Première S2-S4-S5 · Leçon 5
Étude et représentation graphique de fonctions
Exercices corrigés
Problème — Étude d'une fonction rationnelle et de ses asymptotes
Problème — Soit $f(x)=\dfrac{5x-1}{2x+4}$, définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$.
Partie A. 1) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x)=a+\dfrac{b}{2x+4}$. 2) En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$, puis donner l'équation de l'asymptote horizontale. 3) Déterminer les limites de $f$ en $(-2)^-$ et $(-2)^+$, puis donner l'équation de l'asymptote verticale.
Partie B. 1) Étudier le signe de $f(x)-a$ selon les valeurs de $x$. 2) En déduire, selon les valeurs de $x$, si la courbe de $f$ est au-dessus ou en dessous de son asymptote horizontale.
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- $5x-1=\dfrac52(2x+4)-11$ (car $\dfrac52(2x+4)=5x+10$, et $-1-10=-11$), donc $a=\dfrac52$, $b=-11$ : $f(x)=\dfrac52-\dfrac{11}{2x+4}$.
- Quand $x\to\pm\infty$, $\dfrac{11}{2x+4}\to0$, donc $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\dfrac52$. Asymptote horizontale : $y=\dfrac52$.
- Quand $x\to(-2)^+$, $2x+4\to0^+$, donc $-\dfrac{11}{2x+4}\to-\infty$ et $f(x)\to-\infty$. Quand $x\to(-2)^-$, $2x+4\to0^-$, donc $-\dfrac{11}{2x+4}\to+\infty$ et $f(x)\to+\infty$. Asymptote verticale : $x=-2$.
- $f(x)-\dfrac52=-\dfrac{11}{2x+4}$. Pour $x>-2$, $2x+4>0$ donc $-\dfrac{11}{2x+4}<0$ : $f(x)<\dfrac52$. Pour $x<-2$, $2x+4<0$ donc $-\dfrac{11}{2x+4}>0$ : $f(x)>\dfrac52$.
- Sur $]-2;+\infty[$, la courbe de $f$ reste en dessous de l'asymptote $y=\dfrac52$ ; sur $]-\infty;-2[$, elle reste au-dessus.
Une fonction rationnelle et une discussion
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb R^*\) par \(f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x}\), de courbe \(\mathcal C\).
1) Montre que \(f(x)=x+1+\dfrac1x\). Déduis-en que la droite \(\Delta : y=x+1\) est asymptote oblique à \(\mathcal C\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), et donne l'autre asymptote.
2) Calcule \(f'(x)\) et dresse le tableau de variations de \(f\) (limites comprises).
3) Discute, selon le réel \(m\), le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=m\).
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1) Pour \(x\neq 0\), \(\dfrac{x^2+x+1}{x}=x+1+\dfrac1x\). Comme \(\dfrac1x\) tend vers 0 en \(\pm\infty\), la droite \(y=x+1\) est asymptote oblique des deux côtés. En 0, \(\dfrac1x\) tend vers \(+\infty\) à droite et \(-\infty\) à gauche : la droite \(x=0\) est asymptote verticale.
2) \(f'(x)=1-\dfrac1{x^2}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}\). \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;-1]\), de \(-\infty\) à \(f(-1)=-1\) ; décroissante sur \([-1\,;0[\), de \(-1\) à \(-\infty\) ; décroissante sur \(]0\,;1]\), de \(+\infty\) à \(f(1)=3\) ; croissante sur \([1\,;+\infty[\), de 3 à \(+\infty\).
3) On fait glisser la droite \(y=m\). Si \(m\lt -1\) : deux solutions, toutes deux négatives (une dans \(]-\infty\,;-1[\), une dans \(]-1\,;0[\)). Si \(m=-1\) : une solution, \(-1\). Si \(-1\lt m\lt 3\) : aucune solution. Si \(m=3\) : une solution, 1. Si \(m\gt 3\) : deux solutions positives (une dans \(]0\,;1[\), une dans \(]1\,;+\infty[\)).
Réponse : Asymptotes \(y=x+1\) et \(x=0\) ; maximum local \(-1\) en \(-1\), minimum local 3 en 1 ; \(f(x)=m\) a 2 solutions si \(m\lt -1\) ou \(m\gt 3\), 1 si \(m=-1\) ou \(m=3\), aucune si \(-1\lt m\lt 3\).
Une fonction irrationnelle
Soit \(g(x)=x-2\sqrt x\) sur \([0\,;+\infty[\).
1) Pour \(x\gt 0\), calcule \(g'(x)\) et étudie son signe ; dresse le tableau de variations de \(g\).
2) Résous l'équation \(g(x)=0\), puis l'inéquation \(g(x)\le 0\).
3) Calcule \(\dfrac{g(h)-g(0)}{h}\) pour \(h\gt 0\) et sa limite quand \(h\) tend vers 0. Interprète graphiquement.