Première S2-S4-S5 · Leçon 8
Statistique
Exercices corrigés
Tableau à double entrée
On a interrogé 40 élèves sur leur nombre \(X\) de frères et sœurs, compris entre 1 et 3, et sur leur façon de venir au lycée. Résultats : avec \(X=1\) : 5 à pied, 3 à vélo, 2 en bus ; avec \(X=2\) : 6 à pied, 4 à vélo, 5 en bus ; avec \(X=3\) : 4 à pied, 6 à vélo, 5 en bus.
1) Dresse le tableau à double entrée avec ses totaux. Donne la distribution marginale de \(X\) et calcule la moyenne de \(X\).
2) Calcule la fréquence des élèves venant en bus parmi ceux qui ont 2 frères et sœurs, puis la fréquence des élèves ayant 3 frères et sœurs parmi ceux qui viennent à vélo.
3) Calcule la fréquence, dans toute la population, des élèves qui ont 1 frère ou sœur et viennent à pied, puis la fréquence marginale du bus.
Voir le corrigé
1) Totaux des lignes : 10, 15, 15 élèves pour \(X=1\), 2, 3 ; totaux des colonnes : 15 à pied, 13 à vélo, 12 en bus ; total 40. Distribution marginale de \(X\) : 10, 15, 15. Moyenne : \(\bar x=\dfrac{1\times10+2\times15+3\times15}{40}=\dfrac{85}{40}=2{,}125\).
2) Parmi les 15 élèves ayant \(X=2\), 5 viennent en bus : fréquence conditionnelle \(\dfrac5{15}=\dfrac13\). Parmi les 13 élèves venant à vélo, 6 ont \(X=3\) : fréquence \(\dfrac6{13}\approx 0{,}46\).
3) \(\dfrac{5}{40}=0{,}125\) (on divise par l'effectif total). Fréquence marginale du bus : \(\dfrac{12}{40}=0{,}3\).
Réponse : Marginale de \(X\) : 10, 15, 15, moyenne 2,125 ; fréquences conditionnelles \(\dfrac13\) et \(\dfrac6{13}\) ; fréquence conjointe 0,125 ; fréquence marginale du bus 0,3.
Ajustement par la méthode de Mayer
Une série statistique double est donnée par les couples \((x_i\,;y_i)\) : \((1\,;3)\), \((2\,;5)\), \((3\,;6)\), \((4\,;8)\), \((5\,;9)\), \((6\,;12)\).
1) Calcule les coordonnées du point moyen \(G\) du nuage.
2) On partage le nuage en deux groupes de trois points selon les abscisses croissantes. Calcule les points moyens \(G_1\) et \(G_2\) de chaque groupe, puis une équation de la droite de Mayer \((G_1G_2)\).
3) Vérifie que \(G\) est sur cette droite et utilise-la pour estimer \(y\) lorsque \(x=8\).
Voir le corrigé
1) \(\bar x=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}=3{,}5\) et \(\bar y=\dfrac{3+5+6+8+9+12}{6}=\dfrac{43}{6}\). Donc \(G\left(3{,}5\,;\dfrac{43}6\right)\).
2) \(G_1\left(2\,;\dfrac{14}3\right)\) et \(G_2\left(5\,;\dfrac{29}3\right)\). Coefficient directeur : \(\dfrac{\frac{29}3-\frac{14}3}{5-2}=\dfrac53\). La droite passe par \(G_1\) : \(y-\dfrac{14}3=\dfrac53(x-2)\), soit \(y=\dfrac53x+\dfrac43\).
3) \(\dfrac53\times3{,}5+\dfrac43=\dfrac{17{,}5+4}{3}=\dfrac{21{,}5}{3}=\dfrac{43}{6}\) : \(G\) est bien sur la droite. Pour \(x=8\) : \(y\approx\dfrac{40}3+\dfrac43=\dfrac{44}3\approx 14{,}7\).
Réponse : \(G\left(3{,}5\,;\dfrac{43}6\right)\) ; droite de Mayer \(y=\dfrac53x+\dfrac43\), qui passe par \(G\) ; estimation \(y\approx 14{,}7\) pour \(x=8\).