Première S2-S4-S5 · Leçon 13
Angles orientés
Ce que dit le programme officiel (5 points)
- Rappels et compléments ; propriétés ; notion d’arc orienté
- Mesures des angles orientés ; mesure principale ; déterminer la mesure principale connaissant une mesure
- Relations liant les différentes mesures ; notation de congruence et règles d’utilisation (addition, multiplication)
- Relation de Chasles pour les angles orientés
- Le cercle trigonométrique joue un rôle majeur
Source : Programme de mathématiques, Premières S2 et S4 (Sénégal), octobre 2006
Cercle orienté, arcs orientés et angle orienté de deux demi-droites
Rappel de SecondeUn angle géométrique dit de combien on tourne, mais pas dans quel sens. Or une aiguille, une roue ou une porte ne tournent pas de la même façon dans un sens et dans l'autre. Pour en tenir compte, on commence par choisir un sens de parcours sur les cercles : on obtient des arcs, puis des angles, munis d'un signe.
Sur un cercle, il y a deux sens de parcours. Orienter le cercle, c'est choisir l'un des deux comme sens positif. Par convention, le sens direct (ou positif) est le sens inverse de celui des aiguilles d'une montre ; l'autre est le sens indirect (ou négatif).
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, orienté dans le sens direct, sur lequel on a choisi un point origine \(I\).
Le radian. Sur un cercle de rayon 1, un arc de longueur 1 intercepte un angle au centre de 1 radian. Le cercle entier a pour longueur \(2\pi\) : un tour complet mesure \(2\pi\) radians, un demi-tour \(\pi\) radians. D'où la correspondance \(180^\circ=\pi\ \text{rad}\), et le tableau :
| Degrés | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 180 | 360 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\frac{2\pi}{3}\) | \(\pi\) | \(2\pi\) |
Sur un cercle de rayon \(r\), un angle au centre de \(\alpha\) radians intercepte un arc de longueur \(r\alpha\).
Soit \(A\) et \(B\) deux points d'un cercle orienté de rayon 1. L'arc orienté d'origine \(A\) et d'extrémité \(B\) est le couple \((A\,;B)\) : on part de \(A\), on arrive en \(B\), et l'ordre compte.
Pour aller de \(A\) à \(B\) sur le cercle, on peut tourner dans le sens direct ou dans le sens indirect, et faire en plus autant de tours complets que l'on veut. À chaque trajet, on associe un nombre : la longueur parcourue, comptée positivement dans le sens direct et négativement dans le sens indirect. Chacun de ces nombres est une mesure, en radians, de l'arc orienté.
Propriété. Si \(\alpha\) est une mesure de l'arc orienté \((A\,;B)\), toutes ses mesures sont les nombres \(\alpha+2k\pi\), où \(k\) est un entier relatif. Un arc orienté a donc une infinité de mesures, qui diffèrent d'un nombre entier de tours.
Mesure principale. Parmi ces mesures, une seule appartient à l'intervalle \(]-\pi\,;\pi]\) : c'est la mesure principale. Elle correspond au plus court trajet de \(A\) à \(B\).
Figure — Deux trajets de A à B sur le cercle trigonométrique
Le point \(A\) est l'origine \(I\) du cercle et le point \(B\) est tel que l'arc direct de \(A\) à \(B\) mesure \(\frac{2\pi}{3}\). En or, ce trajet dans le sens direct : mesure \(\frac{2\pi}{3}\). En bleu, le trajet dans le sens indirect : mesure \(\frac{2\pi}{3}-2\pi=-\frac{4\pi}{3}\). Les deux nombres sont des mesures du même arc orienté ; la mesure principale est \(\frac{2\pi}{3}\).
Soit \(A\), \(B\), \(C\) trois points d'un cercle orienté de rayon 1. Les égalités suivantes sont vraies « à un nombre entier de tours près », c'est-à-dire à \(2k\pi\) près.
- Arc nul. L'arc orienté \((A\,;A)\) a pour mesure 0.
- Changement de sens. Si \(\alpha\) est une mesure de \((A\,;B)\), alors \(-\alpha\) est une mesure de \((B\,;A)\).
- Relation de Chasles. Si \(\alpha\) est une mesure de \((A\,;B)\) et \(\beta\) une mesure de \((B\,;C)\), alors \(\alpha+\beta\) est une mesure de \((A\,;C)\).
Sur le cercle trigonométrique, on repère un point \(M\) par une mesure \(x\) de l'arc orienté \((I\,;M)\). Si \(A\) et \(B\) sont repérés par \(a\) et \(b\), la relation de Chasles montre que \(b-a\) est une mesure de l'arc orienté \((A\,;B)\).
Soit \([Ox)\) et \([Oy)\) deux demi-droites de même origine \(O\). On trace le cercle de centre \(O\) et de rayon 1, orienté dans le sens direct ; il coupe \([Ox)\) en \(A\) et \([Oy)\) en \(B\).
L'angle orienté du couple de demi-droites \(([Ox)\,;[Oy))\) a pour mesures celles de l'arc orienté \((A\,;B)\). Il a donc une infinité de mesures, de la forme \(\alpha+2k\pi\), et une seule mesure principale, dans \(]-\pi\,;\pi]\).
Lien avec l'angle géométrique. La valeur absolue de la mesure principale est la mesure, en radians, de l'angle géométrique \(\widehat{xOy}\). Le signe indique le sens dans lequel on tourne pour amener \([Ox)\) sur \([Oy)\) par le plus court chemin : positif dans le sens direct, négatif dans le sens indirect.
L'ordre compte. Les angles orientés \(([Ox)\,;[Oy))\) et \(([Oy)\,;[Ox))\) ont des mesures opposées.
Vers les vecteurs. L'angle orienté de deux vecteurs non nuls \(\vec u\) et \(\vec v\) est celui des demi-droites \([Ox)\) et \([Oy)\) d'origine \(O\) dirigées par \(\vec u\) et par \(\vec v\).
On connaît une mesure \(\alpha\) d'un arc ou d'un angle orienté et l'on cherche celle qui est dans \(]-\pi\,;\pi]\).
1. Écrire \(\alpha\) sous la forme d'une fraction de \(\pi\), par exemple \(\dfrac{17\pi}{4}\).
2. Retirer (si \(\alpha\) est trop grand) ou ajouter (si \(\alpha\) est trop petit) des multiples de \(2\pi\), écrits avec le même dénominateur : ici \(2\pi=\dfrac{8\pi}{4}\).
3. S'arrêter dès que le résultat est dans \(]-\pi\,;\pi]\) : \(\dfrac{17\pi}{4}-2\times\dfrac{8\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}\).
Contrôle. La différence entre la mesure de départ et la mesure principale doit être un multiple entier de \(2\pi\).
Énoncé. \(ABCDEF\) est un hexagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique, les sommets étant nommés dans le sens direct, avec \(A=I\). Donner la mesure principale des arcs orientés \((A\,;B)\), \((A\,;C)\), \((A\,;E)\), \((C\,;A)\) et \((E\,;B)\).
Solution : Les six sommets partagent le cercle en six arcs égaux, de longueur \(\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}\). Les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) sont donc repérés par \(0\), \(\dfrac{\pi}{3}\), \(\dfrac{2\pi}{3}\), \(\pi\), \(\dfrac{4\pi}{3}\), \(\dfrac{5\pi}{3}\).
\((A\,;B)\) : \(\dfrac{\pi}{3}\). \((A\,;C)\) : \(\dfrac{2\pi}{3}\). \((A\,;E)\) : une mesure est \(\dfrac{4\pi}{3}\), qui dépasse \(\pi\) ; la mesure principale est \(\dfrac{4\pi}{3}-2\pi=-\dfrac{2\pi}{3}\) : il est plus court d'aller de \(A\) à \(E\) dans le sens indirect.
\((C\,;A)\) : c'est l'opposé de \((A\,;C)\), soit \(-\dfrac{2\pi}{3}\). \((E\,;B)\) : une mesure est \(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{4\pi}{3}=-\pi\), qui n'est pas dans \(]-\pi\,;\pi]\) ; la mesure principale est \(-\pi+2\pi=\pi\). Les points \(E\) et \(B\) sont diamétralement opposés.
Énoncé. a) Donner la mesure principale des angles orientés dont une mesure est \(\dfrac{17\pi}{4}\), \(-\dfrac{11\pi}{3}\), \(\dfrac{7\pi}{6}\) et \(-\dfrac{25\pi}{6}\). b) Convertir \(150^\circ\) en radians. c) Sur un cercle de rayon 3 cm, quelle est la longueur d'un arc intercepté par un angle au centre de \(\dfrac{2\pi}{3}\) radians ?
Solution : a) \(\dfrac{17\pi}{4}-4\pi=\dfrac{\pi}{4}\). \(-\dfrac{11\pi}{3}+4\pi=\dfrac{\pi}{3}\). \(\dfrac{7\pi}{6}\) dépasse \(\pi\) : \(\dfrac{7\pi}{6}-2\pi=-\dfrac{5\pi}{6}\). \(-\dfrac{25\pi}{6}+4\pi=-\dfrac{\pi}{6}\).
b) \(150^\circ=150\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}\) radians.
c) La longueur est \(r\alpha=3\times\dfrac{2\pi}{3}=2\pi\approx 6{,}28\) cm.
Énoncé. a) \(ABC\) est un triangle équilatéral dont les sommets sont nommés dans le sens direct. Donner la mesure principale des angles orientés \(([AB)\,;[AC))\), \(([AC)\,;[AB))\) et \(([BA)\,;[BC))\). b) \(ABCD\) est un carré de centre \(O\), nommé dans le sens direct. Donner la mesure principale de \(([OA)\,;[OB))\), \(([OB)\,;[OA))\), \(([AB)\,;[AC))\) et \(([AD)\,;[AB))\).
Solution : a) Les angles géométriques du triangle mesurent \(\dfrac{\pi}{3}\). Pour amener \([AB)\) sur \([AC)\), on tourne dans le sens direct : \(([AB)\,;[AC))\) mesure \(\dfrac{\pi}{3}\), et \(([AC)\,;[AB))\) mesure \(-\dfrac{\pi}{3}\). En \(B\), pour amener \([BA)\) sur \([BC)\), on tourne dans le sens indirect : \(([BA)\,;[BC))\) mesure \(-\dfrac{\pi}{3}\).
b) Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires et l'on passe de \(A\) à \(B\) dans le sens direct : \(([OA)\,;[OB))\) mesure \(\dfrac{\pi}{2}\) et \(([OB)\,;[OA))\) mesure \(-\dfrac{\pi}{2}\). La diagonale \([AC)\) partage l'angle droit en \(A\) en deux angles de \(\dfrac{\pi}{4}\), et l'on tourne dans le sens direct de \([AB)\) vers \([AC)\) : \(([AB)\,;[AC))\) mesure \(\dfrac{\pi}{4}\). Enfin, de \([AD)\) vers \([AB)\), on tourne dans le sens indirect : la mesure est \(-\dfrac{\pi}{2}\).
Une mesure n'est pas « la » mesure. Un arc ou un angle orienté a une infinité de mesures : \(\dfrac{\pi}{4}\) et \(\dfrac{17\pi}{4}\) désignent le même angle orienté. Deux mesures du même angle diffèrent toujours d'un multiple entier de \(2\pi\), jamais de \(\pi\).
L'ordre des demi-droites. Échanger les deux demi-droites change le signe : \(([AB)\,;[AC))\) et \(([AC)\,;[AB))\) sont opposés, alors que l'angle géométrique \(\widehat{BAC}\) est le même.
Les bornes de l'intervalle. La mesure principale est dans \(]-\pi\,;\pi]\) : \(\pi\) est accepté, \(-\pi\) ne l'est pas. Un demi-tour a pour mesure principale \(\pi\).
Congruence modulo 2π et calcul sur les mesures d’angles orientés
Un angle orienté a une infinité de mesures, qui diffèrent d'un nombre entier de tours. Plutôt que d'écrire « \(+2k\pi\), \(k\) entier » à chaque ligne, on utilise la notation de congruence. Elle a ses règles de calcul, proches de celles des égalités, avec une exception importante pour la division.
Soient \(a\) et \(b\) deux réels. On dit que \(a\) est congru à \(b\) modulo \(2\pi\), et on écrit \(a\equiv b\ [2\pi]\), s'il existe un entier relatif \(k\) tel que \(a-b=2k\pi\).
Plus généralement, pour un réel \(\theta\gt 0\), \(a\equiv b\ [\theta]\) signifie que \(a-b\) est un multiple entier de \(\theta\).
Si \(\alpha\) est une mesure d'un angle orienté \((\vec u,\vec v)\), les mesures de cet angle sont exactement les réels \(x\) tels que \(x\equiv\alpha\ [2\pi]\). On écrit \((\vec u,\vec v)\equiv\alpha\ [2\pi]\). Parmi elles, une seule appartient à \(]-\pi\,;\pi]\) : la mesure principale.
Sur le cercle trigonométrique, deux réels congrus modulo \(2\pi\) sont associés au même point.
- Addition. Si \(a\equiv b\ [2\pi]\) et \(c\equiv d\ [2\pi]\), alors \(a+c\equiv b+d\ [2\pi]\) et \(a-c\equiv b-d\ [2\pi]\). On peut donc ajouter un même nombre aux deux membres.
- Multiplication par un entier. Si \(a\equiv b\ [2\pi]\) et \(n\) est un entier, alors \(na\equiv nb\ [2\pi]\).
- Division : attention. Si \(2a\equiv 2b\ [2\pi]\), on obtient seulement \(a\equiv b\ [\pi]\) : en effet \(2a-2b=2k\pi\) donne \(a-b=k\pi\). De même, \(na\equiv nb\ [2\pi]\) donne \(a\equiv b\ \left[\dfrac{2\pi}{n}\right]\).
Relation de Chasles et conséquences. Pour des vecteurs non nuls : \((\vec u,\vec v)+(\vec v,\vec w)\equiv(\vec u,\vec w)\ [2\pi]\). On en déduit \((\vec v,\vec u)\equiv-(\vec u,\vec v)\ [2\pi]\), \((-\vec u,\vec v)\equiv(\vec u,-\vec v)\equiv(\vec u,\vec v)+\pi\ [2\pi]\) et \((-\vec u,-\vec v)\equiv(\vec u,\vec v)\ [2\pi]\).
Pour \(\alpha=\dfrac{p\pi}{q}\) : on cherche l'entier \(k\) tel que \(\alpha-2k\pi\) soit dans \(]-\pi\,;\pi]\). Il suffit de prendre pour \(2k\) l'entier pair le plus proche de \(\dfrac pq\), puis de vérifier l'intervalle.
Exemple de rédaction : \(\dfrac{37\pi}{6}=\dfrac{36\pi}{6}+\dfrac{\pi}{6}=6\pi+\dfrac\pi6\), et \(6\pi=3\times 2\pi\), donc \(\dfrac{37\pi}6\equiv\dfrac\pi6\ [2\pi]\).
Pour résoudre une équation d'inconnue un angle, du type \(nx\equiv\beta\ [2\pi]\), on divise en divisant aussi le module : \(x\equiv\dfrac{\beta}{n}\ \left[\dfrac{2\pi}{n}\right]\) ; puis on écrit les \(n\) solutions situées dans \(]-\pi\,;\pi]\).
Énoncé. Déterminer la mesure principale des angles de mesures \(\dfrac{37\pi}{6}\), \(-\dfrac{45\pi}{4}\) et \(\dfrac{101\pi}{3}\).
Solution : \(\dfrac{37\pi}{6}=6\pi+\dfrac\pi6\equiv\dfrac\pi6\ [2\pi]\) ; mesure principale \(\dfrac\pi6\).
\(-\dfrac{45\pi}{4}=-12\pi+\dfrac{3\pi}{4}\equiv\dfrac{3\pi}4\ [2\pi]\) (car \(-\dfrac{45}{4}+12=\dfrac34\)) ; mesure principale \(\dfrac{3\pi}4\).
\(\dfrac{101\pi}{3}=34\pi-\dfrac{\pi}{3}\equiv-\dfrac\pi3\ [2\pi]\) ; mesure principale \(-\dfrac\pi3\). (Avec \(32\pi\), on trouverait \(\dfrac{5\pi}{3}\), qui n'est pas dans \(]-\pi\,;\pi]\).)
Figure — Des mesures congrues, un même point
Le cercle trigonométrique. Les réels π/6, 37π/6 et −11π/6 sont congrus modulo 2π : ils sont associés au même point, en or. Le point associé à 7π/6, en bleu, est diamétralement opposé : 7π/6 est congru à π/6 modulo π, mais pas modulo 2π.
Énoncé. Résoudre \(2x\equiv\dfrac\pi3\ [2\pi]\), puis donner les solutions dans \(]-\pi\,;\pi]\). Même question pour \(3x\equiv\pi\ [2\pi]\).
Solution : \(2x\equiv\dfrac\pi3\ [2\pi]\) équivaut à \(x\equiv\dfrac\pi6\ [\pi]\) : \(x=\dfrac\pi6+k\pi\). Dans \(]-\pi\,;\pi]\) : \(\dfrac\pi6\) et \(\dfrac\pi6-\pi=-\dfrac{5\pi}6\). Contrôle : \(2\times\left(-\dfrac{5\pi}6\right)=-\dfrac{5\pi}3=-2\pi+\dfrac\pi3\).
\(3x\equiv\pi\ [2\pi]\) équivaut à \(x\equiv\dfrac\pi3\ \left[\dfrac{2\pi}3\right]\). Dans \(]-\pi\,;\pi]\) : \(\dfrac\pi3\), \(\pi\) et \(-\dfrac\pi3\) (trois solutions, une par tiers de tour).
Énoncé. \(ABC\) est un triangle équilatéral tel que \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\equiv\dfrac\pi3\ [2\pi]\). Déterminer une mesure de \((\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})\), de \((\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AB})\) et de \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})\).
Solution : \((\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})\equiv-(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\equiv-\dfrac\pi3\ [2\pi]\).
\((\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AB})=(-\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})\equiv(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})+\pi\equiv-\dfrac\pi3+\pi=\dfrac{2\pi}3\ [2\pi]\).
Le triangle étant direct, \((\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})\equiv-\dfrac\pi3\ [2\pi]\). Par Chasles : \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})\equiv(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})\equiv\pi-\dfrac\pi3=\dfrac{2\pi}3\ [2\pi]\) : c'est l'angle extérieur du triangle en \(B\).
Diviser sans diviser le module. De \(2x\equiv\dfrac\pi3\ [2\pi]\), on ne tire pas \(x\equiv\dfrac\pi6\ [2\pi]\) : la solution \(-\dfrac{5\pi}6\) serait perdue. On obtient \(x\equiv\dfrac\pi6\ [\pi]\).
Donner une mesure principale hors de \(]-\pi\,;\pi]\). \(\dfrac{5\pi}3\) est une mesure de l'angle de l'exemple 1, mais pas sa mesure principale, qui est \(-\dfrac\pi3\). Pour \(-\pi\), la mesure principale est \(\pi\).
Oublier le \(+\pi\) quand on change un vecteur en son opposé. \((\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AB})\) n'est pas égal à \((\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})\) : remplacer un seul des deux vecteurs par son opposé ajoute \(\pi\).
Bases orthonormées directes et angle orienté de deux vecteurs
Ce chapitre s'appuie directement sur les acquis de Seconde concernant les angles orientés de vecteurs. L'objectif : donner un sens précis au cosinus et au sinus de l'angle entre deux vecteurs quelconques, pas seulement sur le cercle trigonométrique.
Sur le cercle trigonométrique (centre \(O\), rayon \(1\)), le cosinus d'un réel \(x\) est l'abscisse du point associé, le sinus en est son ordonnée, avec toujours \(\cos^2x+\sin^2x=1\). Ce chapitre étend ces notions au cosinus et au sinus de l'angle entre deux vecteurs quelconques, pas seulement sur le cercle.
Une base \((\vec i,\vec j)\) est orthonormée si \(\vec i\) et \(\vec j\) sont unitaires (\(\|\vec i\|=\|\vec j\|=1\)) et orthogonaux. Elle est directe si \(\vec j\) s'obtient à partir de \(\vec i\) par une rotation de \(+90°\) (sens trigonométrique / anti-horaire) ; sinon elle est indirecte.
Étant donné un vecteur unitaire \(\vec u\), il existe un seul vecteur unitaire \(\vec v\) tel que \((\vec u,\vec v)\) soit une base orthonormée directe.
Dans une base orthonormée directe, si \(\vec u(x;y)\) et \(\vec v(x';y')\) sont non nuls, et \(\theta=(\widehat{\vec u,\vec v})\) :
\[ \cos\theta = \dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|} = \dfrac{xx'+yy'}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}, \qquad \sin\theta = \dfrac{xy'-x'y}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|} = \dfrac{\det(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}. \]Le cosinus se calcule avec le produit scalaire (déjà vu en Seconde), le sinus avec le déterminant — les deux notions se retrouvent ici réunies.
\(\vec u(1;0)\), \(\vec v(0;1)\) : \(\vec u\cdot\vec v=0\), \(\det(\vec u,\vec v)=1\times1-0\times0=1\). \(\|\vec u\|=\|\vec v\|=1\). Donc \(\cos\theta=0\), \(\sin\theta=1\), soit \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) — cohérent avec deux vecteurs orthogonaux formant une base directe.
\(\vec u(2;0)\), \(\vec v(1;\sqrt3)\) : \(\vec u\cdot\vec v=2\), \(\det(\vec u,\vec v)=2\sqrt3-0=2\sqrt3\). \(\|\vec u\|=2\), \(\|\vec v\|=2\). \(\cos\theta=\dfrac{2}{4}=\dfrac12\), \(\sin\theta=\dfrac{2\sqrt3}{4}=\dfrac{\sqrt3}{2}\) : \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\).
Figure interactive — Angle entre deux vecteurs
Cercle trigonométrique, cosinus et sinus d'un réel, valeurs remarquables
Rappel de SecondeSur le cercle trigonométrique (centre \(O\), rayon \(1\)), à tout réel \(x\) on associe le point \(M\) obtenu en parcourant une longueur d'arc \(x\) à partir du point \((1;0)\) (sens direct si \(x>0\)). Le cosinus de \(x\) est l'abscisse de \(M\), le sinus de \(x\) est son ordonnée.
Pour les angles remarquables (en radians) :
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \pi/6 & \pi/4 & \pi/3 & \pi/2 \\ \hline \cos x & 1 & \sqrt3/2 & \sqrt2/2 & 1/2 & 0 \\ \sin x & 0 & 1/2 & \sqrt2/2 & \sqrt3/2 & 1 \end{array} \]À partir du cercle trigonométrique, on retrouve directement :
\[ \cos(-x)=\cos x,\quad \sin(-x)=-\sin x,\quad \cos(\pi-x)=-\cos x,\quad \sin(\pi-x)=\sin x, \] \[ \cos(\pi+x)=-\cos x,\quad \sin(\pi+x)=-\sin x,\quad \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\quad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x. \]Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresFigure interactive — Cercle trigonométrique
Déplacez le curseur pour voir le point M se déplacer sur le cercle ; ses coordonnées sont \((\cos x\,;\,\sin x)\).
Résumé
Sens inverse des aiguilles d'une montre : c'est le sens positif. Le cercle trigonométrique a pour rayon 1.
\(180^\circ=\pi\) radians ; sur un cercle de rayon \(r\), un angle de \(\alpha\) radians intercepte un arc de longueur \(r\alpha\).
Si \(\alpha\) est une mesure, toutes les mesures sont \(\alpha+2k\pi\) avec \(k\) entier relatif.
La seule mesure située dans \(]-\pi\,;\pi]\) ; sa valeur absolue est l'angle géométrique.
Changer l'ordre change le signe ; relation de Chasles : de \(A\) à \(B\) puis de \(B\) à \(C\), les mesures s'ajoutent.
\(a\equiv b\ [2\pi]\) : \(a-b\) est un multiple entier de \(2\pi\) ; même point du cercle trigonométrique.
On peut ajouter et multiplier par un entier ; diviser par \(n\) divise aussi le module par \(n\).
\((\vec u,\vec v)+(\vec v,\vec w)\equiv(\vec u,\vec w)\ [2\pi]\) ; changer un vecteur en son opposé ajoute \(\pi\).
Directe : \(\vec j\) = rotation de \(+90°\) de \(\vec i\). Un seul \(\vec v\) unitaire complète \(\vec u\) en base directe.
\(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\) — produit scalaire normalisé.
\(\sin\theta=\dfrac{\det(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\) — déterminant normalisé.
\(\vec u\cdot\vec v=0\) : orthogonaux. \(\det=0\) : colinéaires.
Sujet type devoir
Dans une base orthonormée directe, on donne \(\vec u(3;4)\) et \(\vec v(-4;3)\).
Question 1. Calculer \(\|\vec u\|\) et \(\|\vec v\|\).
\(\|\vec u\|=\sqrt{9+16}=5\). \(\|\vec v\|=\sqrt{16+9}=5\).
Question 2. Calculer \(\vec u\cdot\vec v\) et \(\det(\vec u,\vec v)\), puis en déduire \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\) pour \(\theta=(\widehat{\vec u,\vec v})\).
\(\vec u\cdot\vec v=3\times(-4)+4\times3=-12+12=0\). \(\det(\vec u,\vec v)=3\times3-(-4)\times4=9+16=25\).
\(\cos\theta=\dfrac{0}{25}=0\), \(\sin\theta=\dfrac{25}{25}=1\).
Question 3. En déduire la valeur de \(\theta\).
\(\cos\theta=0\) et \(\sin\theta=1\) : \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\). Les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux (cohérent avec \(\vec u\cdot\vec v=0\)) et forment une base directe (cohérent avec \(\sin\theta>0\)).