Première S2-S4-S5 · Leçon 3
Continuité
Exercices corrigés
Continuité en un point
1) Soit \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\) pour \(x\neq 1\) et \(f(1)=a\). Détermine \(a\) pour que \(f\) soit continue en 1.
2) Soit \(g\) définie par \(g(x)=x^2\) si \(x\le 1\) et \(g(x)=2x-1\) si \(x\gt 1\). Calcule les limites de \(g\) à gauche et à droite en 1 ; \(g\) est-elle continue en 1 ?
3) Même question pour \(h\) définie par \(h(x)=x^2\) si \(x\le 1\) et \(h(x)=x+1\) si \(x\gt 1\) ; \(h\) est-elle continue à gauche, à droite en 1 ?
Voir le corrigé
1) Pour \(x\neq 1\), \(f(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\), qui tend vers 2 quand \(x\) tend vers 1. \(f\) est continue en 1 si et seulement si \(f(1)=\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)\), c'est-à-dire \(a=2\).
2) À gauche, \(g(x)=x^2\) tend vers 1 ; à droite, \(g(x)=2x-1\) tend vers 1. Les deux limites sont égales à \(g(1)=1\) : \(g\) est continue en 1.
3) À gauche, \(h(x)=x^2\) tend vers \(1=h(1)\) : \(h\) est continue à gauche en 1. À droite, \(h(x)=x+1\) tend vers \(2\neq h(1)\) : \(h\) n'est pas continue à droite, donc pas continue en 1 ; sa courbe présente un saut.
Réponse : \(a=2\) ; \(g\) est continue en 1 (limites à gauche et à droite égales à 1) ; \(h\) est continue à gauche mais pas à droite en 1.
Une équation qui a une seule solution
Soit \(f(x)=x^3+x-1\) sur \([0\,;1]\).
1) Justifie que \(f\) est continue et strictement croissante sur \([0\,;1]\).
2) Calcule \(f(0)\) et \(f(1)\). Déduis-en que \(f\) est une bijection de \([0\,;1]\) sur un intervalle à préciser, et que l'équation \(f(x)=0\) a une seule solution \(\alpha\) dans \([0\,;1]\).
3) Calcule \(f(0{,}6)\) et \(f(0{,}7)\) et donne un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude 0,1.
Voir le corrigé
1) \(f\) est une fonction polynôme, donc continue sur \(\mathbb R\). Les fonctions \(x\mapsto x^3\) et \(x\mapsto x\) sont strictement croissantes, donc leur somme, diminuée de 1, l'est aussi.
2) \(f(0)=-1\) et \(f(1)=1\). Une fonction continue et strictement croissante sur \([0\,;1]\) est une bijection de \([0\,;1]\) sur \([f(0)\,;f(1)]=[-1\,;1]\). Comme 0 appartient à \([-1\,;1]\), il a exactement un antécédent \(\alpha\) dans \([0\,;1]\).
3) \(f(0{,}6)=0{,}216+0{,}6-1=-0{,}184\lt 0\) et \(f(0{,}7)=0{,}343+0{,}7-1=0{,}043\gt 0\). Comme \(f\) est croissante, \(0{,}6\lt\alpha\lt 0{,}7\).
Réponse : \(f\) est une bijection de \([0\,;1]\) sur \([-1\,;1]\) ; l'équation \(f(x)=0\) a une seule solution \(\alpha\), et \(0{,}6\lt\alpha\lt 0{,}7\) (en fait \(\alpha\approx 0{,}682\)).