Produit scalaire dans le plan et dans l’espace

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Sphère de centre $O$ et de rayon $R=10$. Un plan $P$ est à distance $d=6$ de $O$. La section est :
a) un cercle de rayon $8$   b) un point unique   c) vide   d) un cercle de rayon $6$

2) Si $d=R$, le plan $P$ est :
a) sécant   b) tangent   c) extérieur   d) confondu avec la sphère

3) Pour montrer qu'une droite est orthogonale à un plan, il suffit de montrer qu'elle est orthogonale à :
a) une droite du plan   b) deux droites parallèles du plan   c) deux droites sécantes du plan   d) toutes les droites du plan, une par une

4) Sphère de rayon $R=7$. Un plan $P$ est à distance $d=9$ de son centre. La section est :
a) un cercle   b) un point   c) vide (plan extérieur)   d) indéterminée

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $\vec u(1;2;-2)$ et $\vec v(2;-1;0)$. Ces deux vecteurs sont :
a) orthogonaux, car $\vec u\cdot\vec v=0$   b) colinéaires   c) égaux   d) coplanaires seulement

2) Soit $A(1;0;0)$ et $B(4;4;3)$. La distance $AB$ vaut :
a) $\sqrt{34}$   b) $34$   c) $10$   d) $\sqrt{10}$

3) Le plan $P:\ 3x-y+2z-4=0$ a pour vecteur normal :
a) $(3;-1;2)$   b) $(3;1;2)$   c) $(-3;-1;2)$   d) $(3;-1;-2)$

4) Deux plans ont pour vecteurs normaux $\vec n_1(1;2;-1)$ et $\vec n_2(3;-1;1)$. Ces deux plans sont :
a) perpendiculaires, car $\vec n_1\cdot\vec n_2=0$   b) parallèles   c) confondus   d) ni perpendiculaires ni parallèles

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un château d'eau de forme sphérique, de rayon $6$ m, alimente un village. Une canalisation horizontale traverse le terrain dans un plan situé à $4{,}5$ m du centre du réservoir, et coupe donc la sphère selon un cercle.

Le cahier des charges de l'entreprise de construction impose qu'au niveau de cette canalisation, le cercle d'intersection ait un rayon d'au moins $4$ m, afin de garantir suffisamment d'espace pour les supports structurels du réservoir.

Consigne : Calculer le rayon du cercle formé par l'intersection du plan et de la sphère (arrondi au centième), puis dire si l'installation respecte l'exigence du cahier des charges.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Sur le chantier de rénovation d'un lycée, un charpentier installe une poutre métallique verticale. Il place un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ où le sol correspond au plan $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ et l'axe $(Oz)$ est vertical (unité : le mètre). Le toit plat du bâtiment est modélisé par le plan $P$ d'équation $z=6$ (soit $0x+0y+z-6=0$), et la poutre par la droite $D$ dirigée par $\vec u(0;0;1)$, passant par le point $A(3;2;0)$ au sol.

Consigne :

1) Donner le vecteur normal du plan $P$.

2) Le charpentier affirme que sa poutre $D$ est perpendiculaire au toit $P$. A-t-il raison ? Justifier à l'aide d'un produit scalaire (ou d'une comparaison de vecteurs).

3) Un second appui est prévu, dirigé par le vecteur $\vec v(1;0;1)$. Cet appui est-il, lui aussi, perpendiculaire au toit $P$ ?

Problème — Une sphère de centre $O$ a pour rayon $R=17$.

Partie A. 1) Un plan $P_1$ est situé à distance $d_1=8$ de $O$. Quelle est la nature de la section ? Donner son rayon exact. 2) Un plan $P_2$ est situé à distance $d_2=17$ de $O$. Quelle est la nature de la section ?

Partie B. On considère à présent un plan $P_3$ dont on sait qu'il coupe la sphère selon un cercle de rayon $r_3=15$. 1) Calculer la distance $d_3$ du centre $O$ au plan $P_3$. 2) Comparer $d_3$ et $d_1$ (de la Partie A) et en déduire lequel des deux plans, $P_1$ ou $P_3$, est le plus proche du centre $O$.

Partie A. Soit $A(1;0;2)$, $B(3;-2;4)$, $C(2;1;-1)$.

1) Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

2) Montrer que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires (donc $A$, $B$, $C$ déterminent bien un plan).

3) Donner une représentation paramétrique du plan $(ABC)$.

Partie B. Soit le plan $P$ d'équation $x+y-z-1=0$.

4) Le point $D(2;3;4)$ appartient-il à $P$ ?

5) La droite $\Delta$ passant par $D$ et dirigée par $\vec v(1;1;1)$ est-elle incluse dans $P$, parallèle à $P$ sans lui appartenir, ou sécante à $P$ ? Préciser, le cas échéant, le point d'intersection.

Exercice 4 — Approfondissement

Dans l'espace muni d'un repère, on donne les points $A(1;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(0;0;1)$ et $D(1;1;1)$.

1) On cherche une équation du plan $(ABC)$ sous la forme $ax+by+cz=d$. En utilisant les coordonnées de $A$, $B$ et $C$, montrer que l'on peut choisir $a=b=c=1$ et $d=1$.

2) Le point $D$ appartient-il au plan $(ABC)$ ?

Partie A. Soit $A(2;-1;3)$, $B(0;1;1)$, $C(3;1;4)$.

1) Calculer la distance $AB$.

2) Calculer $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?

Partie B. Soit $P:\ x-2y+2z-3=0$ et $Q:\ 2x+y-z+1=0$.

3) Déterminer les vecteurs normaux de $P$ et de $Q$.

4) Les plans $P$ et $Q$ sont-ils perpendiculaires ?

Problème.

Partie A. Soit $A(-2;0)$ et $B(4;0)$ fixes, et $M$ un point mobile du plan.
1) Déterminer la nature de l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.
2) Donner le centre et le rayon de cet ensemble.
3) Écrire son équation cartésienne.

Partie B.
4) Le point $M(1;3)$ appartient-il à cet ensemble ? Justifier par le calcul (équation cartésienne, puis vérification directe par le produit scalaire).

Problème.

Partie A.
1) Déterminer les coordonnées des points d'intersection du cercle d'équation $x^2+y^2=25$ et de la droite d'équation $y=x-1$.

Partie B. On note $A$ et $B$ les deux points trouvés (avec $A$ d'abscisse positive).
2) Déterminer les coordonnées du barycentre $G$ de $(A,3)$ et $(B,1)$.
3) Vérifier que $G$ appartient à la droite $(AB)$.