Équations, inéquations, systèmes

Énoncé. Résoudre : a) \(3x^2-10x+7=0\) ; b) \(x^2+6x-7=0\).

Solution : a) \(b=-10=2\times(-5)\), donc \(b'=-5\). \(\Delta'=(-5)^2-3\times 7=25-21=4\), strictement positif, et \(\sqrt{\Delta'}=2\). Les solutions sont \(x_1=\dfrac{5-2}{3}=1\) et \(x_2=\dfrac{5+2}{3}=\dfrac73\). Avec la formule habituelle, on aurait manipulé \(\Delta=100-84=16\) : le résultat est le même.

b) \(b'=3\) et \(\Delta'=9-1\times(-7)=16\), donc \(\sqrt{\Delta'}=4\). Les solutions sont \(x_1=-3-4=-7\) et \(x_2=-3+4=1\). Contrôle : la somme vaut \(-6=-\dfrac ba\) et le produit \(-7=\dfrac ca\).

Énoncé. Résoudre : a) \(x^4-5x^2+4=0\) ; b) \(x^4-x^2-12=0\).

Solution : a) On pose \(X=x^2\) : \(X^2-5X+4=0\). \(\Delta=25-16=9\), d'où \(X=\dfrac{5-3}{2}=1\) ou \(X=\dfrac{5+3}{2}=4\). Les deux valeurs sont positives : \(x^2=1\) donne \(x=1\) ou \(x=-1\) ; \(x^2=4\) donne \(x=2\) ou \(x=-2\). L'équation a quatre solutions : \(-2\), \(-1\), \(1\), \(2\).

b) Avec \(X=x^2\) : \(X^2-X-12=0\). \(\Delta=1+48=49\), d'où \(X=\dfrac{1+7}{2}=4\) ou \(X=\dfrac{1-7}{2}=-3\). L'égalité \(x^2=-3\) est impossible ; \(x^2=4\) donne \(x=2\) ou \(x=-2\). L'équation n'a que deux solutions : \(-2\) et \(2\).

Énoncé. Résoudre l'équation \(\dfrac1x+\dfrac1{x+3}=\dfrac12\).

Solution : Valeurs interdites : \(x=0\) et \(x=-3\). Pour \(x\) différent de ces deux valeurs, on multiplie les deux membres par \(2x(x+3)\), qui n'est pas nul : \(2(x+3)+2x=x(x+3)\), soit \(4x+6=x^2+3x\), c'est-à-dire

\(\Delta=1+24=25\) ; les solutions sont \(\dfrac{1-5}{2}=-2\) et \(\dfrac{1+5}{2}=3\). Aucune n'est une valeur interdite.

Vérification : pour \(x=3\), \(\dfrac13+\dfrac16=\dfrac12\) ; pour \(x=-2\), \(-\dfrac12+1=\dfrac12\). L'ensemble des solutions est \(\{-2\,;3\}\).

Énoncé. Un atelier fabrique des tables et des bancs. Une table demande 1 heure de menuiserie et 2 heures de finition ; un banc demande 1 heure de menuiserie et 1 heure de finition. Chaque jour, l'atelier dispose de 8 heures de menuiserie et de 14 heures de finition. Le bénéfice est de 3 000 F par table et de 2 000 F par banc. Combien de tables et de bancs faut-il fabriquer par jour pour que le bénéfice soit maximal ?

Solution : Soit \(x\) le nombre de tables et \(y\) le nombre de bancs fabriqués par jour. Les contraintes sont \(x\geq 0\), \(y\geq 0\), \(x+y\leq 8\) (menuiserie) et \(2x+y\leq 14\) (finition). Le bénéfice, en milliers de francs, est \(z=3x+2y\).

Le domaine est le quadrilatère de sommets \(O(0\,;0)\), \(A(7\,;0)\), \(B(6\,;2)\) et \(C(0\,;8)\). Le sommet \(B\) est l'intersection des droites \(x+y=8\) et \(2x+y=14\) : par soustraction \(x=6\), puis \(y=2\). Le point \(A\) vérifie \(2x+y=14\) avec \(y=0\), et \(7+0\leq 8\).

Valeurs de \(z\) : en \(O\), 0 ; en \(A\), \(3\times 7=21\) ; en \(B\), \(18+4=22\) ; en \(C\), \(2\times 8=16\). Le maximum est 22, atteint en \(B\) : l'atelier doit fabriquer 6 tables et 2 bancs par jour, pour un bénéfice de 22 000 F. Toutes les heures disponibles sont alors utilisées.

Énoncé. Un éleveur compose chaque jour une ration avec deux aliments. Un kilogramme de l'aliment P apporte 2 unités de protéines et 1 unité de vitamines ; un kilogramme de l'aliment Q apporte 1 unité de protéines et 2 unités de vitamines. La ration doit apporter au moins 8 unités de protéines et au moins 10 unités de vitamines. L'aliment P coûte 400 F le kilogramme, l'aliment Q 300 F. Quelle ration coûte le moins cher ?

Solution : Soit \(x\) et \(y\) les masses, en kilogrammes, des aliments P et Q. Les contraintes sont \(x\geq 0\), \(y\geq 0\), \(2x+y\geq 8\) (protéines) et \(x+2y\geq 10\) (vitamines). Le coût, en centaines de francs, est \(z=4x+3y\).

L'origine ne vérifie aucune des deux dernières inéquations : le domaine est la région située au-dessus des deux droites, dans le quart de plan des coordonnées positives. Il n'est pas borné, mais il a trois sommets : \(D(0\,;8)\), \(E(2\,;4)\) et \(F(10\,;0)\). Le point \(E\) est l'intersection des deux droites : de \(y=8-2x\), on tire \(x+16-4x=10\), d'où \(x=2\) et \(y=4\).

Valeurs de \(z\) : en \(D\), 24 ; en \(E\), \(8+12=20\) ; en \(F\), 40. Comme le coût augmente lorsqu'on s'éloigne de l'origine, il n'y a pas de maximum, mais le minimum est 20, atteint en \(E\) : la ration la moins chère comporte 2 kg de l'aliment P et 4 kg de l'aliment Q, et coûte 2 000 F.