|}{5}=7\).
c) \(k=-\dfrac{35}{25}=-\dfrac75\), donc \(H\left(7-\dfrac75\times 3\,;4-\dfrac75\times 4\right)\), soit \(H(2{,}8\,;-1{,}6)\). Vérifications : \(3\times 2{,}8+4\times(-1{,}6)-2=8{,}4-6{,}4-2=0\), et \(BH=\sqrt{4{,}2^2+5{,}6^2}=\sqrt{49}=7\).
Figure — La droite, son vecteur normal et la distance de l'exemple 1
La droite (D), en bleu marine, passe par A et admet pour vecteur normal le vecteur n, tracé en or à partir de A. Le segment [BH], en bleu, est perpendiculaire à (D) : sa longueur 7 est la distance du point B à la droite. Il est parallèle au vecteur n.
Énoncé. On donne \(A(1\,;4)\) et \(B(5\,;-2)\). Déterminer une équation de la médiatrice \((\Delta)\) du segment \([AB]\), puis vérifier que le point \(P(0\,;-1)\) est équidistant de \(A\) et de \(B\).
Solution : Le milieu de \([AB]\) est \(I(3\,;1)\) et \(\overrightarrow{AB}(4\,;-6)\) est un vecteur normal à \((\Delta)\) ; on peut le remplacer par \(\vec n(2\,;-3)\), qui lui est colinéaire. D'où \(2(x-3)-3(y-1)=0\), soit
\[2x-3y-3=0.\]Le point \(P\) vérifie cette équation : \(2\times 0-3\times(-1)-3=0\). Il est donc sur la médiatrice. On le contrôle par les distances : \(PA^2=(1-0)^2+(4+1)^2=26\) et \(PB^2=(5-0)^2+(-2+1)^2=26\), donc \(PA=PB\).
Énoncé. Soit \(A(1\,;1)\), \(B(7\,;3)\) et \(C(3\,;6)\). Calculer la longueur de la hauteur issue de \(C\) dans le triangle \(ABC\), puis l'aire de ce triangle.
Solution : \(\overrightarrow{AB}(6\,;2)\) dirige la droite \((AB)\) ; un vecteur normal est \(\vec n(1\,;-3)\), car \(6\times 1+2\times(-3)=0\). L'équation de \((AB)\) est \((x-1)-3(y-1)=0\), soit \(x-3y+2=0\).
La hauteur issue de \(C\) a pour longueur la distance de \(C\) à \((AB)\) : \(h=\dfrac{|3-3\times 6+2|}{\sqrt{1+9}}=\dfrac{13}{\sqrt{10}}=\dfrac{13\sqrt{10}}{10}\).
Comme \(AB=\sqrt{36+4}=2\sqrt{10}\), l'aire vaut \(\dfrac12\times AB\times h=\dfrac12\times 2\sqrt{10}\times\dfrac{13}{\sqrt{10}}=13\).
Confondre vecteur normal et vecteur directeur. Dans \(3x+4y-2=0\), le vecteur \((3\,;4)\) est normal à la droite ; un vecteur directeur est \((-4\,;3)\).
Oublier la valeur absolue ou la racine. Une distance est positive, et le dénominateur est \(\sqrt{a^2+b^2}\), non \(a^2+b^2\) ni \(a+b\).
Appliquer la formule à une équation mal rangée. Pour la droite \(3x=4y-6\), on écrit d'abord \(3x-4y+6=0\) : alors \(a=3\), \(b=-4\), \(c=6\). La distance du point \((1\,;1)\) à cette droite est \(\dfrac{|3-4+6|}{5}=1\).
Croire que l'inégalité triangulaire est une égalité. \(\|\vec u+\vec v\|\) n'est égal à \(\|\vec u\|+\|\vec v\|\) que si les deux vecteurs ont même direction et même sens. Pour \(\vec u(1\,;1)\) et \(\vec v(-3\,;-3)\), la somme a pour norme \(2\sqrt2\), alors que la somme des normes vaut \(4\sqrt2\).
Ensembles de points et lignes de niveau (théorème de la médiane)
Rappel de SecondeDans un triangle \(ABC\), en notant \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) :
\[ a^2 = b^2+c^2-2bc\cos\widehat A. \]Retrouvée en développant \(BC^2=\overrightarrow{BC}\,^2=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^2\) via la linéarité du produit scalaire. Cas particulier : si \(\widehat A=90°\), on retrouve exactement le théorème de Pythagore.
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Voir les offresFigure interactive — Cercle de diamètre [AB]
Déplacez M sur le cercle : l'angle en M reste toujours droit — vérification visuelle de \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\).
Produit scalaire dans l'espace, orthogonalité, vecteur normal
Le produit scalaire de l'espace prolonge celui du plan, avec les mêmes propriétés (bilinéarité, symétrie). Dans un repère orthonormé \((O;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)\), pour \(\vec u(x;y;z)\) et \(\vec v(x';y';z')\) :
\[ \vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz', \qquad \|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. \]La distance entre \(A(x_A;y_A;z_A)\) et \(B(x_B;y_B;z_B)\) vaut \(AB=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\).
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Voir les offresDeux droites de vecteurs directeurs \(\vec u,\vec v\) sont orthogonales si \(\vec u\cdot\vec v=0\) (même si elles ne se coupent pas — cas des droites gauches orthogonales). Une droite de vecteur directeur \(\vec u\) est orthogonale à un plan \(P\) si \(\vec u\) est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de \(P\) — elle l'est alors à tout vecteur de \(P\).
Un vecteur \(\vec n\) est normal au plan \(P\) s'il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de \(P\) (donc à toute droite de \(P\)). Le plan \(\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0\) admet \(\vec n(\alpha;\beta;\gamma)\) pour vecteur normal — lecture directe sur l'équation. Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
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Voir les offresFigure — Plan \(P\) et son vecteur normal \(\vec n\)
\(\vec n\) est orthogonal à toute droite tracée dans le plan \(P\), quelle que soit sa direction.
Résultat admis. Un angle droit se projette orthogonalement sur un plan suivant un angle droit si et seulement si l'un au moins de ses côtés est parallèle au plan de projection. Sans cette condition, l'angle projeté peut être quelconque — c'est un piège classique en représentation en perspective.
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Voir les offresSphère : équation, sections planes, plan tangent
La sphère de centre \(O\) et de rayon \(R\) est l'ensemble des points de l'espace situés à distance \(R\) de \(O\). Soit \(P\) un plan et \(d\) la distance de \(O\) à \(P\) :
• si \(d<R\), \(P\) coupe la sphère selon un cercle de
rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\) (plan sécant) ;
• si \(d=R\), \(P\) coupe la sphère en un unique point \(T\)
(plan tangent en \(T\), orthogonal au rayon \(OT\)) ;
• si \(d>R\), \(P\) ne rencontre pas la sphère (plan
extérieur).
Sphère de centre \(O\) et de rayon \(R=5\). Un plan \(P\) est situé à distance \(d=3\) de \(O\) : \(P\) est sécant, et coupe la sphère selon un cercle de rayon \(r=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\).
Figure interactive — Coupe d'une sphère de rayon 5 par un plan à distance \(d\)
Faites glisser \(d\) : sécant si \(d<5\), tangent si \(d=5\), extérieur si \(d>5\).
Équation cartésienne d'un cercle
Rappel de SecondeLe cercle de centre \(\Omega(a;b)\) et de rayon \(r\) a pour équation, en repère orthonormé :
\[ (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2. \]Pour trouver l'intersection d'une droite et d'un cercle, on substitue l'équation (ou la représentation paramétrique) de la droite dans celle du cercle : on obtient une équation du second degré en \(x\) (ou en \(t\)), dont le discriminant indique 0, 1 (tangente) ou 2 points d'intersection.
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Voir les offresPuissance d’un point par rapport à un cercle ; tangente à un cercle ; intersection de deux cercles
Le produit scalaire donne des outils efficaces sur les cercles : un nombre, la puissance d'un point, dit si le point est à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle et mesure les tangentes qu'on peut en mener ; une équation de tangente s'écrit en une ligne ; l'intersection de deux cercles se ramène à celle d'une droite et d'un cercle.
Soit \(\mathcal C\) le cercle de centre \(\Omega\) et de rayon \(r\), et \(M\) un point du plan. La puissance de \(M\) par rapport à \(\mathcal C\) est le nombre
\[p(M)=M\Omega^2-r^2.\]Propriété. Si une droite passant par \(M\) coupe \(\mathcal C\) en \(A\) et \(B\), alors \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=p(M)\), quelle que soit la droite. Démonstration : soit \(A'\) le point diamétralement opposé à \(A\) ; l'angle \(\widehat{ABA'}\) est droit, donc \(B\) est le projeté orthogonal de \(A'\) sur \((MA)\) et \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MA'}=(\overrightarrow{M\Omega}+\overrightarrow{\Omega A})\cdot(\overrightarrow{M\Omega}-\overrightarrow{\Omega A})=M\Omega^2-r^2\).
Conséquences. \(p(M)\lt 0\) si \(M\) est intérieur au cercle, \(p(M)=0\) s'il est sur le cercle, \(p(M)\gt 0\) s'il est extérieur ; dans ce dernier cas, si \(T\) est le point de contact d'une tangente issue de \(M\), \(p(M)=MT^2\). Si le cercle a pour équation \(x^2+y^2+ax+by+c=0\), alors \(p(M)=x_M^2+y_M^2+ax_M+by_M+c\).
Cocyclicité. Si deux droites \((AB)\) et \((CD)\) se coupent en \(M\), avec \(A,B,C,D\) distincts de \(M\), et si \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{MD}\), alors \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont sur un même cercle (résultat admis, réciproque de la propriété).
Tangente. La tangente à \(\mathcal C\) en un point \(T\) du cercle est la droite passant par \(T\) et perpendiculaire à \((\Omega T)\) : c'est l'ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{\Omega T}\cdot\overrightarrow{TM}=0\). Avec \(\Omega(a\,;b)\) et \(T(x_0\,;y_0)\), son équation est
\[(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0.\]Intersection de deux cercles. Si \(\mathcal C\) et \(\mathcal C'\) ont pour équations \(E=0\) et \(E'=0\), avec les mêmes termes \(x^2+y^2\), un point commun vérifie \(E-E'=0\), qui est l'équation d'une droite lorsque les centres sont distincts. On résout donc le système formé de cette droite et de l'un des cercles : 0, 1 ou 2 points communs. On peut prévoir le nombre en comparant la distance \(d\) des centres aux rayons : deux points si \(|r-r'|\lt d\lt r+r'\).
1) Forme canonique : \(x^2+y^2-4x+2y-20=0\) s'écrit \((x-2)^2+(y+1)^2=25\) : centre \(\Omega(2\,;-1)\), rayon 5.
2) Position d'un point : on remplace ses coordonnées dans le premier membre ; on obtient sa puissance, dont le signe indique la position.
3) Tangente en \(T\) : on vérifie que \(T\) est sur le cercle, puis on écrit \(\overrightarrow{\Omega T}\cdot\overrightarrow{TM}=0\). Contrôle : la distance de \(\Omega\) à la tangente est égale au rayon.
4) Deux cercles : on soustrait les équations pour obtenir la droite commune, puis on substitue.
Énoncé. Soit \(\mathcal C : x^2+y^2-4x+2y-20=0\) et \(M(8\,;-1)\). Calculer \(p(M)\), en déduire la position de \(M\) et la longueur des tangentes issues de \(M\). Vérifier avec la droite d'équation \(y=-1\).
Solution : \(p(M)=64+1-32-2-20=11\). C'est positif : \(M\) est extérieur au cercle. Autre calcul : \(M\Omega=6\), \(6^2-5^2=11\). La longueur des tangentes issues de \(M\) est \(MT=\sqrt{11}\).
La droite \(y=-1\) passe par \(M\) et par le centre ; elle coupe \(\mathcal C\) en \(A(7\,;-1)\) et \(B(-3\,;-1)\). Alors \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=(-1)\times(-11)+0=11=p(M)\).
Figure — Les tangentes issues d'un point extérieur
Le cercle de centre Ω(2 ; −1) et de rayon 5, en bleu, et le point M(8 ; −1). Les deux tangentes issues de M, en or, touchent le cercle en deux points T et T′ ; chacune mesure √11, racine carrée de la puissance de M. La sécante (MA), en gris, passe par le centre et coupe le cercle en A(7 ; −1) et B(−3 ; −1).
Énoncé. Vérifier que \(T(5\,;3)\) est sur le cercle \(\mathcal C\) de l'exemple 1 et déterminer une équation de la tangente en \(T\).
Solution : \(25+9-20+6-20=0\) : \(T\) est sur \(\mathcal C\). On a \(\overrightarrow{\Omega T}(3\,;4)\). Un point \(M(x\,;y)\) est sur la tangente si et seulement si \(\overrightarrow{\Omega T}\cdot\overrightarrow{TM}=0\), soit \(3(x-5)+4(y-3)=0\) :
\[3x+4y-27=0.\]Contrôle : la distance de \(\Omega(2\,;-1)\) à cette droite vaut \(\dfrac{|3\times2+4\times(-1)-27|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{25}{5}=5\), le rayon.
Énoncé. Déterminer les points communs à \(\mathcal C : x^2+y^2-4x+2y-20=0\) et \(\mathcal C' : x^2+y^2-4x-10y+4=0\).
Solution : \(\mathcal C'\) a pour centre \((2\,;5)\) et pour rayon 5. La distance des centres vaut 6, comprise entre \(0\) et \(10\) : les cercles se coupent en deux points. En soustrayant les équations : \(12y-24=0\), soit \(y=2\).
On reporte dans \(\mathcal C\) : \(x^2+4-4x+4-20=0\), soit \(x^2-4x-12=0\), de solutions 6 et \(-2\). Les points communs sont \((6\,;2)\) et \((-2\,;2)\) ; on vérifie qu'ils sont aussi sur \(\mathcal C'\) : \(36+4-24-20+4=0\) et \(4+4+8-20+4=0\).
Oublier que la puissance est un produit scalaire. Si \(M\) est intérieur au cercle, \(A\) et \(B\) sont de part et d'autre de \(M\) : \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=-MA\times MB\), négatif. Écrire \(MA\times MB\) sans signe fait perdre l'information.
Soustraire des équations non normalisées. Pour obtenir la droite commune, les deux équations doivent commencer par \(x^2+y^2\) avec le coefficient 1 ; sinon on divise d'abord.
Prendre un vecteur directeur pour un vecteur normal. La tangente en \(T\) est perpendiculaire à \((\Omega T)\) : \(\overrightarrow{\Omega T}\) est un vecteur normal à la tangente, d'où l'équation \(3x+4y+c=0\).
Droites et plans de l'espace : représentations, positions relatives, intersections
La droite \(D\) passant par \(A(x_A;y_A;z_A)\) et dirigée par \(\vec u(a;b;c)\) admet pour représentation paramétrique, \(t\in\mathbb R\) :
\[ \begin{cases} x=x_A+ta \\ y=y_A+tb \\ z=z_A+tc \end{cases} \]Chaque valeur de \(t\) donne un point de \(D\) ; \(t=0\) redonne \(A\).
Droite \(D\) passant par \(A(1;-2;3)\), dirigée par \(\vec u(2;1;-1)\) : \(x=1+2t,\ y=-2+t,\ z=3-t\). Pour \(t=1\) : le point \((3;-1;2)\) appartient à \(D\).
Le plan \(P\) passant par \(A(x_A;y_A;z_A)\), de vecteurs directeurs \(\vec u(a_1;b_1;c_1)\) et \(\vec v(a_2;b_2;c_2)\) non colinéaires, admet pour représentation paramétrique, \((t,t')\in\mathbb R^2\) :
\[ \begin{cases} x=x_A+ta_1+t'a_2 \\ y=y_A+tb_1+t'b_2 \\ z=z_A+tc_1+t'c_2 \end{cases} \]\(P\) admet aussi une équation cartésienne de la forme \(\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0\), où \((\alpha;\beta;\gamma)\neq(0;0;0)\). Un point \(M(x;y;z)\) appartient à \(P\) si et seulement si ses coordonnées vérifient cette équation.
Plan \(P:\ 2x-y+3z-4=0\). Le point \(M(1;0;\tfrac23)\) : on remplace, \(2(1)-0+3(\tfrac23)-4=2+2-4=0\) ✓ : \(M\in P\). Le point \(N(1;1;1)\) : \(2-1+3-4=0\) ✓ : \(N\in P\) également.
Une droite et un plan sont soit sécants (un seul point commun), soit parallèles — la droite est alors incluse dans le plan ou strictement en dehors. Deux plans sont soit sécants (leur intersection est une droite), soit parallèles (confondus ou disjoints). Une projection sur un plan parallèlement à une droite (ou sur une droite parallèlement à un plan) conserve l'équipollence des bipoints, le parallélisme, l'alignement et les milieux.
- Deux droites de l'espace qui ne sont pas parallèles ne sont pas forcément sécantes : elles peuvent être non coplanaires (« gauches »), cas qui n'existe pas dans le plan.
- Pour qu'une droite soit incluse dans un plan, il ne suffit pas qu'elle lui soit parallèle : il faut en plus qu'un de ses points appartienne au plan.
Distance d'un point à un plan, projeté orthogonal
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Voir les offresUne surface de niveau est l'ensemble des points \(M\) vérifiant une condition donnée. Trois exemples classiques, pour \(\vec u\) vecteur non nul donné et \(a,b,c\) réels donnés :
• \(\overrightarrow{AM}\cdot\vec u=a\) : un plan orthogonal à
\(\vec u\) ;
• \(MA^2+MB^2=b\) : une sphère de centre le milieu de
\([AB]\) (à condition que \(b\) soit assez grand) ;
• \(MA^2-MB^2=c\) : un plan orthogonal à \((AB)\).
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\(\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}\) ; \(\|\vec u+\vec v\|\leq\|\vec u\|+\|\vec v\|\).
La droite \(ax+by+c=0\) admet \(\vec n(a\,;b)\) pour vecteur normal.
Par \(A\), de vecteur normal \(\vec n(a\,;b)\) : \(a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\).
Elle passe par le milieu de \([AB]\) et admet \(\overrightarrow{AB}\) pour vecteur normal.
\(d=\dfrac{|a\alpha+b\beta+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) pour le point \((\alpha\,;\beta)\).
\(p(M)=M\Omega^2-r^2=\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}\) pour toute sécante ; signe : intérieur, sur, extérieur.
\(\overrightarrow{\Omega T}\cdot\overrightarrow{TM}=0\) ; la distance du centre à la tangente est le rayon.
Soustraire les équations donne une droite ; on la coupe avec l'un des cercles.
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Voir les offresOrthogonale à deux droites sécantes du plan ⟹ orthogonale au plan entier.
\(d<R\) : cercle de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).
\(d=R\) : un seul point, plan orthogonal au rayon en ce point.
\(d>R\) : aucune intersection.
\(a\vec u+b\vec v+c\vec w=\vec 0\) avec \(a,b,c\) non tous nuls.
\((x_A+ta,\ y_A+tb,\ z_A+tc)\), point + vecteur directeur.
Paramétrique (point + 2 vecteurs) ou cartésienne \(\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0\).
Non parallèles et non sécantes — spécifique à l'espace.
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Voir les offresQuestion 1. Sphère de centre \(O\) et de rayon \(R=13\). Un plan \(P_1\) est à distance \(d_1=5\) de \(O\). Quelle est la nature de la section ? Donner son rayon.
\(d_1=5<13=R\) : plan sécant. Rayon \(r=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\).
Question 2. Un plan \(P_2\) est à distance \(d_2=13\) de \(O\). Quelle est la nature de la section ?
\(d_2=13=R\) : plan tangent à la sphère en un unique point.
Question 3. Un plan \(P_3\) est à distance \(d_3=15\) de \(O\). Quelle est la nature de la section ?
\(d_3=15>13=R\) : plan extérieur à la sphère, aucune intersection.
Question 1. Donner une représentation paramétrique de la droite \(D\) passant par \(A(0;1;2)\) et \(B(3;-1;1)\).
\(\overrightarrow{AB}(3;-2;-1)\) dirige \(D\) : \(x=3t,\ y=1-2t,\ z=2-t\), \(t\in\mathbb R\).
Question 2. Le point \(C(1;1;2)\) appartient-il au plan \(P:\ x+2y-z-1=0\) ?
\(1+2(1)-2-1=1+2-2-1=0\) ✓ : \(C\in P\).
Question 3. Les vecteurs \(\vec u(1;1;0)\), \(\vec v(0;1;1)\), \(\vec w(2;4;2)\) sont-ils coplanaires ?
Cherchons \(a,b\) : \(\vec w=a\vec u+b\vec v\) donne \(2=a\), \(4=a+b\Rightarrow b=2\), \(2=b=2\) ✓. Cohérent sur les trois coordonnées : oui, coplanaires (\(\vec w=2\vec u+2\vec v\)).
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