Première S2-S4-S5 · Leçon 14
Trigonométrie
Ce que dit le programme officiel (8 points)
- Formules d’addition
- Formules de duplication (multiplication par 2)
- Formules de linéarisation, limitées à cos²x et sin²x
- Équations fondamentales dans ℝ : cos x = cos a, sin x = sin a, tan x = tan a
- Équations simples se ramenant aux équations fondamentales
- Inéquations trigonométriques dans ℝ : sin x ≤ sin a, cos x ≤ cos a, tan x ≤ tan a
- Équation a cos x + b sin x + c = 0 (en travaux dirigés)
- Limite : la transformation de somme en produit et inversement n’est pas exigible
Source : Programme de mathématiques, Premières S2 et S4 (Sénégal), octobre 2006
Formules d'addition et de duplication
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Voir les offresÉquation tan x = tan a et inéquations trigonométriques
Après les équations en cosinus et en sinus, il reste la tangente, et surtout les inéquations. Le cercle trigonométrique est l'outil central : on y repère les points dont l'abscisse (le cosinus) ou l'ordonnée (le sinus) dépasse une valeur, puis on traduit l'arc obtenu en intervalles.
La fonction tangente est définie pour \(x\neq\dfrac\pi2+k\pi\) (\(k\) entier) par \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\). Elle est impaire et de période \(\pi\) : \(\tan(x+\pi)=\tan x\). Sur \(\left]-\dfrac\pi2\,;\dfrac\pi2\right[\), elle est strictement croissante et prend chaque valeur réelle exactement une fois.
On en déduit, pour \(a\) et \(x\) différents de \(\dfrac\pi2+k\pi\) :
\[\tan x=\tan a\iff x\equiv a\ [\pi]\iff x=a+k\pi,\ k\in\mathbb Z.\]Valeurs à connaître : \(\tan0=0\), \(\tan\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}3\), \(\tan\dfrac\pi4=1\), \(\tan\dfrac\pi3=\sqrt3\). Sur le cercle trigonométrique, \(\tan x\) se lit sur la tangente au cercle au point \(I(1\,;0)\) : c'est l'ordonnée du point où la droite \((OM)\) coupe cette tangente.
En cosinus (\(\cos x\ge c\) ou \(\cos x\le c\), avec \(-1\lt c\lt 1\)) : on trace la droite verticale d'abscisse \(c\) ; elle coupe le cercle en deux points associés à \(a\) et \(-a\), où \(a\in]0\,;\pi[\) vérifie \(\cos a=c\). Les points d'abscisse supérieure à \(c\) forment l'arc de \(-a\) à \(a\) qui passe par \(I\).
En sinus : même idée avec la droite horizontale d'ordonnée \(c\), qui coupe le cercle aux points associés à \(a\) et \(\pi-a\).
En tangente : on raisonne sur une période, par exemple \(\left]-\dfrac\pi2\,;\dfrac\pi2\right[\), où la fonction est croissante, puis on ajoute les multiples de \(\pi\).
On écrit enfin les solutions dans l'intervalle demandé (souvent \(]-\pi\,;\pi]\) ou \([0\,;2\pi[\)), en parcourant l'arc dans le sens direct. Si une inéquation se ramène à un polynôme en \(\sin x\) ou \(\cos x\), on pose \(X=\sin x\) (ou \(\cos x\)), on étudie le signe du polynôme en \(X\), puis on revient à \(x\).
Énoncé. Résoudre dans \(\mathbb R\) puis dans \(]-\pi\,;\pi]\) l'équation \(\tan x=\sqrt3\). Résoudre dans \([0\,;\pi[\) l'équation \(\tan 2x=1\).
Solution : \(\sqrt3=\tan\dfrac\pi3\), donc \(\tan x=\sqrt3\iff x=\dfrac\pi3+k\pi\). Dans \(]-\pi\,;\pi]\) : \(\dfrac\pi3\) et \(\dfrac\pi3-\pi=-\dfrac{2\pi}3\).
\(\tan 2x=1=\tan\dfrac\pi4\) donne \(2x=\dfrac\pi4+k\pi\), soit \(x=\dfrac\pi8+k\dfrac\pi2\). Dans \([0\,;\pi[\) : \(\dfrac\pi8\) et \(\dfrac{5\pi}8\). (On vérifie que \(2x\) n'est jamais de la forme \(\dfrac\pi2+k\pi\).)
Énoncé. Résoudre \(\cos x\ge\dfrac12\) dans \(]-\pi\,;\pi]\), puis \(\sin x\lt\dfrac{\sqrt2}2\) dans \([0\,;2\pi[\).
Solution : \(\cos\dfrac\pi3=\dfrac12\). Les points du cercle d'abscisse au moins \(\dfrac12\) forment l'arc de \(-\dfrac\pi3\) à \(\dfrac\pi3\) passant par \(I\). Dans \(]-\pi\,;\pi]\) : \(S=\left[-\dfrac\pi3\,;\dfrac\pi3\right]\).
\(\sin\dfrac\pi4=\sin\dfrac{3\pi}4=\dfrac{\sqrt2}2\). Les points d'ordonnée au moins \(\dfrac{\sqrt2}2\) forment l'arc de \(\dfrac\pi4\) à \(\dfrac{3\pi}4\) ; on veut les autres, extrémités exclues. Dans \([0\,;2\pi[\) : \(S=\left[0\,;\dfrac\pi4\right[\cup\left]\dfrac{3\pi}4\,;2\pi\right[\).
Figure — Les points où cos x ≥ 1/2
Le cercle trigonométrique et la droite verticale d'abscisse 1/2, en pointillés. Elle coupe le cercle aux points associés à π/3 et −π/3. L'arc en or, qui passe par le point I(1 ; 0), regroupe les points d'abscisse au moins 1/2 : c'est l'ensemble des solutions de cos x ≥ 1/2, de −π/3 à π/3.
Énoncé. Résoudre \(\tan x\le 1\) dans \(\left]-\dfrac\pi2\,;\dfrac\pi2\right[\), puis dans \(]-\pi\,;\pi]\).
Solution : Sur \(\left]-\dfrac\pi2\,;\dfrac\pi2\right[\), la tangente est strictement croissante et \(\tan\dfrac\pi4=1\) : \(\tan x\le 1\iff x\le\dfrac\pi4\). Donc \(S=\left]-\dfrac\pi2\,;\dfrac\pi4\right]\).
Par périodicité (période \(\pi\)), on translate cet intervalle de \(\pm\pi\) et on garde ce qui tombe dans \(]-\pi\,;\pi]\), en excluant \(\pm\dfrac\pi2\) :
\[S=\left]-\pi\,;-\frac{3\pi}4\right]\cup\left]-\frac\pi2\,;\frac\pi4\right]\cup\left]\frac\pi2\,;\pi\right].\]Énoncé. Résoudre dans \(]-\pi\,;\pi]\) l'inéquation \(2\sin^2x-\sin x-1\le 0\).
Solution : On pose \(X=\sin x\). Le trinôme \(2X^2-X-1\) a pour racines 1 et \(-\dfrac12\) : \(2X^2-X-1=(2X+1)(X-1)\), négatif ou nul pour \(-\dfrac12\le X\le 1\). Comme \(\sin x\le 1\) est toujours vrai, il reste \(\sin x\ge-\dfrac12\).
\(\sin\left(-\dfrac\pi6\right)=\sin\left(-\dfrac{5\pi}6\right)=-\dfrac12\) ; les points d'ordonnée au moins \(-\dfrac12\) forment l'arc de \(-\dfrac\pi6\) à \(\pi+\dfrac\pi6\) passant par le haut du cercle. Dans \(]-\pi\,;\pi]\) : \(S=\left]-\pi\,;-\dfrac{5\pi}6\right]\cup\left[-\dfrac\pi6\,;\pi\right]\).
Résoudre comme une inéquation ordinaire. \(\sin x\le\dfrac12\) ne donne pas \(x\le\dfrac\pi6\) : par exemple \(x=3\) convient. Le sinus n'est pas croissant sur \(\mathbb R\) ; on raisonne sur le cercle.
Prendre la période \(2\pi\) pour la tangente. \(\tan x=\tan a\) donne \(x=a+k\pi\), et non \(a+2k\pi\) : on perdrait la moitié des solutions.
Oublier les valeurs interdites. Dans une inéquation en tangente, les réels \(\dfrac\pi2+k\pi\) ne sont jamais solutions : les intervalles sont ouverts de ce côté.
Transformation de a·cos x + b·sin x (angle auxiliaire)
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Les deux courbes sont confondues : l'écriture avec l'angle auxiliaire est bien équivalente à l'originale.
Résumé
\(\tan x=\tan a\iff x=a+k\pi\) ; période \(\pi\), définie hors de \(\dfrac\pi2+k\pi\).
Droite verticale d'abscisse \(c\) (cosinus) ou horizontale d'ordonnée \(c\) (sinus) ; on lit l'arc solution sur le cercle.
On écrit les solutions dans l'intervalle de l'énoncé, extrémités incluses ou non selon l'inégalité.
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