Première S2-S4-S5 · Leçon 15
Transformations du plan
Ce que dit le programme officiel (5 points)
- Composée de deux transformations planes : propriétés
- Composition de deux rotations de même centre, de deux symétries orthogonales, d’une homothétie et d’une rotation de même centre
- Expression analytique d’une translation, d’une rotation, d’une symétrie et d’une homothétie ; reconnaître une transformation par son expression analytique
- Exemples d’isométries laissant au moins un point invariant
- Utiliser des compositions de transformations pour résoudre des problèmes d’incidence, de lieux géométriques, d’optimisation et de construction (travaux dirigés)
Source : Programme de mathématiques, Premières S2 et S4 (Sénégal), octobre 2006
Homothéties et translations : caractérisation, réciproque, composition, expression analytique
Soit \(f\) une application du plan dans lui-même. \(f\) est une homothétie-translation si et seulement si il existe un réel \(k\neq0\) tel que, pour tout bipoint \((M,N)\) du plan, en notant \(M'=f(M)\) et \(N'=f(N)\) :
\[ \overrightarrow{M'N'}=k\,\overrightarrow{MN}. \]Si \(k=1\), \(f\) est une translation (de vecteur \(\overrightarrow{AA'}\), le même pour tout point \(A\)). Si \(k\neq1\), \(f\) est une homothétie de rapport \(k\) : elle admet un unique point fixe \(\Omega\) (son centre), et pour tout point \(M\) :
\[ \overrightarrow{\Omega M'}=k\,\overrightarrow{\Omega M}. \]Soit \(h\) l'homothétie de centre \(\Omega(1;-2)\) et de rapport \(k=2\). Déterminer l'image de \(A(4;1)\).
\[ \overrightarrow{\Omega A}=(3;3)\ \Rightarrow\ \overrightarrow{\Omega A'}=2\times(3;3)=(6;6)\ \Rightarrow\ A'=\Omega+(6;6)=(7;4). \]Figure interactive — Homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k\)
Faites glisser \(k\) : à \(k=1\) le triangle image coïncide avec l'original ; pour \(k<0\), l'image est retournée par rapport à \(\Omega\).
La réciproque d'une homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k\) est l'homothétie de même centre \(\Omega\) et de rapport \(\dfrac1k\). La réciproque d'une translation de vecteur \(\vec u\) est la translation de vecteur \(-\vec u\).
La composée \(f_1\circ f_2\) de rapports \(k_1\) et \(k_2\) vérifie \(\overrightarrow{M'N'}=k_1k_2\,\overrightarrow{MN}\) : c'est donc encore une homothétie-translation, de rapport \(k_1k_2\). Si \(k_1k_2\neq1\), c'est une homothétie (le centre se détermine sur des exemples, en calculant l'image d'un point) ; si \(k_1k_2=1\), c'est une translation.
\(h_1\) : centre \(A(0;0)\), rapport \(2\). \(h_2\) : centre \(B(3;0)\), rapport \(\dfrac12\). Comme \(2\times\dfrac12=1\), \(h_1\circ h_2\) est une translation. Pour tout point \(M(x;y)\) :
\[ h_2(M)=B+\tfrac12(M-B)=\left(\tfrac{x+3}2;\tfrac y2\right),\qquad h_1\bigl(h_2(M)\bigr)=2\times h_2(M)=(x+3;y). \]\(h_1\circ h_2\) est donc la translation de vecteur \(\vec u(3;0)\).
Translation de vecteur \(\vec u(p;q)\) : \(x'=x+p\), \(y'=y+q\). Homothétie de centre \(\Omega(a;b)\) et de rapport \(k\) : \(x'=a+k(x-a)\), \(y'=b+k(y-b)\).
Une translation conserve les distances (c'est une isométrie). Une homothétie de rapport \(k\) multiplie toutes les distances par \(|k|\) : elle conserve l'alignement, le parallélisme et l'orthogonalité, mais pas les distances (sauf si \(|k|=1\)).
Composées de transformations, expressions analytiques et lieux géométriques
Rappel de SecondeTranslations, symétries, homothéties, rotations : toutes déplacent ou transforment les points du plan selon une règle précise. On peut les enchaîner, comme on enchaîne deux fonctions, et se demander quelle transformation unique produit le même effet. On peut aussi les décrire par des formules sur les coordonnées. Enfin, elles donnent une méthode très efficace pour trouver l'ensemble des positions d'un point qui dépend d'un autre.
Transformation du plan. C'est une application \(f\) du plan dans lui-même telle que tout point \(N\) du plan est l'image d'un point \(M\), et d'un seul. On dit que \(f\) est une bijection du plan. L'application qui, à chaque point \(N\), associe ce point \(M\) est la bijection réciproque de \(f\), notée \(f^{-1}\) : \(f(M)=N\) équivaut à \(M=f^{-1}(N)\).
- La réciproque de la translation de vecteur \(\vec u\) est la translation de vecteur \(-\vec u\).
- Une symétrie centrale et une symétrie orthogonale sont leur propre réciproque.
- La réciproque de l'homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k\) est l'homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(\dfrac1k\).
Contre-exemple. La projection orthogonale sur une droite \((D)\) n'est pas une transformation : tous les points d'une même perpendiculaire à \((D)\) ont la même image, et un point hors de \((D)\) n'est l'image d'aucun point.
Composée. Si \(f\) et \(g\) sont deux transformations, la composée \(f\circ g\) est la transformation définie par \((f\circ g)(M)=f\big[g(M)\big]\) : on applique d'abord \(g\), puis \(f\).
Deux homothéties de même centre. La composée des homothéties de centre \(\Omega\) et de rapports \(k\) et \(k'\) est l'homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(kk'\). En effet, si \(\overrightarrow{\Omega M_1}=k\,\overrightarrow{\Omega M}\) et \(\overrightarrow{\Omega M'}=k'\,\overrightarrow{\Omega M_1}\), alors \(\overrightarrow{\Omega M'}=kk'\,\overrightarrow{\Omega M}\). L'ordre n'a ici pas d'importance.
Deux symétries centrales. Soit \(s_A\) et \(s_B\) les symétries de centres \(A\) et \(B\). La composée \(s_B\circ s_A\) est la translation de vecteur \(2\,\overrightarrow{AB}\). En effet, si \(M_1=s_A(M)\) et \(M'=s_B(M_1)\), alors \(A\) est le milieu de \([MM_1]\) et \(B\) celui de \([M_1M']\) : dans le triangle \(MM_1M'\), la droite des milieux donne \(\overrightarrow{MM'}=2\,\overrightarrow{AB}\).
Deux symétries orthogonales d'axes parallèles. Si \((d)\) et \((d')\) sont parallèles, \(s_{d'}\circ s_d\) est une translation : son vecteur est \(2\,\overrightarrow{HH'}\), où \(H\) est un point de \((d)\) et \(H'\) son projeté orthogonal sur \((d')\).
Deux symétries orthogonales d'axes perpendiculaires. Si \((d)\) et \((d')\) sont perpendiculaires en \(O\), \(s_{d'}\circ s_d\) est la symétrie de centre \(O\).
Dans un repère, on note \((x\,;y)\) les coordonnées d'un point \(M\) et \((x'\,;y')\) celles de son image \(M'\).
| Transformation | Expression analytique |
|---|---|
| Translation de vecteur \(\vec u(a\,;b)\) | \(x'=x+a\) ; \(y'=y+b\) |
| Symétrie de centre \(\Omega(a\,;b)\) | \(x'=2a-x\) ; \(y'=2b-y\) |
| Homothétie de centre \(\Omega(a\,;b)\) et de rapport \(k\) | \(x'=a+k(x-a)\) ; \(y'=b+k(y-b)\) |
Ces formules traduisent les définitions : \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\) pour la translation ; \(\Omega\) milieu de \([MM']\) pour la symétrie ; \(\overrightarrow{\Omega M'}=k\,\overrightarrow{\Omega M}\) pour l'homothétie. La symétrie de centre \(\Omega\) est l'homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(-1\).
Reconnaître une transformation. Des formules de la forme \(x'=kx+p\) et \(y'=ky+q\), avec le même coefficient \(k\) : si \(k=1\), c'est une translation de vecteur \((p\,;q)\) ; si \(k\neq 1\), c'est une homothétie de rapport \(k\), dont le centre est le point invariant, obtenu en résolvant \(x=kx+p\) et \(y=ky+q\).
Un lieu géométrique est l'ensemble de toutes les positions que peut occuper un point soumis à une condition. Quand un point \(M'\) dépend d'un point \(M\) qui décrit une figure connue, on procède ainsi.
1. Trouver la transformation. On cherche une transformation \(f\), indépendante de \(M\), telle que \(M'=f(M)\) : une égalité vectorielle comme \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\) (translation) ou \(\overrightarrow{AM'}=k\,\overrightarrow{AM}\) avec \(A\) fixe (homothétie), un milieu fixe (symétrie centrale).
2. Conclure. Lorsque \(M\) décrit une figure \((F)\), le point \(M'\) décrit l'image \(f(F)\). Comme \(f\) est une bijection, tout point de \(f(F)\) est bien atteint : le lieu est exactement \(f(F)\).
3. Préciser l'image. L'image d'une droite est une droite parallèle, celle d'un cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\) est un cercle de centre \(f(O)\) : son rayon est \(r\) pour une translation ou une symétrie, \(|k|\,r\) pour une homothétie de rapport \(k\).
Énoncé. Dans un repère, on donne \(\Omega(3\,;1)\) et \(A(1\,;2)\). a) Calculer les coordonnées de l'image de \(A\) par l'homothétie \(h\) de centre \(\Omega\) et de rapport \(-2\), puis par la symétrie \(s\) de centre \(\Omega\). b) Donner l'expression analytique de \(h\). c) Reconnaître la transformation définie par \(x'=9-2x\) et \(y'=3-2y\).
Solution : a) Pour \(h\) : \(x'=3-2(1-3)=7\) et \(y'=1-2(2-1)=-1\), donc \(h(A)\) a pour coordonnées \((7\,;-1)\). Pour \(s\) : \(x'=6-1=5\) et \(y'=2-2=0\), donc \(s(A)\) a pour coordonnées \((5\,;0)\).
b) \(x'=3-2(x-3)=9-2x\) et \(y'=1-2(y-1)=3-2y\).
c) Les deux formules ont le même coefficient \(k=-2\), différent de 1 : c'est une homothétie de rapport \(-2\). Son centre est le point invariant : \(x=9-2x\) donne \(x=3\), et \(y=3-2y\) donne \(y=1\). On retrouve l'homothétie \(h\).
Énoncé. a) On donne \(A(1\,;2)\) et \(B(4\,;3)\). Déterminer, par le calcul, la composée \(s_B\circ s_A\) des symétries de centres \(A\) et \(B\). Que vaut \(s_A\circ s_B\) ? b) Quelle est la composée de l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(-\dfrac12\) suivie de l'homothétie de centre \(O\) et de rapport 3 ?
Solution : a) Par \(s_A\), le point \(M(x\,;y)\) a pour image \(M_1(2-x\,;4-y)\). Par \(s_B\), le point \(M_1\) a pour image \(M'\) avec \(x'=8-(2-x)=x+6\) et \(y'=6-(4-y)=y+2\). Donc \(s_B\circ s_A\) est la translation de vecteur \((6\,;2)\), qui est bien \(2\,\overrightarrow{AB}\) puisque \(\overrightarrow{AB}(3\,;1)\).
Dans l'autre ordre, on obtient la translation de vecteur \(2\,\overrightarrow{BA}\), de coordonnées \((-6\,;-2)\) : les deux composées sont différentes, ce sont des translations réciproques l'une de l'autre.
b) Les deux homothéties ont le même centre : la composée est l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(3\times\left(-\dfrac12\right)=-\dfrac32\).
Énoncé. Soit \((\mathcal C)\) un cercle de centre \(O\) et de rayon 3, et \(A\) un point fixe tel que \(OA=8\). À tout point \(M\) de \((\mathcal C)\), on associe le milieu \(I\) du segment \([AM]\). Quel est le lieu géométrique du point \(I\) lorsque \(M\) décrit \((\mathcal C)\) ?
Solution : \(I\) est le milieu de \([AM]\) : \(\overrightarrow{AI}=\dfrac12\,\overrightarrow{AM}\). Le point \(A\) étant fixe, \(I\) est l'image de \(M\) par l'homothétie \(h\) de centre \(A\) et de rapport \(\dfrac12\).
Lorsque \(M\) décrit le cercle \((\mathcal C)\), le point \(I\) décrit donc l'image de ce cercle par \(h\) : c'est le cercle de centre \(O'=h(O)\), milieu de \([AO]\), et de rayon \(\dfrac12\times 3=1{,}5\).
Vérification dans un repère d'origine \(O\) où \(A(8\,;0)\) : pour \(M(3\,;0)\), \(I(5{,}5\,;0)\) ; pour \(M(-3\,;0)\), \(I(2{,}5\,;0)\). Ces deux points sont bien à la distance \(1{,}5\) du point \(O'(4\,;0)\).
Figure — Le lieu du milieu I (exemple 3)
Le grand cercle, en bleu marine, a pour centre O et pour rayon 3 ; le point A est fixe. Pour un point M du grand cercle, le milieu I du segment [AM] est marqué en or. Lorsque M parcourt le grand cercle, I parcourt le petit cercle, tracé en or : son centre O' est le milieu de [AO] et son rayon vaut 1,5.
Inverser l'ordre d'une composée. Dans \(f\circ g\), on applique d'abord \(g\). Avec deux symétries centrales, \(s_B\circ s_A\) et \(s_A\circ s_B\) sont deux translations de vecteurs opposés.
Croire que la composée de deux symétries centrales est une symétrie centrale. C'est une translation : elle n'a aucun point invariant si \(A\) et \(B\) sont distincts.
Additionner les rapports. Pour deux homothéties de même centre, les rapports se multiplient : les rapports 3 et \(-\dfrac12\) donnent \(-\dfrac32\), non \(\dfrac52\).
Oublier de déplacer le centre. L'image d'un cercle par une homothétie n'a pas le même centre que le cercle de départ (sauf si ce centre est celui de l'homothétie) : dans l'exemple 3, le lieu est centré en \(O'\), et non en \(O\).
Rotation : définition, réciproque, composée
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Voir les offresLa réciproque de la rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta\) est la rotation de même centre \(\Omega\) et d'angle \(-\theta\). La composée de deux rotations de même centre \(\Omega\), d'angles \(\theta_1\) et \(\theta_2\), est la rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta_1+\theta_2\).
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Voir les offresFigure interactive — Rotation de centre \(O\) et d'angle \(\theta\)
Faites glisser \(\theta\) : le triangle image tourne autour de \(O\) en conservant sa forme et sa taille (isométrie).
Réflexions et composées de réflexions
Symétrie orthogonale par rapport à l'axe \((Ox)\) : \(x'=x\), \(y'=-y\). Symétrie orthogonale par rapport à l'axe \((Oy)\) : \(x'=-x\), \(y'=y\).
Exemple. Soit \(s\) la symétrie orthogonale par rapport à \((Ox)\). L'image de \(M(3;-5)\) est \(M'(3;5)\).
Rotations et symétries orthogonales sont des isométries : elles conservent les distances, donc l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité et les angles. Contrairement à une homothétie de rapport \(|k|\neq1\), elles ne déforment jamais les figures.
Isométries du plan : classification et conservation
Toute isométrie du plan qui fixe un point \(\Omega\) est soit une rotation de centre \(\Omega\) (l'identité étant le cas particulier d'angle \(0°\)), soit une réflexion d'axe passant par \(\Omega\). Ces deux familles épuisent donc, à elles seules, toutes les isométries fixant un point donné.
Rotations et réflexions sont des isométries : elles conservent la distance, donc l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité, le contact (tangence) et les barycentres. Seule différence entre les deux familles : une rotation conserve le signe des angles orientés (chapitre 1, en commun avec les homothéties-translations), une réflexion l'inverse (chapitre 2).
Résumé
\((f\circ g)(M)=f\big[g(M)\big]\) : on applique \(g\), puis \(f\).
Même centre, rapport égal au produit \(kk'\).
\(s_B\circ s_A\) est la translation de vecteur \(2\,\overrightarrow{AB}\).
Homothétie de centre \((a\,;b)\), rapport \(k\) : \(x'=a+k(x-a)\), \(y'=b+k(y-b)\).
Si \(M'=f(M)\) et si \(M\) décrit \((F)\), alors \(M'\) décrit \(f(F)\).
\(\overrightarrow{M'N'}=k\,\overrightarrow{MN}\) : translation si \(k=1\), homothétie sinon.
Homothétie \((\Omega,k)\to(\Omega,\frac1k)\) ; translation \(\vec u\to-\vec u\).
Rapport \(k_1k_2\) : homothétie si \(k_1k_2\neq1\), translation si \(k_1k_2=1\).
Distances multipliées par \(|k|\) ; alignement, parallélisme, orthogonalité conservés.
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Question 1. Soit \(h\) l'homothétie de centre \(\Omega(2;-1)\) et de rapport \(k=3\). Déterminer l'image de \(A(4;1)\).
\(\overrightarrow{\Omega A}=(2;2)\), donc \(\overrightarrow{\Omega A'}=3\times(2;2)=(6;6)\), soit \(A'=(2+6;-1+6)=(8;5)\).
Question 2. Déterminer le centre et le rapport de la réciproque de \(h\).
Même centre \(\Omega(2;-1)\), rapport \(\dfrac13\).
Question 3. \(h_1\) : centre \(A(1;0)\), rapport \(3\). \(h_2\) : centre \(B(0;2)\), rapport \(\dfrac13\). Montrer que \(h_1\circ h_2\) est une translation et déterminer son vecteur (en calculant l'image de \(O(0;0)\)).
\(3\times\dfrac13=1\), donc \(h_1\circ h_2\) est une translation. \(h_2(O)=B+\tfrac13(O-B)=(0;2)+\tfrac13(0;-2)=\left(0;\tfrac43\right)\). \(h_1\bigl(h_2(O)\bigr)=A+3\bigl(h_2(O)-A\bigr)=(1;0)+3\left(-1;\tfrac43\right)=(1;0)+(-3;4)=(-2;4)\). Le vecteur de translation est \(\overrightarrow{O\,h_1(h_2(O))}=(-2;4)\).
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