Première S2-S4-S5 · Leçon 1
Généralités sur les fonctions numériques d’une variable réelle
Exercices corrigés
Un centre de symétrie
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\setminus\{1\}\) par \(f(x)=\dfrac{x^2-2x+2}{x-1}\).
1) Montre que, pour tout \(x\neq 1\), \(f(x)=x-1+\dfrac{1}{x-1}\).
2) Démontre que le point \(\Omega(1\,;0)\) est centre de symétrie de la courbe de \(f\).
3) Sachant que \(f(3)=\dfrac52\), déduis-en \(f(-1)\) sans calcul de quotient.
Voir le corrigé
1) \(x^2-2x+2=(x-1)^2+1\). Donc, pour \(x\neq 1\), \(f(x)=\dfrac{(x-1)^2+1}{x-1}=x-1+\dfrac{1}{x-1}\).
2) L'ensemble \(\mathbb R\setminus\{1\}\) est symétrique par rapport à 1. Pour \(x\neq 0\) : \(f(1+x)=x+\dfrac1x\) et \(f(1-x)=-x-\dfrac1x\). Donc \(f(1+x)+f(1-x)=0=2\times 0\) : \(\Omega(1\,;0)\) est centre de symétrie.
3) \(3=1+2\) et \(-1=1-2\), donc \(f(3)+f(-1)=0\) et \(f(-1)=-\dfrac52\). Contrôle : \(\dfrac{1+2+2}{-2}=-\dfrac52\).
Réponse : \(f(x)=x-1+\dfrac1{x-1}\) ; \(f(1+x)+f(1-x)=0\), donc \(\Omega(1\,;0)\) est centre de symétrie ; \(f(-1)=-\dfrac52\).
Translation, axe de symétrie et valeur absolue
Soit \(g(x)=x^2-6x+5\) sur \(\mathbb R\).
1) Écris \(g(x)\) sous forme canonique et explique comment obtenir la courbe de \(g\) à partir de la parabole d'équation \(y=x^2\).
2) Démontre que la droite d'équation \(x=3\) est axe de symétrie de la courbe de \(g\), en calculant \(g(6-x)\).
3) Explique comment tracer la courbe de \(x\mapsto|g(x)|\), puis résous l'équation \(|g(x)|=4\).
Voir le corrigé
1) \(g(x)=(x-3)^2-9+5=(x-3)^2-4\). La courbe de \(g\) est l'image de la parabole \(y=x^2\) par la translation de vecteur \(3\vec i-4\vec j\) ; son sommet est \(S(3\,;-4)\).
2) \(g(6-x)=(6-x)^2-6(6-x)+5=36-12x+x^2-36+6x+5=x^2-6x+5=g(x)\), pour tout réel \(x\). Comme \(6=2\times 3\), la droite \(x=3\) est axe de symétrie.
3) \(g(x)=(x-1)(x-5)\) est négatif entre 1 et 5 : on garde la parabole hors de \([1\,;5]\) et on remplace l'arc situé entre 1 et 5 par son symétrique par rapport à l'axe des abscisses ; le sommet devient \((3\,;4)\). L'équation \(|g(x)|=4\) équivaut à \(g(x)=4\) ou \(g(x)=-4\). D'une part \((x-3)^2=8\), soit \(x=3-2\sqrt2\) ou \(x=3+2\sqrt2\) ; d'autre part \((x-3)^2=0\), soit \(x=3\). Il y a trois solutions : \(3-2\sqrt2\), 3 et \(3+2\sqrt2\).
Réponse : \(g(x)=(x-3)^2-4\), translation de vecteur \(3\vec i-4\vec j\) ; \(g(6-x)=g(x)\) ; \(|g(x)|=4\) a pour solutions \(3-2\sqrt2\), 3 et \(3+2\sqrt2\).