Première S2-S4-S5 · Leçon 10
Équations, inéquations, systèmes
Exercices corrigés
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QCM — Radicaux & systèmes
Exercice 1 — QCM
1) L'équation $\sqrt{2x+3}=x$ admet dans $\mathbb{R}$ :
a) deux solutions b) une seule solution c) aucune solution d) une infinité de solutions
2) Pour résoudre $\sqrt{x+1}=x-1$, la condition nécessaire à vérifier avant d'élever au carré est :
a) $x\geqslant -1$ b) $x-1\geqslant 0$ c) $x\leqslant 1$ d) $x\in\mathbb{R}$
3) Le système $\begin{cases}2x+y=7\\x-y=2\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;3)$ b) $(3;1)$ c) $(1;5)$ d) $(4;-1)$
4) Par la méthode du pivot de Gauss sur $\begin{cases}x+y+z=6\\2y-z=1\\z=2\end{cases}$, la valeur de $y$ est :
a) $1$ b) $1{,}5$ c) $2$ d) $3$
Voir le corrigé
- Réponse : b. Condition $x\geqslant 0$. En élevant au carré : $2x+3=x^2 \iff x^2-2x-3=0 \iff (x-3)(x+1)=0$, donc $x=3$ ou $x=-1$. Seul $x=3\geqslant 0$ convient (et $\sqrt{2(3)+3}=\sqrt 9=3$ ✓) : une seule solution.
- Réponse : b. Le membre de droite $x-1$ doit être $\geqslant 0$ puisqu'il est égal à une racine carrée (toujours positive ou nulle) — condition en plus de $x+1\geqslant 0$.
- Réponse : b. En additionnant les deux équations après avoir multiplié la seconde par $1$ : de $x-y=2$, $x=y+2$. En substituant : $2(y+2)+y=7 \iff 3y=3 \iff y=1$, puis $x=3$.
- Réponse : b. $z=2$ donné. $2y-z=1 \iff 2y-2=1 \iff 2y=3 \iff y=1{,}5$.
QCM — Discriminant, racines, signe
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Le discriminant de $3x^2-5x+2$ vaut :
a) $1$ b) $49$ c) $-1$ d) $25$
2) Les racines de $x^2-3x+2=0$ sont :
a) $1$ et $2$ b) $-1$ et $-2$ c) $2$ et $-1$ d) $3$ et $-1$
3) La forme canonique de $x^2-4x+1$ est :
a) $(x-2)^2-3$ b) $(x-2)^2+3$ c) $(x+2)^2-3$ d) $(x-4)^2+1$
4) Le signe de $-x^2+x+2$ pour $x\in\,]-1;2[$ est :
a) positif b) négatif c) nul d) indéterminé
Voir le corrigé
- Réponse : a. $\Delta=(-5)^2-4\times3\times2=25-24=1$.
- Réponse : a. Somme $=3$, produit $=2$ → racines $1$ et $2$.
- Réponse : a. $\alpha=-\dfrac{-4}{2}=2$, $\beta=P(2)=4-8+1=-3$, soit $(x-2)^2-3$.
- Réponse : a. Racines $-1$ et $2$, $a=-1<0$ : signe opposé à $a$ entre les racines, donc positif (on vérifie avec $x=0$ : $-0+0+2=2>0$).
Situation d'intégration — Répartition d'un troupeau
Exercice 2 — Situation d'intégration
Un éleveur de la province du Sanmatenga possède un troupeau de bovins et de caprins, soit $60$ têtes de bétail au total. Il fait vacciner chaque animal : $8\,000$ FCFA par bovin et $3\,000$ FCFA par caprin. La facture totale du vétérinaire s'élève à $290\,000$ FCFA.
L'éleveur veut connaître la composition exacte de son troupeau pour vérifier que la facture correspond bien à ce qu'il possède réellement, avant de payer.
Consigne : En notant $b$ le nombre de bovins et $c$ le nombre de caprins, mettre la situation en système de deux équations, le résoudre, puis dire à l'éleveur si la facture du vétérinaire est cohérente avec un troupeau de $60$ têtes.
Situation d'intégration — Tableau en bois d'une menuisière
Exercice 2 — Situation d'intégration
Une menuisière découpe, dans une planche, un tableau rectangulaire de largeur $x$ cm et de longueur $(2x-4)$ cm, avec $x>2$ pour que la longueur reste positive. Elle souhaite que l'aire du tableau soit d'au moins $96$ cm².
Consigne : Exprimer l'aire du tableau en fonction de $x$, écrire l'inéquation traduisant la contrainte, la résoudre, et donner l'ensemble des valeurs de $x$ compatibles avec la contrainte $x>2$.
Exercice supplémentaire — Étude de $R(x)=x^2-2x+5$
Exercice supplémentaire. On considère $R(x)=x^2-2x+5$.
1) Calculer le discriminant de $R$.
2) Que peut-on en conclure sur les racines réelles de $R$ ?
3) Étudier le signe de $R(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ (indication : forme canonique).
Problème — Équation avec radical et système 3×3
Partie A. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sqrt{3x+7}-\sqrt{x+2}=1$ (on isolera un des deux radicaux avant d'élever au carré, et on vérifiera soigneusement chaque solution trouvée).
Partie B. Résoudre par la méthode du pivot de Gauss le système : $\begin{cases}x+2y-z=2\\2x-y+3z=9\\3x+y+z=8\end{cases}$.
Partie C. Vérifier que le couple $(x_0;y_0)$ formé par la solution de la Partie A (la valeur de $x$) et la valeur de $y$ obtenue en Partie B satisfait l'inéquation $x_0+y_0\leqslant 6$.
Entraînement illimité
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